Fiche de révision : Calcul vectoriel et repères

Vecteur et repère

• Un vecteur $\overrightarrow{AB\ }$ est une grandeur définie par :
• une direction : la droite $(AB)$ ;
• un sens : $A$ est l’origine et $B$ l’extrémité ;
• une norme, qui définit la longueur de $[AB]$, notée : $\Big\Vert \overrightarrow{AB\ }\Big\Vert$.
• Un repère orthonormé direct est un système constitué d’une origine $O$ et de vecteurs unitaires faisant un angle de $90\degree$ et orientés dans le sens direct.
• Les vecteurs unitaires permettent de quantifier les distances.
• Nous tavaillons, dans le plan, avec un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$ et, dans l’espace, avec un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$.
• Dans un repère orthonormé, les coordonnées d’un point sont identifiées comme ses projections orthogonales sur chacun des axes de base par rapport à l’origine $O$.
• Soit un point $M$ de coordonnées $(x_{\tiny M}\ ; y_{\tiny M})$ dans un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, alors :

$$\overrightarrow{OM\ } = x_{\tiny M}\cdotp \vec \imath + y_{\tiny M}\cdotp \vec \jmath$$

• Soit un point $M$ de coordonnées $(x_{\tiny M}\ ;\,y_{\tiny M}\ ;\,z_{\tiny M})$ dans un repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, alors :

$$\overrightarrow{OM\ } = x_{\tiny M}\cdotp \vec \imath + y_{\tiny M}\cdotp \vec \jmath + z_{\tiny M}\cdotp \vec k$$

• Soit un point $A$ de coordonnées $(x_{\tiny A}\ ;\,y_{\tiny A}\ ;\,z_{\tiny A})$ et un point $B$ de coordonnées $(x_{\tiny B}\ ;\,y_{\tiny B}\ ;\,z_{\tiny B})$, dans le repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$.
• Les coordonnées de $\overrightarrow{AB\,}$ s’écrivent alors :

$$\overrightarrow{AB\,} = (x_{\tiny B}-x_{\tiny A})\cdotp \vec \imath + (y_{\tiny B}-y_{\tiny A})\cdotp \vec \jmath + (z_{\tiny B}-z_{\tiny A})\cdotp \vec k$$

Opérations sur les vecteurs

• Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, soit les vecteurs $\overrightarrow{AB\,}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $ \overrightarrow{BC\ }$ de coordonnées $\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}$.
• L’addition des deux vecteurs est égale à $\overrightarrow{AC\ }$ :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AC\ } &= \overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ } \\ &=(x + x^\prime)\cdotp \vec \imath + (y + y^\prime)\cdotp \vec \jmath + (z+z^\prime)\cdotp \vec k \\ \end{aligned}$$

• Propriétés :
• $\overrightarrow{AC\ }=\overrightarrow{AB\ } + \overrightarrow{BC\,}=\overrightarrow{BC\ } + \overrightarrow{AB\,}$
• $\Big(\overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }\Big) + \overrightarrow{DE\ } = \overrightarrow{AB\,} + \Big(\overrightarrow{BC\ } + \overrightarrow{DE\ }\Big)$
• Si $\overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }=\vec 0$, alors $\overrightarrow{AB\,} = -\overrightarrow{BC\ }= \overrightarrow{CB\ }$.
• Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, soit les vecteurs $\overrightarrow{AB\,}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $ \overrightarrow{AC\ }$ de coordonnées $\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}$.
• Le produit scalaire de $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ s’écrit :
• $\overrightarrow{AB\,}\cdot\overrightarrow{AC\ }$
• avec $\theta<\dfrac{\pi}{2}$ l’angle formé par $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$, $G$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ et $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB\,}\cdot \overrightarrow{AC\ } &= \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \times \cos \theta\\ &=AG\times \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \\ &=AH\times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \\ &=xx^\prime + yy^\prime + zz^\prime \end{aligned}$$

• Propriétés :
• $\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } =\overrightarrow{AC\ } \cdot \overrightarrow{AB\,}$
• $\overrightarrow{AB\,}\cdot \Big(\overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AD\ }\Big) = \overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AD\ }$
• Si $\overrightarrow{AB\,} \cdot \overrightarrow{AC\ }=0$, alors : $\cos \theta = 0$, ou $\Big\Vert \overrightarrow{AB\,}\Big\Vert = 0$, ou $\Big\Vert \overrightarrow{AC\,}\Big\Vert = 0$.
• Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, soit les vecteurs $\overrightarrow{AB\,}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $ \overrightarrow{AC\ }$ de coordonnées $\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}$.
• Le produit vectoriel de $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ s’écrit : $\overrightarrow{AB\,}\land\overrightarrow{AC\ }$
• C’est un vecteur :
• orthogonal à $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ ;
• de sens tel que la base $\bigg(\overrightarrow{AB\,},\,\overrightarrow{AC\ },\,\Big(\overrightarrow{AB\,}\land\overrightarrow{AC\ }\Big)\bigg)$ est de sens direct.
• Avec $\theta$ l’angle formé par $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\ }$ :

$$\begin{aligned} \blue{\overrightarrow{AB\,}} \land \green{\overrightarrow{AC\ }} &=(\blue y\green {z^\prime} - \blue z \green{y^\prime})\cdotp\vec \imath + (\blue z\green {x^\prime} - \blue x \green{z^\prime})\cdotp \vec \jmath+ (\blue x\green {y^\prime} - \blue y \green{x^\prime})\cdotp \vec k \\ \\ \Big\Vert\overrightarrow{AB\,}\land \overrightarrow{AC\ }\Big\Vert &= \Big\Vert \overrightarrow{AB\,} \Big\Vert \times \Big\Vert \overrightarrow{AC\,} \Big\Vert \times \sin \theta \end{aligned}$$

• Propriétés :
• $\overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } =-\overrightarrow{AC\ } \land \overrightarrow{AB\,}$
• $\overrightarrow{AB\,}\land \Big(\overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{DE\ }\Big) = \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } + \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{DE\ }$
• Si $ \overrightarrow{AB\,} \land \overrightarrow{AC\ } =0$, alors : $\sin \theta = 0$, ou $\Big\Vert \overrightarrow{AB\,}\Big\Vert = 0$, ou $\Big\Vert \overrightarrow{AC\,}\Big\Vert = 0$.

Avec le vecteur $\overrightarrow{AD\ }$, de coordonnées $\begin{pmatrix} x^{\prime\prime} \\ y^{\prime\prime} \\ z^{\prime\prime} \end{pmatrix}_{(O\,;\ \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)}$

• $\Big(\blue{\overrightarrow{AB\,}} \land \green{\overrightarrow{AC\ }}\Big) \land \red{\overrightarrow{AD\,}} = \Big(\blue{\overrightarrow{AB\,}} \cdot \red{\overrightarrow{AD\ }}\Big) \cdot \green{\overrightarrow{AC\ }}-\Big(\green{\overrightarrow{AC\ }} \cdot \red{\overrightarrow{AD\ }}\Big) \cdot \blue{\overrightarrow{AB\,}}$
• $\blue{\overrightarrow{AB\,}} \cdot \Big(\green{\overrightarrow{AC\ }} \land \red{\overrightarrow{AD\,}}\Big) = \blue x(\green{y^\prime}\red{z^{\prime\prime}} - \green{z^\prime}\red{y^{\prime\prime}}) + \blue y(\green{x^\prime}\red{z^{\prime\prime}} - \green{z^\prime}\red{x^{\prime\prime}}) + \blue z(\green{x^\prime}\red{y^{\prime\prime}} - \green{y^\prime}\red{x^{\prime\prime}})$