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Sciences de l'ingénieur

Calcul vectoriel et repères

Calcul vectoriel et repères

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Fiche de cours

Introduction :

Dans la plupart des exercices de mécanique, il est nécessaire de représenter la situation problème.
Ainsi ce chapitre répondra-t-il à la question : comment schématiser le positionnement d’un objet ou d’une force ?

Nous allons ici découvrir des outils mathématiques puissants qui nous permettront par la suite de représenter un grand nombre de phénomènes physiques.
Nous connaissons déjà le produit scalaire, que nous élargirons ici aux trois dimensions d’un repère (O ;ı⃗, ȷ⃗, k⃗)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k).
Nous allons aussi découvrir le produit vectoriel : nous n’entrerons pas dans le détail, qui sera vu dans des classes supérieures, nous ne donnerons que les moyens de s’en servir pour notre objectif.

Rappels sur les vecteurs

Que représente un vecteur ?

Partons de la situation problème suivante :

Img-01

Lors d’une régate, le bateau vert (nommé AA) veut rattraper le bateau jaune (nommé BB).

  • Comment indiquer au bateau AA le cap à tenir ?

Afin de répondre au mieux à cette interrogation, on doit préciser trois éléments.

  • La direction :

Img-02

  • Le sens

Img-03

  • La distance

Img-04

  • L’outil vecteur permet de représenter ces trois informations :

Img-05

Définition d’un vecteur

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À retenir

Le vecteur AB →\overrightarrow{AB\ } est une grandeur définie par :

  • une direction : la droite (AB)(AB) ;
  • un sens : AA est l’origine et BB l’extrémité ;
  • un point d’application : l’origine AA ;
  • une norme, qui définit la longueur de [AB][AB], notée : ∥AB →∥\Big\Vert \overrightarrow{AB\ }\Big\Vert.

Vecteur unitaire et repère

Définitions

La plupart du temps, nous étudions un problème dans un repère orthonormé, défini par des vecteurs unitaires.

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Définition

Vecteur unitaire :

Si ı⃗\vec \imath est un vecteur unitaire, alors c’est un vecteur de norme égale à 11 : ∥ı⃗ ∥=1\Vert \vec \imath\,\Vert = 1.

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À retenir

Un vecteur unitaire permet de quantifier les distances.

Img-06

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Définition

Repère orthonormé direct :

Un repère orthonormé direct est un système constitué d’une origine OO et de vecteurs unitaires faisant un angle de 90°90\degree et orientés dans le sens direct.

Dans le plan, nous avons donc un repère (O ;ı⃗, ȷ⃗ )(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath\,) :

Img-07

Dans l’espace, nous avons un repère (O ;ı⃗, ȷ⃗, k⃗)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) :

Img-08

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Astuce

Pour savoir si la base (u⃗, v⃗, w⃗)(\blue{\vec u},\,\red{\vec v},\,\green{\vec w}) est directe, nous pouvons utiliser le pouce, l’index et le majeur de la main droite, en les mettant en angle droit (voir dessin ci-dessous).

  • La base est directe si :
  • u⃗\blue {\vec u} correspond à l’index,
  • et v⃗\red {\vec v} correspond au majeur,
  • et w⃗\green {\vec w} correspond au pouce.

Img-09

Coordonnées d’un point

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À retenir

Dans un repère orthonormé, les coordonnées d’un point sont identifiées comme ses projections orthogonales sur chacun des axes de base par rapport à l’origine OO.

Img-10

Soit un point MM de coordonnées (xM ;yM)(x{\tiny M}\ ; y{\tiny M}) dans un repère (O ;ı⃗, ȷ⃗ )(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath\,), alors :

OM →=xM⋅ı⃗+yM⋅ȷ⃗=(xMyM)(O ; ı⃗, ȷ⃗ )\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ } &= x{\tiny M}\cdotp \vec \imath + y{\tiny M}\cdotp \vec \jmath \ &=\begin{pmatrix} x{\tiny M} \ y{\tiny M} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath\,)} \end{aligned}

Le principe reste le même en trois dimensions.

