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Calcul vectoriel et produit scalaire

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Produit scalaire de deux vecteurs du plan

  • La norme du vecteur u\vec u, notée u\Vert\vec u\Vert, correspond à la distance entre les deux points extrémités de ce vecteur.
  • Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls.
    Soit MM et NN deux points du cercle trigonométrique tels que u\vec u et OM\overrightarrow{OM}, d’une part, et v\vec v et ON\overrightarrow{ON}, d’autre part, soient colinéaires et de même sens :
  • les mesures en radians de l’angle orienté de vecteurs (u, v)(\vec u,\ \vec v) sont les différences yxy-x, où xx et yy sont les réels associés respectivement aux points MM et NN.
  • Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs du plan.
    On appelle produit scalaire de u\vec u par v\vec v le nombre réel noté uv\vec u\cdot\vec v (« u scalaire v ») égal à :
  • 00 si l’un des deux vecteurs u\vec u et v\vec v est nul ;
  • u×v×cos(u,v)\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert\times\cos(\vec u,\vec v), si u0\vec u\neq\vec 0 et v0\vec v\neq\vec 0.
  • Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs colinéaires :
  • si u\vec u et v\vec v sont de même sens, alors uv=u×v=AB×AC\vec u\cdot\vec v=\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert=AB\times AC ;
  • si u\vec u et v\vec v sont de sens contraire, alors uv=u×v=AB×AC\vec u\cdot\vec v=-\Vert\vec u\Vert\times\Vert\vec v\Vert=-AB\times AC.
  • Soit un vecteur u\vec u.
    Le carré scalaire de u\vec u, noté u2\vec u\,^2, est le nombre réel défini par u2=uu\vec u\,^2=\vec u\cdot\vec u.
  • On a : u2=u2\vec u\,^2=\Vert\vec u\Vert^2.
  • Quels que soient les vecteurs u\vec u, v\vec v et w\vec w, et le réel kk, on a :
  • uv=vu\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u
  • u(v+w)=uv+uw\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w
  • u(kv)=(ku)v=kuv\vec u\cdot(k\vec v)=(k\vec u)\cdot\vec v=k\,\vec u\cdot\vec v
  • (u+v)2=u2+2uv+v2(\vec u+\vec v)^2=\vec u\,^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\,^2
  • (uv)2=u22uv+v2(\vec u-\vec v)^2=\vec u\,^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\,^2
  • (u+v)(uv)=u2v2(\vec u+\vec v)(\vec u-\vec v)=\vec u\,^2-\vec v\,^2
  • Produit scalaire et orthogonalité :
  • deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul ;
  • par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur du plan.

Autres expressions du produit scalaire

  • Soit trois points A, B et CA,\ B\text{ et }C :
  • on appelle projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB) le point HH d’intersection entre (AB)(AB) et la perpendiculaire à (AB)(AB) passant par CC ;
  • si (AB, AC)<π2\Big(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\Big)<\dfrac{\pi}{2}, alors ABAC=AB×AH\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH
  • si (AB, AC)>π2\Big(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\Big)>\dfrac{\pi}{2}, alors ABAC=AB×AH\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH
  • Dans un repère orthonormé, soit deux vecteurs u(xy)\vec u\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} et v(xy)\vec v\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix}.
  • uv=xx+yy\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'
  • u2=x2+y2\left\Vert\vec u\right\Vert^2=x^2+y^2
  • uv=12(u2+v2uv2)\vec u\cdot\vec v=\dfrac{1}{2}\big(\Vert\vec u\Vert^2+\Vert\vec v\Vert^2-\Vert\vec u -\vec v\Vert^2\big)
  • uv=12(u+v2u2v2)\vec u\cdot\vec v=\dfrac{1}{2}\big(\Vert\vec u+ \vec v \Vert^2-\Vert\vec u\Vert^2-\Vert\vec{v}\Vert^2\big)

Applications du produit scalaire

  • Soit ABCABC un triangle. Posons a=BCa=BC, b=ACb=AC et c=ABc=AB.
    Le théorème d’Al-Kashi, relation généralisée de Pythagore, donne :
  • a2=b2+c22bccosA^a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A
  • b2=a2+c22accosB^b^2=a^2+c^2-2ac\cos\widehat B
  • c2=a2+b22abcosC^c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat C
  • Soit AA et BB deux points distincts :
  • l’ensemble des points M tels que MAMB=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB][AB] ;
  • nous pouvons donc définir un cercle à l’aide d’un produit scalaire.