Arithmétique

Depuis la classe de seconde, l’élève connaît les ensembles de nombres usuels. L’enseignement de mathématiques expertes permet de revenir sur les plus familiers des nombres : les entiers.

Les résultats fondamentaux de l'arithmétique des entiers y sont présentés. Une place importante est faite à l’étude des congruences (arithmétique modulaire). Le cours est illustré par des applications variées (tests de divisibilité, exemples simples d'équations diophantiennes, problèmes de chiffrement).

Histoire des mathématiques

L’arithmétique des entiers est présente chez les mathématiciens grecs, par exemple dans les Éléments d’Euclide, chez Nicomaque de Gérase, Théon de Smyrne ou encore Diophante, dont certains développements touchent à la combinatoire. Les aspects algorithmiques sont présents depuis l’origine : méthodes de fausse position, algorithme d’Euclide, algorithme d’Euclide étendu de Bachet (1612) puis Bézout (1766), applications aux fractions continues chez Euler (1737), nombre de racines d’une équation chez Sturm (1835).

L’histoire de la théorie des nombres, qui permet d’évoquer les travaux de Fermat, Lagrange, Gauss, Dirichlet et de bien d’autres, fourmille de théorèmes d’énoncés simples aux preuves difficiles, ainsi que de conjectures de formulation élémentaire mais non résolues.

Des questions issues de l’arithmétique, apparemment gratuites, ont donné lieu à des applications spectaculaires en cryptographie ou codage. On peut noter enfin l’intérêt historique de l’étude de nombres particuliers par exemple ceux de Fermat, Mersenne, Carmichael ou Sophie Germain.

Contenus

• Divisibilité dans $\mathbb Z$.
• Division euclidienne d'un élément de $\mathbb Z$ par un élément de $\mathbb N^*$.
• Congruences dans $\mathbb Z$. Compatibilité des congruences avec les opérations.
• $\text{PGCD}$ de deux entiers. Algorithme d’Euclide.
• Couples d’entiers premiers entre eux.
• Théorème de Bézout.
• Théorème de Gauss.
• Nombres premiers. Leur ensemble est infini.
• Existence et unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
• Petit théorème de Fermat.

Capacités attendues

• Déterminer les diviseurs d’un entier, le $\text{PGCD}$ de deux entiers.
• Résoudre une congruence $ax\equiv b[n]$. Déterminer un inverse de $a$ modulo $n$ lorsque $a$ et $n$ sont premiers entre eux.
• Établir et utiliser des tests de divisibilité, étudier la primalité de certains nombres, étudier des problèmes de chiffrement.
• Résoudre des équations diophantiennes simples.

Démonstrations

• Écriture du $\text{PGCD}$ de $a$ et $b$ sous la forme $ax+by$, $(x,y)\in\mathbb Z^2$.
• Théorème de Gauss.
• L’ensemble des nombres premiers est infini.