Img-11

Soit un point MM de coordonnées (xM ; yM ; zM)(x{\tiny M}\ ;\,y{\tiny M}\ ;\,z_{\tiny M}) dans un repère (O ;ı⃗, ȷ⃗, k⃗)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), alors :

OM →=xM⋅ı⃗+yM⋅ȷ⃗+zM⋅k⃗=(xMyMzM)(O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗ )\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ } &= x{\tiny M}\cdotp \vec \imath + y{\tiny M}\cdotp \vec \jmath + z{\tiny M}\cdotp \vec k \ &=\begin{pmatrix} x{\tiny M} \ y{\tiny M} \ z{\tiny M} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)} \end{aligned}

Coordonnées d’un vecteur

Img-12

Soit un point AA de coordonnées (xA ; yA ; zA)(x{\tiny A}\ ;\,y{\tiny A}\ ;\,z{\tiny A}) et un point BB de coordonnées (xB ; yB ; zB)(x{\tiny B}\ ;\,y{\tiny B}\ ;\,z{\tiny B}), dans le repère (O ;ı⃗, ȷ⃗, k⃗)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k).

  • Les coordonnées du vecteur AB →\overrightarrow{AB\,} s’écrivent alors :

AB →=(xB−xA)⋅ı⃗+(yB−yA)⋅ȷ⃗+(zB−zA)⋅k⃗=(xB−xAyB−yAzB−zA)(O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗ )\begin{aligned} \overrightarrow{AB\,} &= (x{\tiny B}-x{\tiny A})\cdotp \vec \imath + (y{\tiny B}-y{\tiny A})\cdotp \vec \jmath + (z{\tiny B}-z{\tiny A})\cdotp \vec k \ &=\begin{pmatrix} x{\tiny B}-x{\tiny A} \ y{\tiny B}-y{\tiny A} \ z{\tiny B}-z{\tiny A} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)} \end{aligned}

Maintenant que nous avons rappelé et défini les repères et les vecteurs, nous pouvons effectuer des opérations sur ces vecteurs.

Opérations sur les vecteurs

Addition de deux vecteurs

Dans un repère orthonormé (O ;ı⃗, ȷ⃗, k⃗)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), soit :

  • AB →\overrightarrow{AB\,} un vecteur de coordonnées (xyz)\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}
  • BC → \overrightarrow{BC\ } un vecteur de coordonnées (x′y′z′)\begin{pmatrix} x^\prime \ y^\prime \ z^\prime \end{pmatrix}
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À retenir

L’addition des vecteurs AB →\overrightarrow{AB\,} et BC →\overrightarrow{BC\ } est égale au vecteur AC →\overrightarrow{AC\ } :

AB →+BC →=AC →\overrightarrow{AB\,}+\overrightarrow{BC\ } = \overrightarrow{AC\ }

  • Calcul géométrique

On positionne les deux vecteurs l’un à la suite de l’autre et on relie les extrémités.

Img-13

  • Calcul analytique

On additionne les coordonnées des vecteurs :

AC →=AB →+BC →=(x+x′)⋅ı⃗+(y+y′)⋅ȷ⃗+(z+z′)⋅k⃗=(x+x′y+y′z+z′)(O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗ )\begin{aligned} \overrightarrow{AC\ } &= \overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ } \ &=(x + x^\prime)\cdotp \vec \imath + (y + y^\prime)\cdotp \vec \jmath + (z+z^\prime)\cdotp \vec k \ &= \begin{pmatrix} x + x^\prime \ y + y^\prime \ z + z^\prime \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)} \end{aligned}

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Propriété

  • L’addition de vecteurs est commutative :

AC →=AB →+BC →=BC →+AB →\begin{aligned} \overrightarrow{AC\ } &= \overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ } \ &=\overrightarrow{BC\ } + \overrightarrow{AB\,} \end{aligned}

  • L’addition de vecteurs est associative :

(AB →+BC →)+DE →=AB →+(BC →+DE →)\Big(\overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }\Big) + \overrightarrow{DE\ } = \overrightarrow{AB\,} + \Big(\overrightarrow{BC\ } + \overrightarrow{DE\ }\Big)

  • Si AB →+BC →=0\overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }=0, alors AB →=CB →\overrightarrow{AB\,} = \overrightarrow{CB\ }, et AB →\overrightarrow{AB\,} et BC →\overrightarrow{BC\ } sont de même direction, mais de sens opposés.

