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  • Sauf indication contraire, nous nous plaçons dans un repère orthonormé direct (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), noté R\mathcal R.

Caractéristiques d’un mouvement

  • Soit MM la position du point AA à l’instant tt.
  • OM \overrightarrow{OM\ } est le vecteur position :

OM (x(t)y(t))R=x(t)ı+y(t)ȷ\overrightarrow{OM\ } \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix}_\mathcal R=x(t)\cdot \vec \imath + y(t)\cdot \vec \jmath

  • Coordonnées polaires du vecteur position dans un repère (O ;ı)(O\ ;\,\vec \imath\,), noté D\mathcal D :

OM (ρ(t)θ(t))D\overrightarrow{OM\ } \begin{pmatrix} \rho(t) \ \theta(t) \end{pmatrix}_\mathcal D

  • ρ\rho, distance de OO à MM (coordonnée radiale),
  • θ=(i,OM )\theta=\left(\vec i,\, \overrightarrow{OM\ }\right) (coordonnée angulaire).
  • Soit M0M0 la position de AA à l’instant t0t0 fixé, et MM sa position à l’instant tt.
  • L’abscisse curviligne ss est la mesure algébrique de la distance parcourue par AA entre M0M_0 et MM.
  • Soit MM la position du point AA à l’instant tt, et MM^{\prime} sa position à l’instant t=t+Δtt^{\prime} = t+\Delta t.
  • Le vecteur vitesse instantanée vAS/R\vec v_{A\in S / \mathcal R} se définit ainsi :

vAS/R(t)=(dOM dt)R=x˙ı+y˙ȷ\vec v{A\in S / \mathcal R}(t) =\left(\dfrac{\text{d} \overrightarrow{OM\ }}{\text{d}t}\right)\mathcal R = \dot x\cdot \vec \imath + \dot y\cdot \vec \jmath

  • Le vecteur vitesse instantanée est portée par la tangente à la trajectoire en MM.
  • Il est orienté dans le sens du mouvement.
  • Dans un repère de Frenet (M ;T,N)\left(M\ ;\,\vec T,\, \vec N\right), le vecteur vitesse instantanée s’écrit :

vAS/R(t)=vT=dsdtT\begin{aligned} \vec v_{A\in S / \mathcal R}(t)&= v\cdot \vec T\ &= \dfrac {\text{d}s}{\text{d}t}\cdot \vec T \end{aligned}

  • vv est la vitesse linéaire de AA en MM.
  • ss est l’abscisse curviligne.
  • Soit MM la position du point AA à l’instant tt, et MM^{\prime} sa position à l’instant t=t+Δtt^{\prime} = t+\Delta t.
  • Le vecteur accélération instantanée aAS/R\vec a_{A\in S / \mathcal R} se définit ainsi :

aAS/R(t)=(dvdt)R=(d2 OM dt2)R=x¨ı+y¨ȷ\begin{aligned} \vec a{A\in S / \mathcal R}(t) &=\left(\dfrac{\text{d} \vec v}{\text{d}t}\right)\mathcal R \ &=\left(\dfrac{\text{d}^2\ \overrightarrow{OM\ }}{\text{d}t^2}\right)_\mathcal R = \ddot x\cdot \vec \imath + \ddot y\cdot \vec \jmath \end{aligned}

  • Dans un repère de Frenet (M ;T,N)\left(M\ ;\,\vec T,\, \vec N\right), le vecteur accélération instantanée s’écrit :

aAS/R(t)=dvdtT+v2RN\vec a_{A\in S / \mathcal R}(t) = \dfrac {\text d v}{\text d t}\cdot \vec T + \dfrac{v^2}{R}\cdot \vec N

  • Pour un mouvement circulaire, dont la trajectoire est un cercle de rayon RR, on définit l’abscisse angulaire θ\theta, l’abscisse curviligne ss (qui est donc la longueur d'un arc de cercle), la vitesse linéaire vv et la vitesse angulaire ω\omega, et on a les relations suivantes :

s(t)=Rθ(t)v(t)=Rω(t)\begin{aligned} s(t)&=R\cdot \theta(t) \ v(t)&=R\cdot \omega(t) \end{aligned}

Mouvements uniformes

  • Soit un solide SS en mouvement rectiligne uniforme (resp. circulaire uniforme).
  • Soit le point M0M0, d’abscisse x0x0 en m\text m (resp. d’abscisse angulaire θ0\theta_0 en rad\text{rad}), la position de AA appartenant à SS à l’instant initial t=0t=0.
  • Soit v0v0 la vitesse linéaire en ms1\text{m}\cdot \text s^{-1} (resp. ω0\omega0 la vitesse angulaire en rads1\text{rad}\cdot \text s^{-1}) de AA à l’instant initial t=0t=0.
  • Soit a0a0 l’accélération linéaire en ms2\text{m}\cdot \text s^{-2} (resp. ω˙0\dot\omega0 l’accélération angulaire en rads2\text{rad}\cdot \text s^{-2}) de AA à l’instant initial t=0t=0.
  • Le tableau suivant récapitule les formules à connaître pour les translations rectilignes uniformes et les mouvements circulaires uniformes.

Mouvement… rectiligne uniforme circulaire uniforme
Équation horaire x(t)=v0t+x0x(t)=v0t+x0 θ(t)=ω0t+θ\theta(t)=\omega0t+\theta
Vitesse v(t)=v0=ctev(t)=v0=\text{cte} ω(t)=ω0=cte\omega(t)=\omega0=\text{cte}
Accélération a(t)=a0=0a(t)=a0=0 ω˙(t)=ω˙0=0\dot \omega(t)=\dot\omega_0=0

Mouvements uniformément variés

  • Soit un solide SS en mouvement rectiligne uniformément varié (resp. circulaire uniformément varié).
  • Soit le point M0M0, d’abscisse x0x0 en m\text m (resp. d’abscisse angulaire θ0\theta_0 en rad\text{rad}), la position de AA appartenant à SS à l’instant initial t=0t=0.
  • Soit v0v0 la vitesse linéaire en ms1\text{m}\cdot \text s^{-1} (resp. ω0\omega0 la vitesse angulaire en rads1\text{rad}\cdot \text s^{-1}) de AA à l’instant initial t=0t=0.
  • Soit a0a0 l’accélération linéaire en ms2\text{m}\cdot \text s^{-2} (resp. ω˙0\dot\omega0 l’accélération angulaire en rads2\text{rad}\cdot \text s^{-2}) de AA à l’instant initial t=0t=0.
  • Le tableau suivant récapitule les formules à connaître pour les translations rectilignes uniformément variées et les mouvements circulaires uniformément variés.

Mouvement… rectiligne uniformément varié circulaire uniformément varié
Équation horaire x(t)=12a0t2+v0t+x0x(t)=\dfrac12a0t^2+v0t+x0 θ(t)=12ω˙0t2+ω0t+θ0\theta(t)=\dfrac12\dot \omega0t^2+\omega0t+\theta0
Vitesse v(t)=a0t+v0v(t)=a0t+v0 ω(t)=ω˙0t+ω0\omega(t)=\dot\omega0t+\omega0
Accélération a(t)=a0=ctea(t)=a0=\text{cte} ω˙(t)=ω˙0=cte\dot \omega(t)=\dot\omega0=\text{cte}