La norme du vecteur u, notée ∥u∥, correspond à la distance entre les deux points extrémités de ce vecteur.
Soit u et v deux vecteurs non nuls.
Soit M et N deux points du cercle trigonométrique tels que u et OM, d’une part, et v et ON, d’autre part, soient colinéaires et de même sens :
les mesures en radians de l’angle orienté de vecteurs (u,v) sont les différences y−x, où x et y sont les réels associés respectivement aux points M et N.
Soit u et v deux vecteurs du plan.
On appelle produit scalaire de u par v le nombre réel noté u⋅v (« u scalaire v ») égal à :
0 si l’un des deux vecteurs u et v est nul ;
∥u∥×∥v∥×cos(u,v), si u=0 et v=0.
Soit u et v deux vecteurs colinéaires :
si u et v sont de même sens, alors u⋅v=∥u∥×∥v∥=AB×AC ;
si u et v sont de sens contraire, alors u⋅v=−∥u∥×∥v∥=−AB×AC.
Soit un vecteur u.
Le carré scalaire de u, noté u2, est le nombre réel défini par u2=u⋅u.
On a : u2=∥u∥2.
Quels que soient les vecteurs u, v et w, et le réel k, on a :
u⋅v=v⋅u
u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w
u⋅(kv)=(ku)⋅v=ku⋅v
(u+v)2=u2+2u⋅v+v2
(u−v)2=u2−2u⋅v+v2
(u+v)(u−v)=u2−v2
Produit scalaire et orthogonalité :
deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul ;
par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur du plan.
Autres expressions du produit scalaire
Soit trois points A,B et C :
on appelle projeté orthogonal de C sur la droite (AB) le point H d’intersection entre (AB) et la perpendiculaire à (AB) passant par C ;
si (AB,AC)<2π, alors AB⋅AC=AB×AH
si (AB,AC)>2π, alors AB⋅AC=−AB×AH
Dans un repère orthonormé, soit deux vecteurs u(xy) et v(x′y′).
u⋅v=xx′+yy′
∥u∥2=x2+y2
u⋅v=21(∥u∥2+∥v∥2−∥u−v∥2)
u⋅v=21(∥u+v∥2−∥u∥2−∥v∥2)
Applications du produit scalaire
Soit ABC un triangle. Posons a=BC, b=AC et c=AB.
Le théorème d’Al-Kashi, relation généralisée de Pythagore, donne :
a2=b2+c2−2bccosA
b2=a2+c2−2accosB
c2=a2+b2−2abcosC
Soit A et B deux points distincts :
l’ensemble des points M tels que MA⋅MB=0 est le cercle de diamètre [AB] ;
nous pouvons donc définir un cercle à l’aide d’un produit scalaire.