Calcul vectoriel et repères
Introduction :
Dans la plupart des exercices de mécanique, il est nécessaire de représenter la situation problème.
Ainsi ce chapitre répondra-t-il à la question : comment schématiser le positionnement d’un objet ou d’une force ?
Nous allons ici découvrir des outils mathématiques puissants qui nous permettront par la suite de représenter un grand nombre de phénomènes physiques.
Nous connaissons déjà le produit scalaire, que nous élargirons ici aux trois dimensions d’un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$.
Nous allons aussi découvrir le produit vectoriel : nous n’entrerons pas dans le détail, qui sera vu dans des classes supérieures, nous ne donnerons que les moyens de s’en servir pour notre objectif.
Rappels sur les vecteurs
Rappels sur les vecteurs
Que représente un vecteur ?
Que représente un vecteur ?
Partons de la situation problème suivante :
(D’après un modèle de D. Vesvard)
Lors d’une régate, le bateau vert (nommé $\text{A}$) veut rattraper le bateau jaune (nommé $\text{B}$).
- Comment indiquer au bateau $\text{A}$ le cap à tenir ?
Afin de répondre au mieux à cette interrogation, on doit préciser trois éléments.
- La direction :
Direction (d’après un modèle de D. Vesvard)
- Le sens :
Sens (d’après un modèle de D. Vesvard)
- La distance :
Distance (d’après un modèle de D. Vesvard)
- L’outil vecteur permet de représenter ces trois informations :
Vecteur (d’après un modèle de D. Vesvard)
Définition d’un vecteur
Définition d’un vecteur
À retenir
Le vecteur $\overrightarrow{AB\ }$ est une grandeur définie par :
- une direction : la droite $(AB)$ ;
- un sens : $A$ est l’origine et $B$ l’extrémité ;
- une norme, qui définit la longueur de $[AB]$, notée : $\Big\Vert \overrightarrow{AB\ }\Big\Vert$.
Vecteur unitaire et repère
Vecteur unitaire et repère
Définitions
Définitions
La plupart du temps, nous étudions un problème dans un repère orthonormé, défini par des vecteurs unitaires.
Définition
Vecteur unitaire :
Si $\vec \imath$ est un vecteur unitaire, alors c’est un vecteur de norme égale à $1$ : $\Vert \vec \imath\,\Vert = 1$.
À retenir
Un vecteur unitaire permet de quantifier les distances.
Définition
Repère orthonormé direct :
Un repère orthonormé direct est un système constitué d’une origine $O$ et de vecteurs unitaires faisant un angle de $90\degree$ et orientés dans le sens direct.
Dans le plan, nous avons donc un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$ :
Repère orthonormé direct (plan)
Dans l’espace, nous avons un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$ :
Repère orthonormé direct dans (espace)
Astuce
Pour savoir si la base $(\blue{\vec u},\,\green{\vec v},\,\red{\vec w})$ est directe, nous pouvons utiliser le pouce, l’index et le majeur de la main droite, en les mettant en angle droit (voir dessin ci-dessous).
- La base est directe si :
- $\blue {\vec u}$ correspond à l’index,
- et $\green {\vec v}$ correspond au majeur,
- et $\red {\vec w}$ correspond au pouce.
Règle de la main droite
Coordonnées d’un point
Coordonnées d’un point
À retenir
Dans un repère orthonormé, les coordonnées d’un point sont identifiées comme ses projections orthogonales sur chacun des axes de base par rapport à l’origine $O$.
Soit un point $M$ de coordonnées $(x_{\tiny M}\ ; y_{\tiny M})$ dans un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, alors :
$$\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ } &= x_{\tiny M}\cdotp \vec \imath + y_{\tiny M}\cdotp \vec \jmath \\ &=\begin{pmatrix} x_{\tiny M} \\ y_{\tiny M} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath\,)} \end{aligned}$$
Le principe reste le même en trois dimensions.
Soit un point $M$ de coordonnées $(x_{\tiny M}\ ;\,y_{\tiny M}\ ;\,z_{\tiny M})$ dans un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, alors :
$$\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ } &= x_{\tiny M}\cdotp \vec \imath + y_{\tiny M}\cdotp \vec \jmath + z_{\tiny M}\cdotp \vec k \\ &=\begin{pmatrix} x_{\tiny M} \\ y_{\tiny M} \\ z_{\tiny M} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)} \end{aligned}$$
Coordonnées d’un vecteur
Coordonnées d’un vecteur
Soit un point $A$ de coordonnées $(x_{\tiny A}\ ;\,y_{\tiny A}\ ;\,z_{\tiny A})$ et un point $B$ de coordonnées $(x_{\tiny B}\ ;\,y_{\tiny B}\ ;\,z_{\tiny B})$, dans le repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$.
- Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ s’écrivent alors :
$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB\,} &= (x_{\tiny B}-x_{\tiny A})\cdotp \vec \imath + (y_{\tiny B}-y_{\tiny A})\cdotp \vec \jmath + (z_{\tiny B}-z_{\tiny A})\cdotp \vec k \\ &=\begin{pmatrix} x_{\tiny B}-x_{\tiny A} \\ y_{\tiny B}-y_{\tiny A} \\ z_{\tiny B}-z_{\tiny A} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)} \end{aligned}$$
Maintenant que nous avons rappelé et défini les repères et les vecteurs, nous pouvons effectuer des opérations sur ces vecteurs.
Opérations sur les vecteurs
Opérations sur les vecteurs
Addition de deux vecteurs
Addition de deux vecteurs
Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, soit :
- $\overrightarrow{AB\,}$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
- $ \overrightarrow{BC\ }$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}$
À retenir
L’addition des vecteurs $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{BC\ }$ est égale au vecteur $\overrightarrow{AC\ }$ :
$\overrightarrow{AB\,}+\overrightarrow{BC\ } = \overrightarrow{AC\ }$
- Calcul géométrique
On positionne les deux vecteurs l’un à la suite de l’autre et on relie les extrémités.
Addition de vecteurs
- Calcul analytique
On additionne les coordonnées des vecteurs :
$$\begin{aligned} \overrightarrow{AC\ } &= \overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ } \\ &=(x + x^\prime)\cdotp \vec \imath + (y + y^\prime)\cdotp \vec \jmath + (z+z^\prime)\cdotp \vec k \\ &= \begin{pmatrix} x + x^\prime \\ y + y^\prime \\ z + z^\prime \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)} \end{aligned}$$
Propriété
- L’addition de vecteurs est commutative :
$$\begin{aligned} \overrightarrow{AC\ } &= \overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ } \\ &=\overrightarrow{BC\ } + \overrightarrow{AB\,} \end{aligned}$$
- L’addition de vecteurs est associative :
$$\Big(\overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }\Big) + \overrightarrow{DE\ } = \overrightarrow{AB\,} + \Big(\overrightarrow{BC\ } + \overrightarrow{DE\ }\Big)$$
- Si $\overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }=0$, alors $\overrightarrow{AB\,} = \overrightarrow{CB\ }$, et $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{BC\ }$ sont de même direction, mais de sens opposés.
Produit scalaire
Produit scalaire
Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, soit :
- $\overrightarrow{AB\,}$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
- $ \overrightarrow{AC\ }$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}$
À retenir
Le résultat du produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ est une grandeur scalaire.
Ce produit scalaire s’écrit : $\overrightarrow{AB\,}\cdot\overrightarrow{AC\ }$.
- Calcul géométrique
Avec $\theta<\dfrac{\pi}{2}$ l’angle formé par $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$, $G$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ et $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ :
$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB\,}\cdot \overrightarrow{AC\ } &= \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \times \cos \theta\\ &=AG\times \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \\ &=AH\times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \end{aligned}$$
Produit scalaire
- Calcul analytique
On multiplie une à une les coordonnées des vecteurs :
$$\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } = xx^\prime + yy^\prime + zz^\prime$$
Propriété
- Le produit scalaire est commutatif :
$$\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } =\overrightarrow{AC\ } \cdot \overrightarrow{AB\,}$$
- Le produit scalaire est distributif :
$$\overrightarrow{AB\,}\cdot \Big(\overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AD\ }\Big) = \overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AD\ }$$
- Si $\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ }=0$, alors :
- $\cos \theta = 0$, donc $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ sont orthogonaux ;
- ou $\Big\Vert \overrightarrow{AB\,}\Big\Vert = 0$ ;
- ou $\Big\Vert \overrightarrow{AC\,}\Big\Vert = 0$.
Produit vectoriel
Produit vectoriel
Attention
Le produit vectoriel est une notion non encore abordée en classe de première. Nous ne donnons ici que quelques éléments afin de pouvoir le calculer. Il sera approfondi plus tard, en cours de mathématiques.
Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, soit :
- $\overrightarrow{AB\,}$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
- $ \overrightarrow{AC\ }$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}$
À retenir
Le produit vectoriel de $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ s’écrit : $\overrightarrow{AB\,}\land\overrightarrow{AC\ }$.
