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Cinématique du point

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Introduction :

Ce nouveau cours sera consacré à la cinématique, c’est-à-dire l’étude du mouvement (en grec, kinematikos veut dire « mouvement »), sans prendre en compte les forces qui en sont à l’origine.
Ici, nous décrirons le mouvement d’un point appartenant à un solide, grâce à sa trajectoire, sa vitesse et son accélération. Nous nous intéresserons plus particulièrement à des mouvements de translation et de rotation, uniformes ou uniformément variés.

Ainsi, vous aurez les bases pour, dans les classes supérieures, décrire le mouvement non seulement d’un point, mais du solide même.

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Attention

Ici, afin de simplifier l’approche et les notions, nous travaillerons uniquement dans le plan. Vous découvrirez plus tard, dans les niveaux supérieurs, comment généraliser de telles études dans l’espace.

  • Dans toutes les parties du cours, sauf indication différente, nous nous plaçons dans un repère orthonormé direct (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), que nous nommons R\mathcal R.

Pour alléger le cours, nous donnons ici les unités dans lesquelles seront exprimées les grandeurs :

  • les temps en seconde : s\text{s} ;
  • les distances en mètre : m\text{m} ;
  • les angles en radian : rad\text{rad} ;
  • les vitesses linéaires en mètre par seconde : ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1} ;
  • les vitesses angulaires en radian par seconde : rads1\text{rad}\cdot \text{s}^{-1} ;
  • les accélérations linéaires en mètre par seconde au carré : ms2\text{m}\cdot \text{s}^{-2} ;
  • les accélérations angulaires en radian par seconde au carré : rads2\text{rad}\cdot \text{s}^{-2}.

Enfin, la notion de dérivée sera importante pour bien comprendre le cours. Vous pouvez accéder au cours de mathématiques correspondant : Dérivation

Caractéristiques d’un mouvement

Pour décrire le mouvement d’un point, nous avons besoin de caractériser sa trajectoire, sa vitesse et son accélération.

  • Le mouvement est une notion relative, c’est-à-dire qu’un objet se déplace toujours par rapport à un autre pris comme repère. Ce repère est appelé référentiel.
  • En outre, la position d’un point variant dans le temps, il nous faut également un repère de temps : nous définirons donc un temps « de départ » t0=0 st_0=0\ \text{s}.

Trajectoire et repères

La trajectoire d’un point AA appartenant à un solide SS est la ligne décrite par les positions successives occupées par le point au cours de son mouvement

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Définition

Vecteur position :

Soit MM la position du point AA à l’instant tt.

La position d’un point est alors indiquée par le vecteur position OM \overrightarrow{OM\ }.
Ses composantes dans R\mathcal R sont fonction du temps :

OM (x(t)y(t))R\overrightarrow{OM\ } \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix}_\mathcal R

  • OM =x(t)ı+y(t)ȷ\overrightarrow{OM\ }=x(t)\cdot \vec \imath + y(t)\cdot \vec \jmath

Alt Sciences de l’ingénieur première cinématique du point vecteur position Vecteur position

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Exemple

Considérons le vecteur position OM \overrightarrow{OM\ } qui a pour composantes les fonctions du temps suivantes :

OM (x(t)=2×ty(t)=5×t2+4)R\overrightarrow{OM\ }\begin{pmatrix} x(t) = 2\times t \ y(t)=5\times t^2 + 4 \end{pmatrix}_\mathcal R

  • Pour tout instant tt, nous pouvons ainsi définir la position du point AA.

Les équations x(t)=2×t x(t) = 2\times t et y(t)=5×t2+4 y(t)=5\times t^2 + 4 sont appelées équations paramétriques, ou horaires, du mouvement.

Par exemple, à t=2 st = 2\ \text{s} :

OM (2×2=45×22+4=24)R\overrightarrow{OM\ }\begin{pmatrix} 2\times 2 = 4 \ 5\times 2^2 + 4 = 24 \end{pmatrix}_\mathcal R

  • À t=2 st=2\ \text{s}, le point AA du solide SS sera au point de coordonnées (4 ;24)(4\ ;\,24).

Nous venons de donner les coordonnées cartésiennes du vecteur position, mais, parfois, il sera plus simple de caractériser une position avec un angle et une distance.

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Exemple

Le mouvement d’un pendule, par exemple, est plus simplement décrit avec une distance et un angle qu’avec les cordonnées cartésiennes.

  • Nous pouvons alors aussi définir le vecteur position avec des coordonnées polaires.

