Savoir-faire : Savoir trouver l’équation de la tangente connaissant la valeur de la dérivée en un point

Définition de la tangente :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $(O\ ;I\ ;J)$ du plan.
Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à $\mathscr{C}$ au point $A\big(a ; f(a)\big)$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.

Au point d’abscisse $a$ la tangente à la courbe représentative de $f$ a pour équation :
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment trouver l’équation de la tangente connaissant la valeur de la dérivée en un point.

Écrire l’équation de la tangente de la fonction $f(x)=3x^2-2x+1$ sachant que le nombre dérivé de $f$ en $1$ est $f'(1)=4$.

Écrire l’équation de la tangente au point d’abscisse $a=1$

$y=f'(1)(x-1)+f(1)$

On sait que $f'(1)=4$

On calcule $f(1)$
$\begin{aligned} f(1)&=3\times1^2-2\times1+1 \\ &=3-2+1 \\ f(1)&=2 \end{aligned}$

Donc : $y=4(x-1)+2=4x-4+2=4x-2$

• L’équation de la tangente en $1$ est $y=4x-2$.