Savoir-faire : Savoir vérifier qu’un point appartient à une droite à l’aide de la colinéarité de vecteurs

• Soient $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère du plan. Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire uniquement si $xy'-yx'=0$.

• Soit $A$ un point du plan, $\vec u$ un vecteur non nul et $\mathscr D$ la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec u.$
  Un point $M$ appartient à la droite $\mathscr D$ si et seulement si les vecteurs $\vec u$ et ${\overrightarrow{AM}}$ sont colinéaires.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment vérifier qu’un point appartient à une droite à l’aide de la colinéarité de vecteurs.

Dans un repère $(O\ ; \vec\imath\ , \vec\jmath)$ du plan, on considère la droite $\mathscr D$ passant par $A(2\ ;0)$ et de vecteur directeur $\vec u\left(\begin{aligned}{r} -1 \\ 1 \end{aligned} \right)$.

L'objectif est de vérifier si le point $M(-1\ ;\ 3)$ appartient à $\mathscr D.$

Calculer les coordonnées du vecteur ${\overrightarrow{AM}}$

$\begin{aligned} {\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{c}x_M-x_A \\ y_M-y_A\end{array}\right)&={\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{r} -1-2 \\ 3-0 \end{array}\right) \\ &={\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{r} -3 \\ 3 \end{array}\right)\end{aligned}$

Vérifier si les vecteurs ${\overrightarrow{AM}}$ et $\vec u$ sont colinéaires

On a donc ${\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{r} -3 \\ 3 \end{array} \right)$ et $\vec u\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array} \right)$

$xy'-yx'=\big[-3×1\big]-\big[3×(-1)\big]=-3+3=0$

• Les vecteurs ${\overrightarrow{AM}}$ et $\vec u$ sont donc colinéaires ce qui permet d'affirmer que le point $M$ appartient bien à la droite $\mathscr D.$