Pour cela, nous munissons une droite du plan d’un repère (O ;ı)(O\ ;\,\vec \imath\,), que nous notons D\mathcal D.
La position de AA à l’instant tt sera alors définie par :

  • la distance, notée ρ\rho, de OO à MM (appelée coordonnée radiale),
  • la mesure de l’angle orienté, notée θ\theta, formé par OM \overrightarrow{OM\ } et ı\vec \imath (appelé coordonnée angulaire, ou azimuth).
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À retenir

Nous obtenons donc, pour le vecteur position OM \overrightarrow{OM\ } :

OM (ρ(t)θ(t))D=OM u\overrightarrow{OM\ } \begin{pmatrix} \rho(t) \ \theta(t) \end{pmatrix}_\mathcal D=\left\Vert \overrightarrow{OM\ }\right\Vert\cdot \vec u

Avec u\vec u le vecteur de norme 11, porté par la droite (OM)(OM) et dirigé vers MM, tel que (ı,u)=θ(\vec \imath,\, \vec u)=\theta.

Alt Sciences de l’ingénieur première cinématique du point coordonnées polaires Coordonnées polaires

Nous allons maintenant découvrir une nouvelle notion : l’abscisse curviligne.

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Définition

Abscisse curviligne :

Soit M0M0 la position de AA à l’instant t0t0 fixé, et MM sa position à l’instant tt. Choisissons aussi un sens positif, par exemple de M0M_0 vers MM.

L’abscisse curviligne, notée ss, est la mesure algébrique de l’arc M0M\overset{\Large{\frown}}{M0M}, c’est-à-dire la mesure algébrique de la distance parcourue par AA entre M0M0 et MM.

  • Elle est fonction du temps.

Alt Sciences de l’ingénieur première cinématique du point abscisse curviligne Abscisse curviligne

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Attention

Il nous faut bien sûr connaître la trajectoire pour pouvoir utiliser l’abscisse curviligne.

Vitesse instantanée

Nous allons maintenant nous intéresser à la vitesse instantanée de AA à l’instant tt.

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Définition

Vecteur vitesse instantanée :

Soit MM la position du point AA à l’instant tt, et MM^{\prime} sa position à l’instant t=t+Δtt^{\prime} = t+\Delta t.

Alors, à l’instant tt, le vecteur vitesse instantanée vAS/R\vec v_{A\in S / \mathcal R} se définit ainsi :

vAS/R(t)=limttMM tt=limΔt0MM Δt=limΔt0OM OM Δt=(dOM dt)R\begin{aligned} \vec v{A\in S / \mathcal R}(t) &= \lim\limits{t^{\prime} \to t} \dfrac {\overrightarrow{MM^{\prime}\ }}{t^{\prime} - t} \ &= \lim\limits{\Delta t \to 0} \dfrac {\overrightarrow{MM^{\prime}\ }}{\Delta t} \ &= \lim\limits{\Delta t \to 0} \dfrac {\overrightarrow{OM^\prime\ }-{\overrightarrow{OM\ }}}{\Delta t} \ &=\left(\dfrac{\text{d} \overrightarrow{OM\ }}{\text{d}t}\right)_\mathcal R \end{aligned}

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À retenir

  • Le vecteur vitesse instantanée est portée par la tangente à la trajectoire en MM.
  • Il est orienté dans le sens du mouvement.

Alt Sciences de l’ingénieur première cinématique du point vecteur vitesse Vecteur vitesse instantanée

Nous obtenons ainsi les composantes du vecteur vitesse instantanée :

vAS/R(t)(x(t)y(t))R=vAS/R(t)(dxdtdydt)R=dxdtı+dydtȷ\begin{aligned} \vec v{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} x^{\prime} (t) \ y^{\prime} (t) \end{pmatrix}\mathcal R&=\vec v{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} \dfrac{\text dx}{\text dt} \ \ \dfrac{\text dy}{\text dt} \end{pmatrix}\mathcal R \ &=\dfrac{\text dx}{\text dt}\cdot \vec \imath + \dfrac{\text dy}{\text dt} \cdot \vec \jmath \end{aligned}

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Exemple

Reprenons notre exemple précédent :

OM (x(t)=2×ty(t)=5×t2+4)R\overrightarrow{OM\ }\begin{pmatrix} x(t) = 2\times t \ y(t)=5\times t^2 + 4 \end{pmatrix}_\mathcal R

Nous obtenons les composantes du vecteur vitesse instantané en dérivant les équations horaires :

vAS/R(t)(x(t)=2y(t)=10t)R\vec v{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} x^{\prime} (t)=2 \ y^{\prime} (t)=10t \end{pmatrix}\mathcal R

À t=2 st=2\ \text{s}, le vecteur vitesse a pour composantes :

vAS/R(2)(x(2)=2y(2)=20)R\vec v{A\in S / \mathcal R}(2) \begin{pmatrix} x^{\prime} (2) = 2 \ y^{\prime} (2)=20 \end{pmatrix}\mathcal R

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Astuce

Pour alléger les écritures, on utilise souvent les notations x˙\dot x et y˙\dot y pour indiquer les dérivées par rapport au temps.

