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Calcul vectoriel et repères

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Vecteur et repère

  • Un vecteur AB \overrightarrow{AB\ } est une grandeur définie par :
  • une direction : la droite (AB)(AB) ;
  • un sens : AA est l’origine et BB l’extrémité ;
  • une norme, qui définit la longueur de [AB][AB], notée : AB \Big\Vert \overrightarrow{AB\ }\Big\Vert.
  • Un repère orthonormé direct est un système constitué d’une origine OO et de vecteurs unitaires faisant un angle de 90°90\degree et orientés dans le sens direct.
  • Les vecteurs unitaires permettent de quantifier les distances.
  • Nous tavaillons, dans le plan, avec un repère (O;ı,ȷ)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath\,) et, dans l’espace, avec un repère (O;ı,ȷ,k)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k).
  • Dans un repère orthonormé, les coordonnées d’un point sont identifiées comme ses projections orthogonales sur chacun des axes de base par rapport à l’origine OO.
  • Soit un point MM de coordonnées (xM ;yM)(x{\tiny M}\ ; y{\tiny M}) dans un repère (O;ı,ȷ)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath\,), alors :

OM =xMı+yMȷ\overrightarrow{OM\ } = x{\tiny M}\cdotp \vec \imath + y{\tiny M}\cdotp \vec \jmath

  • Soit un point MM de coordonnées (xM ;yM ;zM)(x{\tiny M}\ ;\,y{\tiny M}\ ;\,z_{\tiny M}) dans un repère (O;ı,ȷ,k)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), alors :

OM =xMı+yMȷ+zMk\overrightarrow{OM\ } = x{\tiny M}\cdotp \vec \imath + y{\tiny M}\cdotp \vec \jmath + z_{\tiny M}\cdotp \vec k

  • Soit un point AA de coordonnées (xA ;yA ;zA)(x{\tiny A}\ ;\,y{\tiny A}\ ;\,z{\tiny A}) et un point BB de coordonnées (xB ;yB ;zB)(x{\tiny B}\ ;\,y{\tiny B}\ ;\,z{\tiny B}), dans le repère (O;ı,ȷ,k)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k).
  • Les coordonnées de AB\overrightarrow{AB\,} s’écrivent alors :

AB=(xBxA)ı+(yByA)ȷ+(zBzA)k\overrightarrow{AB\,} = (x{\tiny B}-x{\tiny A})\cdotp \vec \imath + (y{\tiny B}-y{\tiny A})\cdotp \vec \jmath + (z{\tiny B}-z{\tiny A})\cdotp \vec k

Opérations sur les vecteurs

  • Dans un repère orthonormé (O;ı,ȷ,k)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), soit les vecteurs AB\overrightarrow{AB\,} de coordonnées (xyz)\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} et BC  \overrightarrow{BC\ } de coordonnées (xyz)\begin{pmatrix} x^\prime \ y^\prime \ z^\prime \end{pmatrix}.
  • L’addition des deux vecteurs est égale à AC \overrightarrow{AC\ } :

AC =AB+BC =(x+x)ı+(y+y)ȷ+(z+z)k\begin{aligned} \overrightarrow{AC\ } &= \overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ } \ &=(x + x^\prime)\cdotp \vec \imath + (y + y^\prime)\cdotp \vec \jmath + (z+z^\prime)\cdotp \vec k \ \end{aligned}

  • Propriétés :
  • AC =AB +BC=BC +AB\overrightarrow{AC\ }=\overrightarrow{AB\ } + \overrightarrow{BC\,}=\overrightarrow{BC\ } + \overrightarrow{AB\,}
  • (AB+BC )+DE =AB+(BC +DE )\Big(\overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }\Big) + \overrightarrow{DE\ } = \overrightarrow{AB\,} + \Big(\overrightarrow{BC\ } + \overrightarrow{DE\ }\Big)
  • Si AB+BC =0\overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }=\vec 0, alors AB=BC =CB \overrightarrow{AB\,} = -\overrightarrow{BC\ }= \overrightarrow{CB\ }.
  • Dans un repère orthonormé (O;ı,ȷ,k)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), soit les vecteurs AB\overrightarrow{AB\,} de coordonnées (xyz)\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} et AC  \overrightarrow{AC\ } de coordonnées (xyz)\begin{pmatrix} x^\prime \ y^\prime \ z^\prime \end{pmatrix}.
  • Le produit scalaire de AB\overrightarrow{AB\,} et AC \overrightarrow{AC\ } s’écrit :
  • ABAC \overrightarrow{AB\,}\cdot\overrightarrow{AC\ }
  • avec θ<π2\theta<\dfrac{\pi}{2} l’angle formé par AB\overrightarrow{AB\,} et AC \overrightarrow{AC\ }, GG le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB) et HH le projeté orthogonal de BB sur (AC)(AC) :