Produit scalaire

Dans un repère orthonormé (O ;ı⃗, ȷ⃗, k⃗)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), soit :

  • AB →\overrightarrow{AB\,} un vecteur de coordonnées (xyz)\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}
  • AC → \overrightarrow{AC\ } un vecteur de coordonnées (x′y′z′)\begin{pmatrix} x^\prime \ y^\prime \ z^\prime \end{pmatrix}
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À retenir

Le résultat du produit scalaire des vecteurs AB →\overrightarrow{AB\,} et AC →\overrightarrow{AC\ } est une grandeur scalaire.

Ce produit scalaire s’écrit : AB →⋅AC →\overrightarrow{AB\,}\cdot\overrightarrow{AC\ }.

  • Calcul géométrique

Avec θ<π2\theta<\dfrac{\pi}{2} l’angle formé par AB →\overrightarrow{AB\,} et AC →\overrightarrow{AC\ }, GG le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB) et HH le projeté orthogonal de BB sur (AC)(AC) :

AB →⋅AC →=∥AB →∥×∥AC →∥×cos⁡θ=AG×∥AB →∥=AH×∥AC →∥\begin{aligned} \overrightarrow{AB\,}\cdot \overrightarrow{AC\ } &= \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \times \cos \theta\ &=AG\times \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \ &=AH\times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \end{aligned}

Img-14

  • Calcul analytique

On multiplie une à une les coordonnées des vecteurs :

AB →⋅AC →=xx′+yy′+zz′\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } = xx^\prime + yy^\prime + zz^\prime

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Propriété

  • Le produit scalaire est commutatif :

AB →⋅AC →=AC →⋅AB →\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } =\overrightarrow{AC\ } \cdot \overrightarrow{AB\,}

  • Le produit scalaire est distributif :

AB →⋅(AC →+AD →)=AB →⋅AC →+AB →⋅AD →\overrightarrow{AB\,}\cdot \Big(\overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AD\ }\Big) = \overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AD\ }

  • Si AB →⋅AC →=0\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ }=0, alors :
  • cos⁡θ=0\cos \theta = 0, donc AB →\overrightarrow{AB\,} et AC →\overrightarrow{AC\ } sont orthogonaux ;
  • ou ∥AB →∥=0\Big\Vert \overrightarrow{AB\,}\Big\Vert = 0 ;
  • ou ∥AC →∥=0\Big\Vert \overrightarrow{AC\,}\Big\Vert = 0.

Produit vectoriel

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Attention

Le produit vectoriel est une notion non encore abordée en classe de première. Nous ne donnons ici que quelques éléments afin de pouvoir le calculer. Il sera approfondi plus tard, en cours de mathématiques.

Dans un repère orthonormé (O ;ı⃗, ȷ⃗, k⃗)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), soit :

  • AB →\overrightarrow{AB\,} un vecteur de coordonnées (xyz)\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}
  • AC → \overrightarrow{AC\ } un vecteur de coordonnées (x′y′z′)\begin{pmatrix} x^\prime \ y^\prime \ z^\prime \end{pmatrix}
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À retenir

Le produit vectoriel de AB →\overrightarrow{AB\,} et AC →\overrightarrow{AC\ } s’écrit : AB →∧AC →\overrightarrow{AB\,}\land\overrightarrow{AC\ }.

C’est un vecteur :

  • orthogonal à AB →\overrightarrow{AB\,} et AC →\overrightarrow{AC\ } ;
  • de sens tel que la base (AB →, AC →, (AB →∧AC →))\bigg(\overrightarrow{AB\,},\,\overrightarrow{AC\ },\,\Big(\overrightarrow{AB\,}\land\overrightarrow{AC\ }\Big)\bigg) est de sens direct.
  • Calcul géométrique

Avec θ\theta l’angle formé par AB →\overrightarrow{AB\,} et AC →\overrightarrow{AC\ } :

∥AB →∧AC →∥=∥AB →∥×∥AC →∥×sin⁡θ\Big\Vert\overrightarrow{AB\,}\land \overrightarrow{AC\ }\Big\Vert = \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \times \sin \theta

Img-15

  • Calcul analytique

On multiplie une à une les coordonnées des vecteurs selon le principe suivant :

