Cours : Association de portes logiques

Association de portes

Nous reprenons ici la même construction que dans le cours précédent et nous présenterons, pour les trois associations auxquelles nous nous intéresserons :

• un schéma électrique équivalent ;
• le symbole dans la norme européenne ;
• la table de vérité ;
• l’équation logique ;
• un chronogramme.

Porte logique $\text{NON ET}$

Regardons le schéma électrique suivant, avec deux contacts (à ouverture) montés en parallèle :

• Au repos, les deux contacts sont fermés ($ e _{\tiny 1}=0$ et $ e _{\tiny 2}=0$) et la lampe est allumée ($ S =1$).
• Si un seul contact est ouvert, le courant passe toujours et la lampe reste allumée.
• Il faut que le premier ET le second contact soient ouverts pour que la lampe soit NON allumée.

Définition

Porte logique $\text{NON ET}$ :

La sortie d’une porte $\text{NON ET}$ ($\text{NAND}$ en anglais) est $0$ si l’ensemble des entrées ont pour valeur $1$.
Autrement dit, la sortie est $1$ si au moins une entrée a pour valeur $0$.

À retenir

• Symbole :

Porte NON ET

• Table de vérité :

Nous avons $2$ entrées, notre table de vérité aura donc $2^2=4$ lignes.

$e_{\tiny 1}$	$e_{\tiny 2}$	$\red {S}$
$0$	$0$	$\red 1$
$0$	$1$	$\red1$
$1$	$0$	$\red1$
$1$	$1$	$\red0$

• Remarquez que les valeurs, entre cette table et celle de la porte $\text{ET}$, sont inversées. $\text{NON ET}$ est bien une « négation » de $\text{ET}$.
• Équation logique :

$$ S =\overline { e_{\tiny 1}\cdot e_{\tiny 2}}$$

• On dit : « e1 et e2, le tout barre ».
• Chronogramme :

Nous avons dit, plus haut, pour le schéma électrique, que la lampe s’éteignait ($ S =0$) uniquement si les deux contacts étaient ouverts ($ e _1=1$ et $ e _2=1$). Ce qui correspond bien à l’équation que nous venons de donner.
Mais, comme nous le voyons immédiatement sur le schéma électrique, nous pouvons également exprimer les choses ainsi : la lampe est éclairée ($ S =1$) si au moins un contact est fermé ($ e _1=0$ ou $ e _2=0$). D’ailleurs, la définition que nous avons donnée de la porte $\text{NON ET}$ nous le laissait aussi entendre.

Propriété

On en déduit la propriété suivante :

$$\overline { e_{\tiny 1}\cdot e_{\tiny 2}}=\bar{\text e}_{\tiny 1}+\bar {\text e}_{\tiny 2}$$

Ce faisant, nous venons de faire, intuitivement, une première approche du théorème de De Morgan, que nous découvrirons de manière approfondie dans le cours suivant.

Porte logique $\text{NON OU}$

Regardons le schéma électrique suivant, avec deux contacts (à ouverture) montés en série :

• Au repos, les deux contacts sont fermés ($ e _{\tiny 1}=0$ et $ e _{\tiny 2}=0$) et la lampe est allumée ($ S =1$).
• Si un seul contact est ouvert, le courant ne passe plus et la lampe est éteinte.
• Il suffit que le premier OU le second contact soit ouvert pour que la lampe soit NON allumée.

Définition

Porte logique $\text{NON OU}$ :

La sortie d’une porte $\text{NON OU}$ ($\text{NOR}$ en anglais) est $0$ si au moins une entrée a pour valeur $1$.
Autrement dit, la sortie est $1$ uniquement si toutes les entrées ont pour valeur $0$.

À retenir

• Symbole :

Porte NON OU

• Table de vérité :

Nous avons $2$ entrées, notre table de vérité aura donc $2^2=4$ lignes.

$e_{\tiny 1}$	$e_{\tiny 2}$	$\red {S}$
$0$	$0$	$\red 1$
$0$	$1$	$\red0$
$1$	$0$	$\red0$
$1$	$1$	$\red0$

• Remarquez que les valeurs, entre cette table et celle de la porte $\text{OU}$, sont inversées. $\text{NON OU}$ est bien une « négation » de $\text{OU}$.
• Équation logique :

$$ S =\overline { e_{\tiny 1}+ e_{\tiny 2}}$$

• On dit : « e1 ou e2, le tout barre ».
• Chronogramme :

À partir du schéma électrique et de la définition, nous pouvons mener un raisonnement équivalent à celui mené pour $\text{NON ET}$ et arriver à la propriété suivante :

