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Calcul vectoriel et produit scalaire
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Introduction :
Le produit scalaire est une nouveauté en première, mais il est lié au cours sur les vecteurs puisque l’on calcule toujours le produit scalaire de deux vecteurs. Il est également lié au cours sur la trigonométrie, notamment aux formules d’addition et de duplication.
Nous commencerons cette leçon par la définition et les propriétés du produit scalaire de deux vecteurs du plan. Nous parlerons ensuite des différentes expressions utilisées, pour finir par les applications du produit scalaire : formule d’Al-Kashi et transformation de l’expression .
Produit scalaire de deux vecteurs du plan
Définitions
Norme d’un vecteur :
Soit un vecteur du plan et soit et deux points tels que : .
On appelle norme du vecteur le réel positif ou nul, noté , défini par .
La norme d’un vecteur correspond à la distance entre les deux points extrémités de ce vecteur.
Mesure d’un angle orienté de vecteurs :
Un angle orienté de vecteurs se mesure en radians
Soit et deux vecteurs non nuls.
Soit et deux points du cercle trigonométrique tels que et , d’une part, et et , d’autre part, soient colinéaires et de même sens.
Les mesures en radians de l’angle orienté de vecteurs sont les différences , où et sont les réels associés respectivement aux points et .
Nous pouvons considérer le cosinus d’un angle orienté de vecteurs, qui est le cosinus du nombre réel associé.
Produit scalaire de deux vecteurs du plan :
Soit et deux vecteurs du plan.
On appelle produit scalaire de par le nombre réel noté (se lit « u scalaire v ») égal à :
si l’un des deux vecteurs et est nul ;
, si et .
Exemple :
Sur cette figure et , donc le produit scalaire des vecteurs et vaut :
Cas particuliers
Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires :
Soit et deux vecteurs colinéaires :
Carré scalaire :
Soit un vecteur .
Le carré scalaire de , noté , est le nombre réel défini par .
On a : .
Propriétés de calcul
Quels que soient les vecteurs , et , et le réel , on a :
Lien entre produit scalaire et orthogonalité
On dit que deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque leurs directions sont perpendiculaires.
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
En effet :
Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur du plan.
Autres expressions du produit scalaire
Projection orthogonale
L’expression de base du produit scalaire de deux vecteurs est , mais il est parfois impossible de calculer le produit scalaire de deux vecteurs grâce à cette expression.
En effet, les énoncés ne donnent pas toujours l’angle .
Projection orthogonale :
Soit trois points . On appelle projeté orthogonal de sur la droite le point d’intersection entre et la perpendiculaire à passant par .
Si , alors
Si alors
Exemple :
On cherche à calculer le produit scalaire , mais on ne connaît pas l’angle formé par ces deux vecteurs.
On va donc devoir utiliser le point qui est le projeté orthogonal de sur .
Produit scalaire dans une base orthonormée
Il est également possible de calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans une base orthonormée grâce aux coordonnées de ces vecteurs.
Dans un repère orthonormé, soit deux vecteurs et .
Alors :
Exemple :
Dans un repère orthonormé, on considère les points , , et .
On cherche à calculer .
Expression avec les normes
Si et sont deux vecteurs du plan, alors, en utilisant les propriétés du produit scalaire :
Nous avons donc :
En particulier, pour le triangle suivant, en prenant et :
(car )
Applications du produit scalaire
Calculs d’angles et de longueurs : formule d’Al-Kashi
L’une des applications du produit scalaire est le calcul d’angles et de longueurs. Pour cela, nous pouvons utiliser la formule d’Al-Kashi :
Théorème d’Al-Kashi :
Soit un triangle.
En posant , et , on a :
Le théorème d’Al-Kashi est la relation généralisée de Pythagore.
Démontrons, par exemple, la première formule : .
Les autres démonstrations sont identiques, en permutant les valeurs , et (ainsi que leur angle opposé) qui jouent le même rôle.
Exemple :
Soit le triangle .
L’objectif est de déterminer une valeur approchée de l’angle .
Pour donner une valeur approchée de l’angle , comme on connaît les longueurs des trois côtés du triangle, on utilise le théorème d’Al-Kashi :