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Cinématique du point
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Introduction :
Ce nouveau cours sera consacré à la cinématique, c’est-à-dire l’étude du mouvement (en grec, kinematikos veut dire « mouvement »), sans prendre en compte les forces qui en sont à l’origine.
Ici, nous décrirons le mouvement d’un point appartenant à un solide, grâce à sa trajectoire, sa vitesse et son accélération. Nous nous intéresserons plus particulièrement à des mouvements de translation et de rotation, uniformes ou uniformément variés.
Ainsi, vous aurez les bases pour, dans les classes supérieures, décrire le mouvement non seulement d’un point, mais du solide même.
Ici, afin de simplifier l’approche et les notions, nous travaillerons uniquement dans le plan. Vous découvrirez plus tard, dans les niveaux supérieurs, comment généraliser de telles études dans l’espace.
Pour alléger le cours, nous donnons ici les unités dans lesquelles seront exprimées les grandeurs :
Enfin, la notion de dérivée sera importante pour bien comprendre le cours. Vous pouvez accéder au cours de mathématiques correspondant : Dérivation
Caractéristiques d’un mouvement
Pour décrire le mouvement d’un point, nous avons besoin de caractériser sa trajectoire, sa vitesse et son accélération.
Trajectoire et repères
La trajectoire d’un point appartenant à un solide est la ligne décrite par les positions successives occupées par le point au cours de son mouvement
Vecteur position :
Soit la position du point à l’instant .
La position d’un point est alors indiquée par le vecteur position .
Ses composantes dans sont fonction du temps :
Vecteur position
Considérons le vecteur position qui a pour composantes les fonctions du temps suivantes :
Les équations et sont appelées équations paramétriques, ou horaires, du mouvement.
Par exemple, à :
Nous venons de donner les coordonnées cartésiennes du vecteur position, mais, parfois, il sera plus simple de caractériser une position avec un angle et une distance.
Le mouvement d’un pendule, par exemple, est plus simplement décrit avec une distance et un angle qu’avec les cordonnées cartésiennes.
Pour cela, nous munissons une droite du plan d’un repère , que nous notons .
La position de à l’instant sera alors définie par :
Nous obtenons donc, pour le vecteur position :
Avec le vecteur de norme , porté par la droite et dirigé vers , tel que .
Coordonnées polaires
Nous allons maintenant découvrir une nouvelle notion : l’abscisse curviligne.
Abscisse curviligne :
Soit la position de à l’instant fixé, et sa position à l’instant . Choisissons aussi un sens positif, par exemple de vers .
L’abscisse curviligne, notée , est la mesure algébrique de l’arc , c’est-à-dire la mesure algébrique de la distance parcourue par entre et .
Abscisse curviligne
Il nous faut bien sûr connaître la trajectoire pour pouvoir utiliser l’abscisse curviligne.
Vitesse instantanée
Nous allons maintenant nous intéresser à la vitesse instantanée de à l’instant .
Vecteur vitesse instantanée :
Soit la position du point à l’instant , et sa position à l’instant .
Alors, à l’instant , le vecteur vitesse instantanée se définit ainsi :
Vecteur vitesse instantanée
Nous obtenons ainsi les composantes du vecteur vitesse instantanée :
Reprenons notre exemple précédent :
Nous obtenons les composantes du vecteur vitesse instantané en dérivant les équations horaires :
À , le vecteur vitesse a pour composantes :
Pour alléger les écritures, on utilise souvent les notations et pour indiquer les dérivées par rapport au temps.
Repère de Frenet et vecteur vitesse instantanée
Nous venons d’exprimer le vecteur vitesse instantanée par rapport à . Il est intéressant de l’exprimer dans un autre repère, appelé repère de Frenet.
Repère de Frenet :
Soit la position du point de à l’instant .
Ce repère se présente sous la forme :
Exprimons maintenant le vecteur vitesse instantanée avec et , sachant qu’il est porté par la tangente à la trajectoire au point :
Où est la vitesse linéaire de en .
Vecteur vitesse instantanée (repère de Frenet)
Le vecteur vitesse instantanée peut s’écrire :
Où est l’abscisse curviligne.
Vecteur accélération instantanée
À l’instant , nous connaissons la position et la vitesse instantanée du point .
Vecteur accélération instantanée :
Soit le vecteur vitesse instantanée du point à l’instant , et son vecteur vitesse instantanée à l’instant .
Alors, à l’instant , le vecteur accélération instantanée se définit ainsi :
Avec , nous obtenons ainsi les composantes du vecteur accélération instantanée :
Reprenons notre exemple précédent :
Nous obtenons les composantes du vecteur accélération instantanée en dérivant les composantes :
Pour tout , le vecteur accélération instantanée est constant et est égal à .
Comme pour le vecteur vitesse instantanée, nous pouvons alléger les écritures, en utilisant les notations et même pour indiquer les dérivées et les dérivées secondes par rapport au temps.
Repère de Frenet et vecteur accélération instantanée
Comme pour le vecteur vitesse, exprimons le vecteur accélération instantanée dans un repère de Frenet .
Nous allons donc repartir de l’expression du vecteur vitesse instantanée :
Pour très petit, nous pouvons approcher l’arc de la trajectoire parcourue par un arc de cercle de rayon , appelé rayon de courbure de la trajectoire en .
