une norme, qui définit la longueur de [AB], notée : ∥∥∥AB∥∥∥.
Un repère orthonormé direct est un système constitué d’une origine O et de vecteurs unitaires faisant un angle de 90° et orientés dans le sens direct.
Les vecteurs unitaires permettent de quantifier les distances.
Nous tavaillons, dans le plan, avec un repère (O;ı,ȷ) et, dans l’espace, avec un repère (O;ı,ȷ,k).
Dans un repère orthonormé, les coordonnées d’un point sont identifiées comme ses projections orthogonales sur chacun des axes de base par rapport à l’origine O.
Soit un point M de coordonnées (xM;yM) dans un repère (O;ı,ȷ), alors :
OM=xM⋅ı+yM⋅ȷ
Soit un point M de coordonnées (xM;yM;zM) dans un repère (O;ı,ȷ,k), alors :
OM=xM⋅ı+yM⋅ȷ+zM⋅k
Soit un point A de coordonnées (xA;yA;zA) et un point B de coordonnées (xB;yB;zB), dans le repère (O;ı,ȷ,k).
Les coordonnées de AB s’écrivent alors :
AB=(xB−xA)⋅ı+(yB−yA)⋅ȷ+(zB−zA)⋅k
Opérations sur les vecteurs
Dans un repère orthonormé (O;ı,ȷ,k), soit les vecteurs AB de coordonnées ⎝⎛xyz⎠⎞ et BC de coordonnées ⎝⎛x′y′z′⎠⎞.
L’addition des deux vecteurs est égale à AC :
AC=AB+BC=(x+x′)⋅ı+(y+y′)⋅ȷ+(z+z′)⋅k
Propriétés :
AC=AB+BC=BC+AB
(AB+BC)+DE=AB+(BC+DE)
Si AB+BC=0, alors AB=−BC=CB.
Dans un repère orthonormé (O;ı,ȷ,k), soit les vecteurs AB de coordonnées ⎝⎛xyz⎠⎞ et AC de coordonnées ⎝⎛x′y′z′⎠⎞.
Le produit scalaire de AB et AC s’écrit :
AB⋅AC
avec θ<2π l’angle formé par AB et AC, G le projeté orthogonal de C sur (AB) et H le projeté orthogonal de B sur (AC) :