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Marianne

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Savoir vérifier qu’un point appartient à une droite à l’aide de la colinéarité de vecteurs
Savoir-faire

Pré-requis

  • Soient u(xy)\vec u\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} et v(xy)\vec v\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix} deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère du plan. Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire uniquement si xyyx=0xy'-yx'=0.

  • Soit AA un point du plan, u\vec u un vecteur non nul et D\mathscr D la droite passant par AA de vecteur directeur u.\vec u.
    Un point MM appartient à la droite D\mathscr D si et seulement si les vecteurs u\vec u et AM{\overrightarrow{AM}} sont colinéaires.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment vérifier qu’un point appartient à une droite à l’aide de la colinéarité de vecteurs.

Dans un repère (O ;ı ,ȷ)(O\ ; \vec\imath\ , \vec\jmath) du plan, on considère la droite D\mathscr D passant par A(2 ;0)A(2\ ;0) et de vecteur directeur u(r11)\vec u\left(\begin{aligned}{r} -1 \ 1 \end{aligned} \right).

L'objectif est de vérifier si le point M(1 ; 3)M(-1\ ;\ 3) appartient à D.\mathscr D.

Etapes

Calculer les coordonnées du vecteur AM{\overrightarrow{AM}}

$\begin{aligned} {\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{c}x_M-x_A \\ y_M-y_A\end{array}\right)&={\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{r} -1-2 \\ 3-0 \end{array}\right) \\ &={\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{r} -3 \\ 3 \end{array}\right)\end{aligned}$

Vérifier si les vecteurs ${\overrightarrow{AM}}$ et $\vec u$ sont colinéaires

On a donc ${\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{r} -3 \\ 3 \end{array} \right)$ et $\vec u\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array} \right)$

$xy'-yx'=\big[-3×1\big]-\big[3×(-1)\big]=-3+3=0$

  • Les vecteurs ${\overrightarrow{AM}}$ et $\vec u$ sont donc colinéaires ce qui permet d'affirmer que le point $M$ appartient bien à la droite $\mathscr D.$