Calcul vectoriel et repères

Rappels sur les vecteurs

Que représente un vecteur ?

Partons de la situation problème suivante :

Lors d’une régate, le bateau vert (nommé $\text{A}$) veut rattraper le bateau jaune (nommé $\text{B}$).

• Comment indiquer au bateau $\text{A}$ le cap à tenir ?

Afin de répondre au mieux à cette interrogation, on doit préciser trois éléments.

• La direction :

• Le sens :

• La distance :

• L’outil vecteur permet de représenter ces trois informations :

Définition d’un vecteur

À retenir

Le vecteur $\overrightarrow{AB\ }$ est une grandeur définie par :

• une direction : la droite $(AB)$ ;
• un sens : $A$ est l’origine et $B$ l’extrémité ;
• une norme, qui définit la longueur de $[AB]$, notée : $\Big\Vert \overrightarrow{AB\ }\Big\Vert$.

Vecteur unitaire et repère

Définitions

La plupart du temps, nous étudions un problème dans un repère orthonormé, défini par des vecteurs unitaires.

Définition

Vecteur unitaire :

Si $\vec \imath$ est un vecteur unitaire, alors c’est un vecteur de norme égale à $1$ : $\Vert \vec \imath\,\Vert = 1$.

À retenir

Un vecteur unitaire permet de quantifier les distances.

Définition

Repère orthonormé direct :

Un repère orthonormé direct est un système constitué d’une origine $O$ et de vecteurs unitaires faisant un angle de $90\degree$ et orientés dans le sens direct.

Dans le plan, nous avons donc un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$ :

Dans l’espace, nous avons un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$ :

Astuce

Pour savoir si la base $(\blue{\vec u},\,\green{\vec v},\,\red{\vec w})$ est directe, nous pouvons utiliser le pouce, l’index et le majeur de la main droite, en les mettant en angle droit (voir dessin ci-dessous).

• La base est directe si :
• $\blue {\vec u}$ correspond à l’index,
• et $\green {\vec v}$ correspond au majeur,
• et $\red {\vec w}$ correspond au pouce.

Règle de la main droite

Coordonnées d’un point

À retenir

Dans un repère orthonormé, les coordonnées d’un point sont identifiées comme ses projections orthogonales sur chacun des axes de base par rapport à l’origine $O$.

Soit un point $M$ de coordonnées $(x_{\tiny M}\ ; y_{\tiny M})$ dans un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, alors :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ } &= x_{\tiny M}\cdotp \vec \imath + y_{\tiny M}\cdotp \vec \jmath \\ &=\begin{pmatrix} x_{\tiny M} \\ y_{\tiny M} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath\,)} \end{aligned}$$

Le principe reste le même en trois dimensions.

Soit un point $M$ de coordonnées $(x_{\tiny M}\ ;\,y_{\tiny M}\ ;\,z_{\tiny M})$ dans un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, alors :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ } &= x_{\tiny M}\cdotp \vec \imath + y_{\tiny M}\cdotp \vec \jmath + z_{\tiny M}\cdotp \vec k \\ &=\begin{pmatrix} x_{\tiny M} \\ y_{\tiny M} \\ z_{\tiny M} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)} \end{aligned}$$

Coordonnées d’un vecteur

Soit un point $A$ de coordonnées $(x_{\tiny A}\ ;\,y_{\tiny A}\ ;\,z_{\tiny A})$ et un point $B$ de coordonnées $(x_{\tiny B}\ ;\,y_{\tiny B}\ ;\,z_{\tiny B})$, dans le repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$.

• Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ s’écrivent alors :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB\,} &= (x_{\tiny B}-x_{\tiny A})\cdotp \vec \imath + (y_{\tiny B}-y_{\tiny A})\cdotp \vec \jmath + (z_{\tiny B}-z_{\tiny A})\cdotp \vec k \\ &=\begin{pmatrix} x_{\tiny B}-x_{\tiny A} \\ y_{\tiny B}-y_{\tiny A} \\ z_{\tiny B}-z_{\tiny A} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)} \end{aligned}$$

Maintenant que nous avons rappelé et défini les repères et les vecteurs, nous pouvons effectuer des opérations sur ces vecteurs.