Propriété

$$\overline { e_{\tiny 1}+ e_{\tiny 2}}=\bar{\text e}_{\tiny 1}\cdot\bar {\text e}_{\tiny 2}$$

Porte logique $\text{NON OU EXCLUSIF}$

Regardons le schéma électrique suivant, avec deux couples de contacts (l’un à ouverture, l’autre à fermeture) liés mécaniquement :

Notons $ e _{\tiny 1}$ le premier couple (en rouge sur le schéma) et $ e _{\tiny 2}$ le second (en vert sur le schéma).
Nous considérons que les couples sont au repos ($ e _{\tiny 1}=0$ et $ e _{\tiny 2}=0$) lorsqu’ils sont dans la position indiquée sur le schéma.
Nous voyons tout de suite que la lampe s’éteint uniquement si une seule entrée a pour valeur $1$.

• Il faut que la première ET la seconde entrée aient pour valeur $0$ OU que la première ET la seconde entrée aient pour valeur $1$ pour que la lampe soit allumée.

Définition

Porte logique $\text{NON OU EXCLUSIF}$ :

La sortie d’une porte $\text{NON OU EXCLUSIF}$ ($\text{XNOR}$ en anglais) est $1$ si les deux entrées ont des valeurs égales, $0$ ou $1$.

À retenir

• Symbole :

Porte NON OU EXCLUSIF

• Table de vérité :

Nous avons $2$ entrées, notre table de vérité aura donc $2^2=4$ lignes.

$e_{\tiny 1}$	$e_{\tiny 2}$	$\red {S}$
$0$	$0$	$\red 1$
$0$	$1$	$\red0$
$1$	$0$	$\red0$
$1$	$1$	$\red1$

• Remarquez que les valeurs, entre cette table et celle de la porte $\text{OU EXCLUSIF}$, sont inversées. $\text{NON OU EXCLUSIF}$ est bien une « négation » de $\text{OU EXCLUSIF}$.
• Équation logique :

$$ S =\overline { e_{\tiny 1}\oplus e_{\tiny 2}}$$

• On dit : « e1 ou exclusif e2, le tout barre ».
• Chronogramme :

Application simple avec $3$ entrées

Considérons une lampe extérieure, avec éclairage automatique, qui s’allume si l’ensemble des conditions suivantes sont réunies :

• le mode « automatique » est activé (contact à fermeture) ;
• il n’y a pas (assez) de lumière (capteur photosensible) ;
• une personne est présente (capteur de mouvement).
• Traduisons l’énoncé par une formule logique.
• Le mode automatique enclenché ET la NON-présence de lumière ET la présence de quelqu’un provoquent l’éclairage de la lampe.
• Identifions les variables.
• Variable d’entrée pour le mode automatique :

$$a= \begin{cases} 0 &\text{si le mode automatique n’est pas activé} \\ 1 &\text{si le mode automatique est activé} \end{cases}$$

• Variable d’entrée pour la luminosité extérieure :

$$l= \begin{cases} 0 &\text{s’il n’y a pas de lumière} \\ 1 &\text{s’il y a de la lumière} \end{cases}$$

• Variable d’entrée pour la présence :

$$p= \begin{cases} 0 &\text{s’il n’y a personne} \\ 1 &\text{si une personne est détectée} \end{cases}$$

• Variable de sortie pour la lampe :

$$L= \begin{cases} 0 &\rightarrow \text{la lampe est éteinte} \\ 1 &\rightarrow \text{la lampe est allumée} \end{cases}$$

• Donnons le chronogramme, puis la table de vérité.

• Nous notons, sur le chronogramme, quelques instants, dont nous mettrons la correspondance dans la table de vérité.
• Il y a $3$ entrées, il y aura donc $2^3=8$ lignes dans la table.

• La table de vérité nous indique :

$$L=1\ \text{si} \begin{cases} a=1 \\ l=0 \\ p=1 \end{cases}$$

• Autrement dit :

$$\begin{aligned} \text{\red Lampe éclairée }=\ &\text{mode \blue automatique} \\ &\text {\green{ET NON}-présence de \green lumière} \\ &\text {\purple{ET} présence d’une \purple personne} \end{aligned}$$

• Nous pouvons maintenant écrire facilement l’équation logique.

$$\red{L}=\blue {a} \green {\cdot \bar{l}} \purple {\cdot p} $$

• Enfin, nous pouvons aussi donner le logigramme correspondant, c’est-à-dire la représentation des diverses portes avec leurs symboles.