Pré-requis
Soient et deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère du plan. Les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire uniquement si .
Soit un point du plan, un vecteur non nul et la droite passant par de vecteur directeur
Un point appartient à la droite si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment vérifier qu’un point appartient à une droite à l’aide de la colinéarité de vecteurs.
Dans un repère du plan, on considère la droite passant par et de vecteur directeur .
L'objectif est de vérifier si le point appartient à
Etapes
Calculer les coordonnées du vecteur
$\begin{aligned} {\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{c}x_M-x_A \\ y_M-y_A\end{array}\right)&={\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{r} -1-2 \\ 3-0 \end{array}\right) \\ &={\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{r} -3 \\ 3 \end{array}\right)\end{aligned}$
Vérifier si les vecteurs ${\overrightarrow{AM}}$ et $\vec u$ sont colinéaires
On a donc ${\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{r} -3 \\ 3 \end{array} \right)$ et $\vec u\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array} \right)$
$xy'-yx'=\big[-3×1\big]-\big[3×(-1)\big]=-3+3=0$
- Les vecteurs ${\overrightarrow{AM}}$ et $\vec u$ sont donc colinéaires ce qui permet d'affirmer que le point $M$ appartient bien à la droite $\mathscr D.$