Opérations sur les vecteurs

Addition de deux vecteurs

Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, soit :

• $\overrightarrow{AB\,}$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
• $ \overrightarrow{BC\ }$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}$

À retenir

L’addition des vecteurs $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{BC\ }$ est égale au vecteur $\overrightarrow{AC\ }$ :

$\overrightarrow{AB\,}+\overrightarrow{BC\ } = \overrightarrow{AC\ }$

• Calcul géométrique

On positionne les deux vecteurs l’un à la suite de l’autre et on relie les extrémités.

• Calcul analytique

On additionne les coordonnées des vecteurs :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AC\ } &= \overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ } \\ &=(x + x^\prime)\cdotp \vec \imath + (y + y^\prime)\cdotp \vec \jmath + (z+z^\prime)\cdotp \vec k \\ &= \begin{pmatrix} x + x^\prime \\ y + y^\prime \\ z + z^\prime \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)} \end{aligned}$$

Propriété

• L’addition de vecteurs est commutative :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AC\ } &= \overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ } \\ &=\overrightarrow{BC\ } + \overrightarrow{AB\,} \end{aligned}$$

• L’addition de vecteurs est associative :

$$\Big(\overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }\Big) + \overrightarrow{DE\ } = \overrightarrow{AB\,} + \Big(\overrightarrow{BC\ } + \overrightarrow{DE\ }\Big)$$

• Si $\overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }=0$, alors $\overrightarrow{AB\,} = \overrightarrow{CB\ }$, et $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{BC\ }$ sont de même direction, mais de sens opposés.

Produit scalaire

Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, soit :

• $\overrightarrow{AB\,}$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
• $ \overrightarrow{AC\ }$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}$

À retenir

Le résultat du produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ est une grandeur scalaire.

Ce produit scalaire s’écrit : $\overrightarrow{AB\,}\cdot\overrightarrow{AC\ }$.

• Calcul géométrique

Avec $\theta<\dfrac{\pi}{2}$ l’angle formé par $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$, $G$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ et $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB\,}\cdot \overrightarrow{AC\ } &= \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \times \cos \theta\\ &=AG\times \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \\ &=AH\times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \end{aligned}$$

• Calcul analytique

On multiplie une à une les coordonnées des vecteurs :

$$\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } = xx^\prime + yy^\prime + zz^\prime$$

Propriété

• Le produit scalaire est commutatif :

$$\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } =\overrightarrow{AC\ } \cdot \overrightarrow{AB\,}$$

• Le produit scalaire est distributif :

$$\overrightarrow{AB\,}\cdot \Big(\overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AD\ }\Big) = \overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AD\ }$$

• Si $\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ }=0$, alors :
• $\cos \theta = 0$, donc $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ sont orthogonaux ;
• ou $\Big\Vert \overrightarrow{AB\,}\Big\Vert = 0$ ;
• ou $\Big\Vert \overrightarrow{AC\,}\Big\Vert = 0$.

Produit vectoriel

Attention

Le produit vectoriel est une notion non encore abordée en classe de première. Nous ne donnons ici que quelques éléments afin de pouvoir le calculer. Il sera approfondi plus tard, en cours de mathématiques.

Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, soit :

• $\overrightarrow{AB\,}$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
• $ \overrightarrow{AC\ }$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}$

À retenir

Le produit vectoriel de $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ s’écrit : $\overrightarrow{AB\,}\land\overrightarrow{AC\ }$.

C’est un vecteur :

• orthogonal à $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ ;
• de sens tel que la base $\bigg(\overrightarrow{AB\,},\,\overrightarrow{AC\ },\,\Big(\overrightarrow{AB\,}\land\overrightarrow{AC\ }\Big)\bigg)$ est de sens direct.

