Calcul vectoriel et produit scalaire

Produit scalaire de deux vecteurs du plan

• La norme du vecteur $\vec u$, notée $\Vert\vec u\Vert$, correspond à la distance entre les deux points extrémités de ce vecteur.
• Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls.
  Soit $M$ et $N$ deux points du cercle trigonométrique tels que $\vec u$ et $\overrightarrow{OM}$, d’une part, et $\vec v$ et $\overrightarrow{ON}$, d’autre part, soient colinéaires et de même sens :
• les mesures en radians de l’angle orienté de vecteurs $(\vec u,\ \vec v)$ sont les différences $y-x$, où $x$ et $y$ sont les réels associés respectivement aux points $M$ et $N$.
• Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs du plan.
  On appelle produit scalaire de $\vec u$ par $\vec v$ le nombre réel noté $\vec u\cdot\vec v$ (« u scalaire v ») égal à :
• $0$ si l’un des deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est nul ;
• $\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert\times\cos(\vec u,\vec v)$, si $\vec u\neq\vec 0$ et $\vec v\neq\vec 0$.
• Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs colinéaires :
• si $\vec u$ et $\vec v$ sont de même sens, alors $\vec u\cdot\vec v=\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert=AB\times AC$ ;
• si $\vec u$ et $\vec v$ sont de sens contraire, alors $\vec u\cdot\vec v=-\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert=-AB\times AC$.
• Soit un vecteur $\vec u$.
  Le carré scalaire de $\vec u$, noté $\vec u\,^2$, est le nombre réel défini par $\vec u\,^2=\vec u\cdot\vec u$.
• On a : $\vec u\,^2=\Vert\vec u\Vert^2$.
• Quels que soient les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$, et le réel $k$, on a :
• $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$
• $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$
• $\vec u\cdot(k\vec v)=(k\vec u)\cdot\vec v=k\,\vec u\cdot\vec v$
• $(\vec u+\vec v)^2=\vec u\,^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\,^2$
• $(\vec u-\vec v)^2=\vec u\,^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\,^2$
• $(\vec u+\vec v)(\vec u-\vec v)=\vec u\,^2-\vec v\,^2$
• Produit scalaire et orthogonalité :
• deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul ;
• par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur du plan.

Autres expressions du produit scalaire

• Soit trois points $A,\ B\text{ et }C$ :
• on appelle projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ le point $H$ d’intersection entre $(AB)$ et la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ ;
• si $\Big(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\Big)<\dfrac{\pi}{2}$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH$
• si $\Big(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\Big)>\dfrac{\pi}{2}$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH$
• Dans un repère orthonormé, soit deux vecteurs $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$.
• $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$
• $\left\Vert\vec u\right\Vert^2=x^2+y^2$
• $\vec u\cdot\vec v=\dfrac{1}{2}\big(\Vert\vec u\Vert^2+\Vert\vec v\Vert^2-\Vert\vec u -\vec v\Vert^2\big)$
• $\vec u\cdot\vec v=\dfrac{1}{2}\big(\Vert\vec u+ \vec v \Vert^2-\Vert\vec u\Vert^2-\Vert\vec{v}\Vert^2\big)$

Applications du produit scalaire

• Soit $ABC$ un triangle. Posons $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$.
  Le théorème d’Al-Kashi, relation généralisée de Pythagore, donne :
• $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$
• $b^2=a^2+c^2-2ac\cos\widehat B$
• $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat C$
• Soit $A$ et $B$ deux points distincts :
• l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$ ;
• nous pouvons donc définir un cercle à l’aide d’un produit scalaire.