AB →∧AC →=(xyz)(O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)∧(x′y′z′)(O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)=(yz′−zy′zx′−xz′xy′−yx′)(O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)=(yz′−zy′)⋅ı⃗+(zx′−xz′)⋅ȷ⃗+(xy′−yx′)⋅k⃗\begin{aligned} \green{\overrightarrow{AB\,}} \land \red{\overrightarrow{AC\ }} &= \begin{pmatrix} \green x \ \green y \ \green z \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)} \land \begin{pmatrix} \red {x^\prime} \ \red {y^\prime} \ \red {z^\prime} \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)} \ &=\begin{pmatrix} \green y\red {z^\prime} - \green z \red{y^\prime} \ \green z\red {x^\prime} - \green x \red{z^\prime} \ \green x\red {y^\prime} - \green y \red{x^\prime} \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)} \ &=(\green y\red {z^\prime} - \green z \red{y^\prime})\cdotp\vec \imath + (\green z\red {x^\prime} - \green x \red{z^\prime})\cdotp \vec \jmath+ (\green x\red {y^\prime} - \green y \red{x^\prime})\cdotp \vec k \end{aligned}

Dans les propriétés suivantes, nous considérons aussi le vecteur AD →\overrightarrow{AD\ }, de coordonnées (x′′y′′z′′)(O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗ )\begin{pmatrix} x^{\prime\prime} \ y^{\prime\prime} \ z^{\prime\prime} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)}

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Propriété

  • Le produit vectoriel est anticommutatif :

AB →∧AC →=−AC →∧AB →\overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } =-\overrightarrow{AC\ } \land \overrightarrow{AB\,}

  • Le produit vectoriel est distributif :

AB →∧(AC →+DE →)=AB →∧AC →+AB →∧DE →\overrightarrow{AB\,}\land \Big(\overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{DE\ }\Big) = \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{DE\ }

  • Si AB →∧AC →=0 \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } =0, alors :
  • sin⁡θ=0\sin \theta = 0, donc AB →\overrightarrow{AB\,} et AC →\overrightarrow{AC\ } sont parallèles ;
  • ou ∥AB →∥=0\Big\Vert \overrightarrow{AB\,}\Big\Vert = 0 ;
  • ou ∥AC →∥=0\Big\Vert \overrightarrow{AC\,}\Big\Vert = 0.
  • Double produit vectoriel :

(AB →∧AC →)∧AD →=(AB →⋅AD →)⋅AC →−(AC →⋅AD →)⋅AB →\Big(\green{\overrightarrow{AB\,}} \land \red{\overrightarrow{AC\ }}\Big) \land \blue{\overrightarrow{AD\,}} = \Big(\green{\overrightarrow{AB\,}} \cdot \blue{\overrightarrow{AD\ }}\Big) \cdot \red{\overrightarrow{AC\ }}-\Big(\red{\overrightarrow{AC\ }} \cdot \blue{\overrightarrow{AD\ }}\Big) \cdot \green{\overrightarrow{AB\,}}

  • Produit mixte :

AB →⋅(AC →∧AD →)=x(y′z′′−z′y′′)+y(x′z′′−z′x′′)+z(x′y′′−y′x′′)\green{\overrightarrow{AB\,}} \cdot \Big(\red{\overrightarrow{AC\ }} \land \blue{\overrightarrow{AD\,}}\Big) = \green x(\red{y^\prime}\blue{z^{\prime\prime}} - \red{z^\prime}\blue{y^{\prime\prime}}) + \green y(\red{x^\prime}\blue{z^{\prime\prime}} - \red{z^\prime}\blue{x^{\prime\prime}}) + \green z(\red{x^\prime}\blue{y^{\prime\prime}} - \red{y^\prime}\blue{x^{\prime\prime}})

Remarque :
Pour les plus curieux – car les matrices ne sont abordées qu’en terminale –, il s’agit en fait du déterminant de la matrice formée par les coordonnées de AB →\overrightarrow{AB\,}, AC →\overrightarrow{AC\ } et AD →\overrightarrow{AD\ } :

[xyzx′y′z′x′′y′′z′′](O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗ )\begin{bmatrix} \green x & \green y & \green z \ \red{x^\prime} & \red{y^\prime} & \red{z^\prime} \ \blue{x^{\prime\prime}} & \blue{y^{\prime\prime}} & \blue{z^{\prime\prime}} \end{bmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)}

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons revu la définition d’un vecteur et avons explicité l’ensemble des opérations qui y sont liées.
Nous avons ainsi mis en lumière le fait qu’il permet de définir un repère et de donner les coordonnées de points ou de vecteurs.

Munis de cette « boîte à outils », nous pourrons mieux décrire la position d’un système, ainsi que les forces qui s’y exercent.