C’est un vecteur :
- orthogonal à $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ ;
- de sens tel que la base $\bigg(\overrightarrow{AB\,},\,\overrightarrow{AC\ },\,\Big(\overrightarrow{AB\,}\land\overrightarrow{AC\ }\Big)\bigg)$ est de sens direct.
- Calcul géométrique
Avec $\theta$ l’angle formé par $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ :
$$\Big\Vert\overrightarrow{AB\,}\land \overrightarrow{AC\ }\Big\Vert = \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \times \sin \theta$$
Produit vectoriel
- Calcul analytique
On multiplie une à une les coordonnées des vecteurs selon le principe suivant :
$$\begin{aligned} \blue{\overrightarrow{AB\,}} \land \green{\overrightarrow{AC\ }} &= \begin{pmatrix} \blue x \\ \blue y \\ \blue z \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)} \land \begin{pmatrix} \green {x^\prime} \\ \green {y^\prime} \\ \green {z^\prime} \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)} \\ &=\begin{pmatrix} \blue y\green {z^\prime} - \blue z \green{y^\prime} \\ \blue z\green {x^\prime} - \blue x \green{z^\prime} \\ \blue x\green {y^\prime} - \blue y \green{x^\prime} \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)} \\ &=(\blue y\green {z^\prime} - \blue z \green{y^\prime})\cdotp\vec \imath + (\blue z\green {x^\prime} - \blue x \green{z^\prime})\cdotp \vec \jmath+ (\blue x\green {y^\prime} - \blue y \green{x^\prime})\cdotp \vec k \end{aligned}$$
Dans les propriétés suivantes, nous considérons aussi le vecteur $\overrightarrow{AD\ }$, de coordonnées $\begin{pmatrix} x^{\prime\prime} \\ y^{\prime\prime} \\ z^{\prime\prime} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)}$
Propriété
- Le produit vectoriel est anticommutatif :
$$\overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } =-\overrightarrow{AC\ } \land \overrightarrow{AB\,}$$
- Le produit vectoriel est distributif :
$$\overrightarrow{AB\,}\land \Big(\overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{DE\ }\Big) = \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{DE\ }$$
- Si $ \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } =0$, alors :
- $\sin \theta = 0$, donc $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ sont parallèles ;
- ou $\Big\Vert \overrightarrow{AB\,}\Big\Vert = 0$ ;
- ou $\Big\Vert \overrightarrow{AC\,}\Big\Vert = 0$.
- Double produit vectoriel :
$$\Big(\blue{\overrightarrow{AB\,}} \land \green{\overrightarrow{AC\ }}\Big) \land \red{\overrightarrow{AD\,}} = \Big(\blue{\overrightarrow{AB\,}} \cdot \red{\overrightarrow{AD\ }}\Big) \cdot \green{\overrightarrow{AC\ }}-\Big(\green{\overrightarrow{AC\ }} \cdot \red{\overrightarrow{AD\ }}\Big) \cdot \blue{\overrightarrow{AB\,}}$$
- Produit mixte :
$$\blue{\overrightarrow{AB\,}} \cdot \Big(\green{\overrightarrow{AC\ }} \land \red{\overrightarrow{AD\,}}\Big) = \blue x(\green{y^\prime}\red{z^{\prime\prime}} - \green{z^\prime}\red{y^{\prime\prime}}) + \blue y(\green{x^\prime}\red{z^{\prime\prime}} - \green{z^\prime}\red{x^{\prime\prime}}) + \blue z(\green{x^\prime}\red{y^{\prime\prime}} - \green{y^\prime}\red{x^{\prime\prime}})$$
Remarque :
Pour les plus curieux – car les matrices ne sont abordées qu’en terminale –, il s’agit en fait du déterminant de la matrice formée par les coordonnées de $\blue{\overrightarrow{AB\,}}$, $\green{\overrightarrow{AC\ }}$ et $\red{\overrightarrow{AD\ }}$ :
$$\begin{bmatrix} \blue x & \blue y & \blue z \\ \green{x^\prime} & \green{y^\prime} & \green{z^\prime} \\ \red{x^{\prime\prime}} & \red{y^{\prime\prime}} & \red{z^{\prime\prime}} \end{bmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)}$$
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons revu la définition d’un vecteur et avons explicité l’ensemble des opérations qui y sont liées.
Nous avons ainsi mis en lumière le fait qu’il permet de définir un repère et de donner les coordonnées de points ou de vecteurs.
Munis de cette « boîte à outils », nous pourrons mieux décrire la position d’un système, ainsi que les forces qui s’y exercent.