Nous avons alors la propriété suivante (que nous ne démontrerons pas ici) :
Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération instantanée s’exprime :
Avec :
De cette formule, nous pouvons déduire :
Translation rectiligne
Forts de ces formules que nous venons de découvrir (ou de redécouvrir), nous allons nous intéresser à deux types de mouvements simples : la translation rectiligne uniforme et la translation rectiligne uniformément variée.
Translation rectiligne uniforme
Soit un solide en translation rectiligne uniforme.
Soit le point , d’abscisse , la position de à l’instant initial .
Soit le point la position de à l’instant .
Soit la vitesse linéaire, constante.
Prenons un exemple, pour montrer comment exprimer concrètement, à partir d’une équation horaire, le vecteur vitesse instantanée et le vecteur accélération instantanée.
Étudions le mouvement qui a pour équation horaire : .
Trajectoire (translation rectiligne uniforme)
Graphe du mouvement (translation rectiligne uniforme)
Translation rectiligne uniformément variée
Soit un solide en translation rectiligne uniformément variée.
Soit le point , d’abscisse , la position de à l’instant initial .
Soit le point la position de à l’instant .
Soit la vitesse linéaire à l’instant .
Soit l’accélération linéaire, constante.
Comme pour la translation rectiligne uniforme, nous allons prendre un exemple.
Étudions le mouvement qui a pour équation horaire : .
Trajectoire (translation rectiligne uniformément variée)
Graphe du mouvement (translation rectiligne uniformément variée)
Graphe de la vitesse (translation rectiligne uniformément variée)
Mouvement circulaire
Dans cette dernière partie, nous allons étudier les mouvements circulaires : la trajectoire du point forme un cercle parfait. Là aussi, nous nous intéresserons aux mouvement circulaires uniformes et uniformément variés.
Dans la suite de ce cours, nous considérons que le point tourne dans le sens direct (trigonométrique, c’est-à-dire antihoraire).
Abscisse angulaire et vitesse angulaire
Soit la position, à l’instant , d’un point appartenant à un solide en rotation autour d’un point .
Nous allons ici travailler avec les coordonnées polaires, que nous avons définies dans la première partie :
est l’abscisse angulaire.
Considérons maintenant , l’abscisse curviligne du point en fonction du temps.
Toujours parce que la trajectoire est un cercle, de rayon , nous pouvons écrire l’équation horaire suivante :
Abscisse angulaire et curviligne
Lorsque nous avons étudié le repère de Frenet, nous avons vu la relation qui nous permet d’écrire, avec la vitesse linéaire du point à l’instant :
est par définition la vitesse angulaire, que nous notons :
Mouvement circulaire uniforme
Un point est en mouvement circulaire uniforme si sa vitesse angulaire est constante.
Soit le point , d’abscisse angulaire , la position de à l’instant initial .
Soit le point , d’abscisse angulaire , la position de à l’instant .
Soit la vitesse angulaire, constante, du point .
La fonction qui nous donnera la position de en fonction du temps, est une fonction affine.
En dérivant l’équation horaire par rapport au temps, nous retrouvons bien la valeur constante de la vitesse angulaire :
La courbe représentative de la fonction , qui donne la vitesse angulaire de en fonction du temps, est une droite horizontale d’équation .
Le mouvement étant uniforme, l’accélération angulaire sera nulle à tout instant :
La courbe représentative de la fonction , qui donne l’accélération angulaire de en fonction du temps, est une droite horizontale d’équation .
Mouvement circulaire uniformément varié
Un point est en mouvement circulaire uniformément variée si son accélération angulaire est constante.
Soit le point , d’abscisse angulaire , la position de à l’instant initial .
Soit le point la position de à l’instant .
Soit la vitesse angulaire à l’instant .
Soit l’accélération angulaire, constante, de à l’instant .
La fonction qui nous donnera la position de en fonction du temps, est une fonction polynôme du second degré.
Dérivons l’équation horaire par rapport au temps :
La fonction , qui donne la vitesse angulaire de en fonction du temps, est une fonction affine.
En dérivant la vitesse angulaire par rapport au temps, nous retrouvons bien la valeur constante de l’accélération angulaire :
La courbe représentative de la fonction , qui donne l’accélération angulaire de en fonction du temps, est une droite horizontale d’équation .
Vitesse et accélération linéaires
Dans les deux paragraphes précédents, nous avons décrit la trajectoire de grâce aux vitesse et accélération angulaires.
Pour être complets, il nous faut aussi donner les expressions des vecteurs vitesse et accélération.
Elles se déduisent des formules que nous avons vues jusqu’ici, notamment de celles avec le repère de Frenet.
Mouvement… | circulaire uniforme | circulaire uniformément varié |
Équation horaire | ||
Conclusion :
Dans ce cours nous avons appris à décrire un mouvement d’un point appartenant à un solide, grâce à sa trajectoire, sa vitesse et son accélération.
Nous avons appris à exprimer le vecteur position, puis le vecteur vitesse instantanée et enfin le vecteur accélération instantanée.
Nous avons vu le repère de Frenet et les caractéristiques des différents mouvements : translation rectiligne, uniforme ou uniformément variée, et le mouvement circulaire, uniforme ou uniformément varié.
Nous sommes maintenant capable de déterminer la position d’un point du solide, la vitesse et l’accélération à chaque instant pour chacun de ces mouvements.