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Calcul vectoriel et produit scalaire

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Introduction :

Le produit scalaire est une nouveauté en première, mais il est lié au cours sur les vecteurs puisque l’on calcule toujours le produit scalaire de deux vecteurs. Il est également lié au cours sur la trigonométrie, notamment aux formules d’addition et de duplication.

Nous commencerons cette leçon par la définition et les propriétés du produit scalaire de deux vecteurs du plan. Nous parlerons ensuite des différentes expressions utilisées, pour finir par les applications du produit scalaire : formule d’Al-Kashi et transformation de l’expression MAMB\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}.

Produit scalaire de deux vecteurs du plan

Définitions

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Définition

Norme d’un vecteur :

Soit u\vec u un vecteur du plan et soit AA et BB deux points tels que : u=AB\vec u=\overrightarrow{AB}.

On appelle norme du vecteur u\vec u le réel positif ou nul, noté u\Vert\vec u\Vert, défini par u=AB\Vert\vec u\Vert=AB.

bannière à retenir

À retenir

La norme d’un vecteur correspond à la distance entre les deux points extrémités de ce vecteur.

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Définition

Mesure d’un angle orienté de vecteurs :

Un angle orienté de vecteurs se mesure en radians Un angle orienté de vecteurs se mesure en radians

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls.
Soit MM et NN deux points du cercle trigonométrique tels que u\vec u et OM\overrightarrow{OM}, d’une part, et v\vec v et ON\overrightarrow{ON}, d’autre part, soient colinéaires et de même sens.

Les mesures en radians de l’angle orienté de vecteurs (u, v)(\vec u,\ \vec v) sont les différences yxy-x, où xx et yy sont les réels associés respectivement aux points MM et NN.
Nous pouvons considérer le cosinus d’un angle orienté de vecteurs, qui est le cosinus du nombre réel associé.

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Définition

Produit scalaire de deux vecteurs du plan :

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs du plan.

On appelle produit scalaire de u\vec u par v\vec v le nombre réel noté uv\vec u\cdot\vec v (se lit « u scalaire v ») égal à :

  • 00 si l’un des deux vecteurs u\vec u et v\vec v est nul ;

  • u×v×cos(u,v)\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert\times\cos(\vec u,\vec v), si u0\vec u\neq\vec 0 et v0\vec v\neq\vec 0.

Exemple :

Sur cette figure AB=AB=5\left\Vert\overrightarrow{AB}\right\Vert=AB=5 et AC=AC=3\left\Vert\overrightarrow{AC}\right\Vert=AC=3, donc le produit scalaire des vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} vaut :

ABAC=AB×AC×cos(AB,AC)=5×3×cos(π3)=5×3×12=152\begin{aligned} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=AB×AC×\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \ &=5×3×\cos\Big(\dfrac\pi3\Big) \ &=5×3×\dfrac12 \ &=\dfrac{15}2 \end{aligned}

Cas particuliers

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Propriété

Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires :

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs colinéaires :

  • Si u\vec u et v\vec v sont de même sens, alors uv=u×v=AB×AC\vec u\cdot\vec v=\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert=AB\times AC (car cos(u,v)=cos(0)=1\cos(\vec u,\vec v)=\cos(0)=1).

  • Si u\vec u et v\vec v sont de sens contraire, alors uv=u×v=AB×AC\vec u\cdot\vec v=-\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert=-AB\times AC (car cos(u,v)=cos(π)=1\cos(\vec u,\vec v)=\cos(\pi)=-1).

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Propriété

Carré scalaire :

Soit un vecteur u\vec u.

Le carré scalaire de u\vec u, noté u2\vec u\,^2, est le nombre réel défini par u2=uu\vec u\,^2=\vec u\cdot\vec u.
On a : u2=u2\vec u\,^2=\Vert\vec u\Vert^2.

Propriétés de calcul

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Propriété

Quels que soient les vecteurs u\vec u, v\vec v et w\vec w, et le réel kk, on a :

  • uv=vu\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u

  • u(v+w)=uv+uw\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w

  • u(kv)=(ku)v=kuv\vec u\cdot(k\vec v)=(k\vec u)\cdot\vec v=k\,\vec u\cdot\vec v

  • (u+v)2=u2+2uv+v2(\vec u+\vec v)^2=\vec u\,^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\,^2

  • (uv)2=u22uv+v2(\vec u-\vec v)^2=\vec u\,^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\,^2

  • (u+v)(uv)=u2v2(\vec u+\vec v)(\vec u-\vec v)=\vec u\,^2-\vec v\,^2

Lien entre produit scalaire et orthogonalité

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Rappel

On dit que deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque leurs directions sont orthogonales.

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Propriété

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

En effet :

uv=u×v×cos(u,v)=AB×AC×cos(π2)=AB×AC×0=0\begin{aligned} \vec u\cdot\vec v&=\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert\times\cos(\vec u, \vec v) \ &=AB\times AC\times\cos\Big(\dfrac\pi2\Big) \ &=AB\times AC\times0 \ &=0\end{aligned}

bannière à retenir

À retenir

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur du plan.

