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Calcul vectoriel et repères
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Introduction :
Dans la plupart des exercices de mécanique, il est nécessaire de représenter la situation problème.
Ainsi ce chapitre répondra-t-il à la question : comment schématiser le positionnement d’un objet ou d’une force ?
Nous allons ici découvrir des outils mathématiques puissants qui nous permettront par la suite de représenter un grand nombre de phénomènes physiques.
Nous connaissons déjà le produit scalaire, que nous élargirons ici aux trois dimensions d’un repère .
Nous allons aussi découvrir le produit vectoriel : nous n’entrerons pas dans le détail, qui sera vu dans des classes supérieures, nous ne donnerons que les moyens de s’en servir pour notre objectif.
Rappels sur les vecteurs
Que représente un vecteur ?
Partons de la situation problème suivante :
(D’après un modèle de D. Vesvard)
Lors d’une régate, le bateau vert (nommé ) veut rattraper le bateau jaune (nommé ).
Afin de répondre au mieux à cette interrogation, on doit préciser trois éléments.
Direction (d’après un modèle de D. Vesvard)
Sens (d’après un modèle de D. Vesvard)
Distance (d’après un modèle de D. Vesvard)
Vecteur (d’après un modèle de D. Vesvard)
Définition d’un vecteur
Le vecteur est une grandeur définie par :
Vecteur unitaire et repère
Définitions
La plupart du temps, nous étudions un problème dans un repère orthonormé, défini par des vecteurs unitaires.
Vecteur unitaire :
Si est un vecteur unitaire, alors c’est un vecteur de norme égale à : .
Un vecteur unitaire permet de quantifier les distances.
Repère orthonormé direct :
Un repère orthonormé direct est un système constitué d’une origine et de vecteurs unitaires faisant un angle de et orientés dans le sens direct.
Dans le plan, nous avons donc un repère :
Repère orthonormé direct (plan)
Dans l’espace, nous avons un repère :
Repère orthonormé direct dans (espace)
Pour savoir si la base est directe, nous pouvons utiliser le pouce, l’index et le majeur de la main droite, en les mettant en angle droit (voir dessin ci-dessous).
Règle de la main droite
Coordonnées d’un point
Dans un repère orthonormé, les coordonnées d’un point sont identifiées comme ses projections orthogonales sur chacun des axes de base par rapport à l’origine .
Soit un point de coordonnées dans un repère , alors :
Le principe reste le même en trois dimensions.
Soit un point de coordonnées dans un repère , alors :
Coordonnées d’un vecteur
Soit un point de coordonnées et un point de coordonnées , dans le repère .
Maintenant que nous avons rappelé et défini les repères et les vecteurs, nous pouvons effectuer des opérations sur ces vecteurs.
Opérations sur les vecteurs
Addition de deux vecteurs
Dans un repère orthonormé , soit :
L’addition des vecteurs et est égale au vecteur :
On positionne les deux vecteurs l’un à la suite de l’autre et on relie les extrémités.
Addition de vecteurs
On additionne les coordonnées des vecteurs :
Produit scalaire
Dans un repère orthonormé , soit :
Le résultat du produit scalaire des vecteurs et est une grandeur scalaire.
Ce produit scalaire s’écrit : .
Avec l’angle formé par et , le projeté orthogonal de sur et le projeté orthogonal de sur :
Produit scalaire
On multiplie une à une les coordonnées des vecteurs :
Produit vectoriel
Le produit vectoriel est une notion non encore abordée en classe de première. Nous ne donnons ici que quelques éléments afin de pouvoir le calculer. Il sera approfondi plus tard, en cours de mathématiques.
Dans un repère orthonormé , soit :
Le produit vectoriel de et s’écrit : .
C’est un vecteur :
Avec l’angle formé par et :
Produit vectoriel
On multiplie une à une les coordonnées des vecteurs selon le principe suivant :
Dans les propriétés suivantes, nous considérons aussi le vecteur , de coordonnées
Remarque :
Pour les plus curieux – car les matrices ne sont abordées qu’en terminale –, il s’agit en fait du déterminant de la matrice formée par les coordonnées de , et :
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons revu la définition d’un vecteur et avons explicité l’ensemble des opérations qui y sont liées.
Nous avons ainsi mis en lumière le fait qu’il permet de définir un repère et de donner les coordonnées de points ou de vecteurs.
Munis de cette « boîte à outils », nous pourrons mieux décrire la position d’un système, ainsi que les forces qui s’y exercent.