• Calcul géométrique

Avec $\theta$ l’angle formé par $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ :

$$\Big\Vert\overrightarrow{AB\,}\land \overrightarrow{AC\ }\Big\Vert = \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \times \sin \theta$$

• Calcul analytique

On multiplie une à une les coordonnées des vecteurs selon le principe suivant :

$$\begin{aligned} \blue{\overrightarrow{AB\,}} \land \green{\overrightarrow{AC\ }} &= \begin{pmatrix} \blue x \\ \blue y \\ \blue z \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)} \land \begin{pmatrix} \green {x^\prime} \\ \green {y^\prime} \\ \green {z^\prime} \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)} \\ &=\begin{pmatrix} \blue y\green {z^\prime} - \blue z \green{y^\prime} \\ \blue z\green {x^\prime} - \blue x \green{z^\prime} \\ \blue x\green {y^\prime} - \blue y \green{x^\prime} \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)} \\ &=(\blue y\green {z^\prime} - \blue z \green{y^\prime})\cdotp\vec \imath + (\blue z\green {x^\prime} - \blue x \green{z^\prime})\cdotp \vec \jmath+ (\blue x\green {y^\prime} - \blue y \green{x^\prime})\cdotp \vec k \end{aligned}$$

Dans les propriétés suivantes, nous considérons aussi le vecteur $\overrightarrow{AD\ }$, de coordonnées $\begin{pmatrix} x^{\prime\prime} \\ y^{\prime\prime} \\ z^{\prime\prime} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)}$

Propriété

• Le produit vectoriel est anticommutatif :

$$\overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } =-\overrightarrow{AC\ } \land \overrightarrow{AB\,}$$

• Le produit vectoriel est distributif :

$$\overrightarrow{AB\,}\land \Big(\overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{DE\ }\Big) = \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{DE\ }$$

• Si $ \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } =0$, alors :
• $\sin \theta = 0$, donc $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ sont parallèles ;
• ou $\Big\Vert \overrightarrow{AB\,}\Big\Vert = 0$ ;
• ou $\Big\Vert \overrightarrow{AC\,}\Big\Vert = 0$.
• Double produit vectoriel :

$$\Big(\blue{\overrightarrow{AB\,}} \land \green{\overrightarrow{AC\ }}\Big) \land \red{\overrightarrow{AD\,}} = \Big(\blue{\overrightarrow{AB\,}} \cdot \red{\overrightarrow{AD\ }}\Big) \cdot \green{\overrightarrow{AC\ }}-\Big(\green{\overrightarrow{AC\ }} \cdot \red{\overrightarrow{AD\ }}\Big) \cdot \blue{\overrightarrow{AB\,}}$$

• Produit mixte :

$$\blue{\overrightarrow{AB\,}} \cdot \Big(\green{\overrightarrow{AC\ }} \land \red{\overrightarrow{AD\,}}\Big) = \blue x(\green{y^\prime}\red{z^{\prime\prime}} - \green{z^\prime}\red{y^{\prime\prime}}) + \blue y(\green{x^\prime}\red{z^{\prime\prime}} - \green{z^\prime}\red{x^{\prime\prime}}) + \blue z(\green{x^\prime}\red{y^{\prime\prime}} - \green{y^\prime}\red{x^{\prime\prime}})$$

Remarque :
Pour les plus curieux – car les matrices ne sont abordées qu’en terminale –, il s’agit en fait du déterminant de la matrice formée par les coordonnées de $\blue{\overrightarrow{AB\,}}$, $\green{\overrightarrow{AC\ }}$ et $\red{\overrightarrow{AD\ }}$ :

$$\begin{bmatrix} \blue x & \blue y & \blue z \\ \green{x^\prime} & \green{y^\prime} & \green{z^\prime} \\ \red{x^{\prime\prime}} & \red{y^{\prime\prime}} & \red{z^{\prime\prime}} \end{bmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)}$$