Savoir-faire : Savoir utiliser le produit scalaire pour calculer des longueurs et des angles

• Théorème de la médiane :

Soit $A,\ B\text{ et }M $ trois points du plan et $I$ le milieu de $[AB]$
On a alors $MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac12AB^2$

• Théorème d’Al-Kashi :

Soit $ABC$ un triangle. En posant $a=BC,\ b=AC\text{ et }c=AB$ on a :

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos \widehat A$

$b^2=a^2+c^2-2ac \cos\widehat B$

$c^2=a^2+b^2-2ab \cos\widehat C$

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment utiliser le produit scalaire pour calculer des longueurs et des angles.

Soit le triangle $ABC$. L’objectif est de déterminer la longueur $AB$ puis une valeur approchée de l’angle $\widehat{CAB}$.

Calculer la longueur $AB$ en utilisant le théorème de la médiane

On a ici :

$\begin{array}{rl} \\ &BA^2+BC^2=2BI^2+\dfrac12AC^2 \\ \Leftrightarrow&BA^2+7^2=2×6^2+\dfrac12×4^2 \\ \Leftrightarrow&BA^2=2×36+\dfrac12×16-49 \\ \Leftrightarrow&AB^2=31 \\ \Leftrightarrow&AB=\sqrt{31} \end{array}$

Calculer une valeur approchée de l’angle $\widehat{CAB}$ en utilisant le théorème d’Al-Kashi

$\begin{array}{cl} \ &a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat A \\ ⇔&BC^2=AC^2+AB^2-2×AC×AB×\cos \widehat{CAB} \\ \Leftrightarrow&7^2=4^2+\sqrt{31}^2-2×4×\sqrt{31}×\cos \widehat{CAB} \\ \Leftrightarrow&2×4×\sqrt{31}×\cos \widehat{CAB} =4^2+\sqrt{31}^2-7^2 \\ ⇔&8\sqrt{31}\cos \widehat{CAB} =16+31-49\\ \Leftrightarrow&\cos \widehat{CAB} =\dfrac{-2}{8\sqrt{31}} \\ \Leftrightarrow& \widehat{CAB}≈92,57\degree≈1,62\ rad \end{array}$