Autres expressions du produit scalaire

Projection orthogonale

L’expression de base du produit scalaire de deux vecteurs est u.v=u×v×cos(u,v)\vec u.\vec v=\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert\times\cos(\vec u, \vec v), mais il est parfois impossible de calculer le produit scalaire de deux vecteurs grâce à cette expression.

En effet, les énoncés ne donnent pas toujours l’angle (u, v)(\vec u,\ \vec v).

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Définition

Projection orthogonale :

Soit trois points A, B et CA,\ B\text{ et }C. On appelle projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB) le point HH d’intersection entre (AB)(AB) et la perpendiculaire à (AB)(AB) passant par CC.

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Propriété

Si (AB, AC)<π2\Big(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\Big)<\dfrac{\pi}{2}, alors ABAC=AB×AH\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH

 

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Propriété

Si (AB, AC)>π2\Big(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\Big)>\dfrac{\pi}{2} alors ABAC=AB×AH\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH

 

Exemple :

 

On cherche à calculer le produit scalaire AB×AC\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}, mais on ne connaît pas l’angle formé par ces deux vecteurs.

On va donc devoir utiliser le point HH qui est le projeté orthogonal de BB sur (AC)(AC).

ABAC=ACAB=AC×AH=7×4=28\begin{aligned} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} \ &=AC\times AH \ &=7\times4 \ &=28 \end{aligned}

Produit scalaire dans une base orthonormée

Il est également possible de calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans une base orthonormée grâce aux coordonnées de ces vecteurs.

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Propriété

Dans un repère orthonormé, soit deux vecteurs u(xy)\vec u\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} et v(xy)\vec v\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix}.

Alors :

  • uv=xx+yy\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'
  • u2=x2+y2\left\Vert\vec u\right\Vert^2=x^2+y^2

Exemple :
Dans un repère orthonormé, on considère les points A (1 ;2)A\ (-1\ ;\,2), B (3 ;7)B\ (3\ ;\,7), et C (4 ;5)C\ (4\ ;\,-5).
On cherche à calculer ABAC\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.

  • Les coordonnées de AB\overrightarrow{AB} sont :

AB(xBxAyByA)=AB(3(1)72)=AB(45)\begin{aligned} \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} {xB-xA} \ {yB-yA}\end{pmatrix} &=\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-1) \ 7-2\end{pmatrix} \ &=\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\5\end{pmatrix} \end{aligned}

  • Les coordonnées de AC\overrightarrow{AC} sont :

AC(xCxAyCyA)=AC(4(1)52)=AC(57)\begin{aligned} \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} {xC-xA} \ {yC-yA}\end{pmatrix}&=\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-(-1) \ -5-2\end{pmatrix} \ &=\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}5 \ -7\end{pmatrix} \end{aligned}

  • Alors :

ABAC=4×5+5×(7)=2035=15\begin{aligned} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=4×5+5×(-7) \ &=20-35 \ &=-15 \end{aligned}

Expression avec les normes

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Propriété

Si u\vec u et v\vec v sont deux vecteurs du plan, alors, en utilisant les propriétés du produit scalaire :

uv2=(uv)(uv)=u(uv)v(uv)=uuuvvu+vv=u22uv+v2\begin{aligned} \Vert\vec u-\vec v\Vert^2&=(\vec u-\vec v)\cdot(\vec u-\vec v) \ &=\vec u\cdot(\vec u-\vec v)-\vec v\cdot(\vec u-\vec v) \ &=\vec u\cdot\vec u-\vec u\cdot\vec v-\vec v\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec v \ &=\Vert\vec u\Vert^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\Vert\vec v\Vert^2 \end{aligned}

u+v2=(u+v)(u+v)=u(u+v)+v(u+v)=uu+uv+vu+vv=u2+2uv+v2\begin{aligned} \Vert\vec u+\vec v\Vert^2&=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v) \ &=\vec u\cdot(\vec u+\vec v)+\vec v\cdot(\vec u+\vec v) \ &=\vec u\cdot\vec u+\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec v \ &=\Vert\vec u\Vert^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\Vert\vec v\Vert^2 \end{aligned}

Nous avons donc :

uv=12(u2+v2uv2)uv=12(u+v2u2v2)\begin{aligned} \vec u\cdot\vec v&=\dfrac{1}{2}\big(\Vert\vec u\Vert^2+\Vert\vec v\Vert^2-\Vert\vec u -\vec v\Vert^2\big) \ \vec u\cdot\vec v &=\dfrac{1}{2}\big(\Vert\vec u+ \vec v \Vert^2-\Vert\vec u\Vert^2-\Vert\vec{v}\Vert^2\big) \end{aligned}

produit scalaire mathématiques première s

En particulier, pour le triangle suivant, en prenant u=AB\vec u=\overrightarrow{AB} et v=AC\vec v=\overrightarrow{AC} :

