Prépare-toi à progresser en Mathématiques avec ces exercices niveau Terminale : "Calcul intégral". Conçu pour renforcer les notions clés vues en cours, cet entraînement te permet de t’exercer à ton rythme. Idéal pour réviser efficacement et gagner en confiance. À toi de jouer !
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Calculer la valeur moyenne $m$ sur $[0;\pi]$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=sin \, x$.
On définit la fonction $f$ par morceaux :
$f(x)= \left\lbrace \begin{array}{ccc} \dfrac{-1}{x^2} & \text{si} \, & 1\leqslant x < \dfrac{\pi}{2} \\ \dfrac{x \cos x-\sin x}{x^2} & \text{si} \, & \dfrac{\pi}{2} \leqslant x < \pi \\ -\dfrac1x + 2\cos x \sin x & \text{si} \, & {\pi} \leqslant x \leqslant 2\pi\end{array}\right.$
Peux-ton affirmer que la fonction $f$ est continue sur $[1;3\pi]$ ?
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par :
$$f(x)=\dfrac {2x}{x^2+\frac 34}+1$$
On admet que $f$ est continue sur $\mathbb R$ et on donne ci-dessous $\mathscr C_f$, sa courbe représentative dans un repère orthonormé :
Courbe représentative de la fonction f
$$\int_{-0,5}^{4} f(x) \text d x$$
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ? Justifier.
Proposition A |
$$\int_{-0,5}^4 f(x) \text{d}x\leq 0$$ |
Proposition B |
$$24 \leq \int_{-0,5}^4 f(x)\text{d}x\leq 36$$ |
Proposition C |
$$6 \leq \int_{-0,5}^4 f(x)\text{d}x\leq 9$$ |
$$\int_{-0,5}^{4} f(x) \text d x$$
On considère maintenant la fonction $g$ définie sur $\mathbb R^+$ par :
$$g(x)=2x\text{e}^{-2x+1}$$
$$g^{\prime}(x)=2\text{e}^{-2x+1}(1-2x)$$
Soit la suite $(I_n )$ définie, pour tout entier naturel, par :
$$I_n=\int_0^n g(x)\text{d}x$$
Par exemple :
$$\begin{aligned} I_0&=\int_0^0 g(x)\text{d}x=0 \\ I_1&=\int_0^1 g(x)\text{d}x \\ I_2&=\int_0^2g(x)\text{d}x \end{aligned}$$
À l’aide d’une intégration par parties, on peut montrer que, pour tout entier naturel $n\geq 1$ :
$$I_n=\dfrac {\text{e}}2-\text{e}^{-2n+1}\left(n+\dfrac 12\right)\qquad \textcolor{#A9A9A9}{(1)}$$
Cette formule est également vraie pour $n=0$.
$$\lim\limits_{n \to +\infty} I_n=l=\dfrac {\text{e}}2$$
On a programmé en Python l’algorithme ci-dessous :
$\begin{aligned} &\text{def approche(p):} \\ &\qquad \text{n = 0} \\ &\qquad \text{while (e$\ast\ast$(-2 $\ast$ n + 1) $\ast$ (n + 1/2)$ $) > 10$\ast\ast$(-p):} \\ &\qquad\qquad \text{ n = n + 1} \\ &\qquad \text{print (n)} \end{aligned}$ |
Quand on entre sur la console Python la commande $\purple{\text{approche(4)}}$, le programme renvoie la valeur $\purple{\text{7}}$. Que signifie ce résultat ?
Une animalerie adopte le logo représenté par la figure plus bas.
On admettra que $\mathscr C_f$ est au-dessus de $\mathscr C_g$ sur l’intervalle $[0\ ;\, 4]$.
Représentation du logo
Calculer l’aire de la partie bleue du logo, comprise entre :
Une entreprise vend des peluches et s’intéresse à la quantité vendue, jour après jour, au cours de l’année 2017. Elle s’aperçoit que les ventes ont suivi la courbe suivante :
L’abscisse $0$ correspond au 1er janvier, l’abscisse $1$ au 31 décembre de l’année 2017 (qui compte 365 jours).
Ainsi, si les jours sont numérotés de 0 à 364 (qui correspondent aux jours du 1er janvier jusqu’au 31 décembre), le jour numéro $n$ correspond à l’abscisse $\dfrac{n}{364}$.
Par exemple, le 20 janvier 2017 c’est le jour numéro 19 donc l’abscisse $\dfrac{19}{364}\approx 0,05$ (à 0,05 près) soit une ordonnée de 5. Le graphique nous indique que le 20 janvier, l’entreprise a vendu 5 peluches.
Combien l’entreprise a-t-elle vendu de peluches (on arrondira à l’unité) au jour $n_{326}$ et à quel jour de l’année cela correspond-t-il ?
Pour cette question, on utilisera une calculatrice.