ABAC =AB×AC×cosθ=AG×AB=AH×AC=xx+yy+zz\begin{aligned} \overrightarrow{AB\,}\cdot \overrightarrow{AC\ } &= \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \times \cos \theta\ &=AG\times \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \ &=AH\times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \ &=xx^\prime + yy^\prime + zz^\prime \end{aligned}

  • Propriétés :
  • ABAC =AC AB\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } =\overrightarrow{AC\ } \cdot \overrightarrow{AB\,}
  • AB(AC +AD )=ABAC +ABAD \overrightarrow{AB\,}\cdot \Big(\overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AD\ }\Big) = \overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AD\ }
  • Si ABAC =0\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ }=0, alors : cosθ=0\cos \theta = 0, ou AB=0\Big\Vert \overrightarrow{AB\,}\Big\Vert = 0, ou AC=0\Big\Vert \overrightarrow{AC\,}\Big\Vert = 0.
  • Dans un repère orthonormé (O;ı,ȷ,k)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), soit les vecteurs AB\overrightarrow{AB\,} de coordonnées (xyz)\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} et AC  \overrightarrow{AC\ } de coordonnées (xyz)\begin{pmatrix} x^\prime \ y^\prime \ z^\prime \end{pmatrix}.
  • Le produit vectoriel de AB\overrightarrow{AB\,} et AC \overrightarrow{AC\ } s’écrit : ABAC \overrightarrow{AB\,}\land\overrightarrow{AC\ }
  • C’est un vecteur :
  • orthogonal à AB\overrightarrow{AB\,} et AC \overrightarrow{AC\ } ;
  • de sens tel que la base (AB,AC ,(ABAC ))\bigg(\overrightarrow{AB\,},\,\overrightarrow{AC\ },\,\Big(\overrightarrow{AB\,}\land\overrightarrow{AC\ }\Big)\bigg) est de sens direct.
  • Avec θ\theta l’angle formé par AB\overrightarrow{AB\,} et AC \overrightarrow{AC\ } :

ABAC =(yzzy)ı+(zxxz)ȷ+(xyyx)kABAC =AB×AC×sinθ\begin{aligned} \blue{\overrightarrow{AB\,}} \land \green{\overrightarrow{AC\ }} &=(\blue y\green {z^\prime} - \blue z \green{y^\prime})\cdotp\vec \imath + (\blue z\green {x^\prime} - \blue x \green{z^\prime})\cdotp \vec \jmath+ (\blue x\green {y^\prime} - \blue y \green{x^\prime})\cdotp \vec k \ \ \Big\Vert\overrightarrow{AB\,}\land \overrightarrow{AC\ }\Big\Vert &= \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \times \sin \theta \end{aligned}

  • Propriétés :
  • ABAC =AC AB\overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } =-\overrightarrow{AC\ } \land \overrightarrow{AB\,}
  • AB(AC +DE )=ABAC +ABDE \overrightarrow{AB\,}\land \Big(\overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{DE\ }\Big) = \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{DE\ }
  • Si ABAC =0 \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } =0, alors : sinθ=0\sin \theta = 0, ou AB=0\Big\Vert \overrightarrow{AB\,}\Big\Vert = 0, ou AC=0\Big\Vert \overrightarrow{AC\,}\Big\Vert = 0.

Avec le vecteur AD \overrightarrow{AD\ }, de coordonnées (xyz)(O; ı,ȷ,k)\begin{pmatrix} x^{\prime\prime} \ y^{\prime\prime} \ z^{\prime\prime} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)}

  • (ABAC )AD=(ABAD )AC (AC AD )AB\Big(\blue{\overrightarrow{AB\,}} \land \green{\overrightarrow{AC\ }}\Big) \land \red{\overrightarrow{AD\,}} = \Big(\blue{\overrightarrow{AB\,}} \cdot \red{\overrightarrow{AD\ }}\Big) \cdot \green{\overrightarrow{AC\ }}-\Big(\green{\overrightarrow{AC\ }} \cdot \red{\overrightarrow{AD\ }}\Big) \cdot \blue{\overrightarrow{AB\,}}
  • AB(AC AD)=x(yzzy)+y(xzzx)+z(xyyx)\blue{\overrightarrow{AB\,}} \cdot \Big(\green{\overrightarrow{AC\ }} \land \red{\overrightarrow{AD\,}}\Big) = \blue x(\green{y^\prime}\red{z^{\prime\prime}} - \green{z^\prime}\red{y^{\prime\prime}}) + \blue y(\green{x^\prime}\red{z^{\prime\prime}} - \green{z^\prime}\red{x^{\prime\prime}}) + \blue z(\green{x^\prime}\red{y^{\prime\prime}} - \green{y^\prime}\red{x^{\prime\prime}})