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Savoir utiliser le produit scalaire pour calculer des longueurs et des angles

Savoir utiliser le produit scalaire pour calculer des longueurs et des angles
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Pré-requis

  • Théorème de la médiane :

Soit A, B et MA,\ B\text{ et }M trois points du plan et II le milieu de [AB][AB]
On a alors MA2+MB2=2MI2+12AB2MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac12AB^2

  • Théorème d’Al-Kashi :

Soit ABCABC un triangle. En posant a=BC, b=AC et c=ABa=BC,\ b=AC\text{ et }c=AB on a :

a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^2=b^2+c^2-2bc \cos \widehat A

b2=a2+c2−2accos⁡B^b^2=a^2+c^2-2ac \cos\widehat B

c2=a2+b2−2abcos⁡C^c^2=a^2+b^2-2ab \cos\widehat C

À l’aide d’une exemple nous allons montrer comment utiliser le produit scalaire pour calculer des longueurs et des angles.

Soit le triangle ABCABC. L’objectif est de déterminer la longueur ABAB puis une valeur approchée de l’angle CAB^\widehat{CAB}.

Etapes

Calculer la longueur ABAB en utilisant le théorème de la médiane

On a ici :

BA2+BC2=2BI2+12AC2⇔BA2+72=2×62+12×42⇔BA2=2×36+12×16−49⇔AB2=31⇔AB=31\begin{array}{rl} \ &BA^2+BC^2=2BI^2+\dfrac12AC^2 \ \Leftrightarrow&BA^2+7^2=2×6^2+\dfrac12×4^2 \ \Leftrightarrow&BA^2=2×36+\dfrac12×16-49 \ \Leftrightarrow&AB^2=31 \ \Leftrightarrow&AB=\sqrt{31} \end{array}

Calculer une valeur approchée de l’angle CAB^\widehat{CAB} en utilisant le théorème d’Al-Kashi

 a2=b2+c2−2bccos⁡A^⇔BC2=AC2+AB2−2×AC×AB×cos⁡CAB^⇔72=42+312−2×4×31×cos⁡CAB^⇔2×4×31×cos⁡CAB^=42+312−72⇔831cos⁡CAB^=16+31−49⇔cos⁡CAB^=−2831⇔CAB^≈92,57°≈1,62 rad\begin{array}{cl} \ &a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat A \ ⇔&BC^2=AC^2+AB^2-2×AC×AB×\cos \widehat{CAB} \ \Leftrightarrow&7^2=4^2+\sqrt{31}^2-2×4×\sqrt{31}×\cos \widehat{CAB} \ \Leftrightarrow&2×4×\sqrt{31}×\cos \widehat{CAB} =4^2+\sqrt{31}^2-7^2 \ ⇔&8\sqrt{31}\cos \widehat{CAB} =16+31-49\ \Leftrightarrow&\cos \widehat{CAB} =\dfrac{-2}{8\sqrt{31}} \ \Leftrightarrow& \widehat{CAB}≈92,57\degree≈1,62\ rad \end{array}