ABAC=12(AB2+AC2BC2)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\big(AB^2+AC^2-BC^2\big)

(car ABAC=CB\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB})

Applications du produit scalaire

Calculs d’angles et de longueurs : formule d’Al-Kashi

L’une des applications du produit scalaire est le calcul d’angles et de longueurs. Pour cela, nous pouvons utiliser la formule d’Al-Kashi :

bannière theoreme

Théorème

Théorème d’Al-Kashi :

Soit ABCABC un triangle.
En posant a=BCa=BC, b=ACb=AC et c=ABc=AB, on a :

a2=b2+c22bccosA^a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A

b2=a2+c22accosB^b^2=a^2+c^2-2ac\cos\widehat B

c2=a2+b22abcosC^c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat C

bannière à retenir

À retenir

Le théorème d’Al-Kashi est la relation généralisée de Pythagore.

bannière demonstration

Démonstration

Démontrons, par exemple, la première formule : a2=b2+c22bccosA^a^2=b^2+c^2-2bc \cos \widehat A.

Les autres démonstrations sont identiques, en permutant les valeurs aa, bb et cc (ainsi que leur angle opposé) qui jouent le même rôle.

a2=BC2=BC2=(BA+AC)2=BA2+2BAAC+AC2=BA2+AC22ABAC=BA2+AC22AB×AC×cos(AB,AC)=b2+c22bccosA^\begin{aligned} a^2&=BC^2 \ &={\overrightarrow{BC}\,}^2 \ &=\Big(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\Big)^2 \ &={\overrightarrow{BA}\,}^2+2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}\,}^2 \ &=BA^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \ &=BA^2+AC^2-2AB\times AC\times\cos\Big(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}\Big) \ &=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A \end{aligned}

Exemple :

Img-X

Soit le triangle ABCABC.
L’objectif est de déterminer une valeur approchée de l’angle CAB^\widehat{CAB}.

Pour donner une valeur approchée de l’angle CAB^\widehat{CAB}, comme on connaît les longueurs des trois côtés du triangle, on utilise le théorème d’Al-Kashi :

a2=b2+c22bccosA^BC2=AC2+AB22×AC×AB×cosCAB^72=42+622×4×6×cosCAB^2×4×6×cosCAB^=42+627248cosCAB^=16+3649cosCAB^=348=0,0625CAB^86,42°1,51 rad\begin{array}{cl} &a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A \ \Leftrightarrow&BC^2=AC^2+AB^2-2\times AC\times AB\times\cos \widehat{CAB} \ \Leftrightarrow&7^2=4^2+6^2-2\times4\times6\times\cos \widehat{CAB} \ \Leftrightarrow&2\times4\times6\times\cos\widehat{CAB}=4^2+6^2-7^2 \ \Leftrightarrow&48\cos\widehat{CAB}=16+36-49 \ \Leftrightarrow&\cos\widehat{CAB}=\dfrac{3}{48}=0,0625 \ \Leftrightarrow&\widehat{CAB}\approx86,42\degree\approx1,51\ \text{rad} \end{array}

MB/b.

Soit AA et BB deux points distincts, et MM un troisième point.
Nous allons transformer l’expression MAMB\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} en utilisant les propriétés du produit scalaire.

On considère II le milieu de [AB][AB].

MAMB=(MI+IA)(MI+IB)\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\Big(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\Big)\cdot\Big(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\Big)

MAMB=MIMI+MIIB+IAMI+IAIB\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}

MAMB=MI2+MI(IB+IA)IAIA\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\Vert\overrightarrow{MI}\Vert^2+\overrightarrow{MI}\cdot\Big(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}\Big)-\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IA}
car IB=IA\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA} et uv=vu\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u

MAMB=MI2+MI0IA2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\Vert\overrightarrow{MI}\Vert^2+\overrightarrow{MI}\cdot\vec 0-\Vert\overrightarrow{IA}\Vert^2
car IB+IA=0\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec 0 par définition

MAMB=MI2IA2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\Vert\overrightarrow{MI}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{IA}\Vert^2

MAMB=MI2IA2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-IA^2

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Propriété

Soit AA et BB deux points distincts.
L’ensemble des points M tels que MAMB=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB][AB] (cercle de centre II, milieu de [AB][AB], et de rayon IA=IBIA=IB).

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Démonstration

Soit AA et BB deux points distincts, et II milieu de [AB][AB].

MAMB=0MI2IA2=0IM2=IA2IM=IA (car ce sont des valeurs positives)MC\begin{aligned} \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0&\Leftrightarrow MI^2-IA^2=0 \ &\Leftrightarrow IM^2=IA^2 \ &\Leftrightarrow IM=IA\ \text{(car ce sont des valeurs positives)} \ &\Leftrightarrow M\in \mathscr C \end{aligned}
C\mathscr C est le cercle de centre II, milieu de [AB][AB], et de rayon IA=IBIA=IB, c’est-à-dire le cercle de diamètre [AB][AB]

Img-Y

  • Nous pouvons donc définir un cercle à l’aide d’un produit scalaire.