  • Nous pouvons ainsi écrire :

vAS/R(t)=x(t)ı+y(t)ȷ=dxdtı +dydtȷ =x˙ı +y˙ȷ\begin{aligned} \vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) &= x^\prime(t)\cdot \vec \imath + y^\prime(t)\cdot \vec \jmath \ &= \dfrac {\text d x}{\text d t}\cdot \vec \imath\ + \dfrac {\text d y}{\text d t}\cdot \vec \jmath\ \ &=\dot x\cdot \vec \imath\ + \dot y \cdot\, \vec \jmath \end{aligned}

Repère de Frenet et vecteur vitesse instantanée

Nous venons d’exprimer le vecteur vitesse instantanée par rapport à R\mathcal R. Il est intéressant de l’exprimer dans un autre repère, appelé repère de Frenet.

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Définition

Repère de Frenet :

Soit MM la position du point AA de SS à l’instant tt.

Ce repère se présente sous la forme (M ;T,N)\left(M\ ;\,\vec T,\, \vec N\right) :

  • il a pour origine le point mobile MM ;
  • T\vec T est le vecteur unitaire tangent à la courbe au point MM, orienté dans le sens du mouvement ;
  • N\vec N est le vecteur unitaire orthogonal à T\vec T, orienté vers l’intérieur de la courbure de la trajectoire.
  • Le repère de Frenet se déplace donc avec notre point AA et change selon la trajectoire.

Exprimons maintenant le vecteur vitesse instantanée avec T\vec T et N\vec N, sachant qu’il est porté par la tangente à la trajectoire au point MM :

vAS/R(t)=vT+0N=vT\begin{aligned} \vec v_{A\in S / \mathcal R}(t)&= v\cdot \vec T + 0\cdot \vec N \ &= v\cdot \vec T \end{aligned}

vv est la vitesse linéaire de AA en MM.

Alt Sciences de l’ingénieur première cinématique du point vecteur vitesse repère de Frenet Vecteur vitesse instantanée (repère de Frenet)

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À retenir

Le vecteur vitesse instantanée peut s’écrire :

vAS/R(t)=dsdtT\vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) = \dfrac {\text{d}s}{\text{d}t}\cdot \vec T

ss est l’abscisse curviligne.

Vecteur accélération instantanée

À l’instant tt, nous connaissons la position et la vitesse instantanée du point AA.

  • Il nous reste à définir le vecteur accélération.
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Définition

Vecteur accélération instantanée :

Soit v\vec v le vecteur vitesse instantanée du point AA à l’instant tt, et v  \overrightarrow {v^\prime\ } son vecteur vitesse instantanée à l’instant t=t+Δtt^{\prime} = t+\Delta t.

Alors, à l’instant tt, le vecteur accélération instantanée aAS/R\vec a_{A\in S / \mathcal R} se définit ainsi :

aAS/R(t)=limttv vtt=limΔt0v vΔt=(dvdt)R=(d2 OM dt2)R\begin{aligned} \vec a{A\in S / \mathcal R}(t) &= \lim\limits{t^{\prime} \to t} \dfrac {\overrightarrow{v^{\prime}\ }-\vec v}{t^{\prime} - t} \ &= \lim\limits{\Delta t \to 0} \dfrac {\overrightarrow{v^{\prime}\ }-\vec v}{\Delta t} \ &=\left(\dfrac{\text{d} \vec v}{\text{d}t}\right)\mathcal R \ &=\left(\dfrac{\text{d}^2\ \overrightarrow{OM\ }}{\text{d}t^2}\right)_\mathcal R \end{aligned}

Avec vAS/R(t)(vx(t)vy(t))\vec v{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} vx(t) \ v_y(t) \end{pmatrix}, nous obtenons ainsi les composantes du vecteur accélération instantanée :

aAS/R(t)(vx(t)vy(t))R=aAS/R(t)(dvxdtdvydt)R=aAS/R(t)(d2xdt2d2ydt2)R=d2xdt2ı+d2ydt2ȷ\begin{aligned} \vec a{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} vx^{\prime} (t) \ vy^{\prime} (t) \end{pmatrix}\mathcal R&= \vec a{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} \dfrac{\text dvx}{\text dt} \ \ \dfrac{\text dvy}{\text dt} \end{pmatrix}\mathcal R \&= \vec a{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} \dfrac{\text d^2x}{\text dt^2} \ \ \dfrac{\text d^2y}{\text dt^2} \end{pmatrix}\mathcal R \ &=\dfrac{\text d^2x}{\text dt^2}\cdot \vec \imath + \dfrac{\text d^2y}{\text dt^2} \cdot \vec \jmath \end{aligned}

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Exemple

Reprenons notre exemple précédent :

vAS/R(t)(vx(t)=2vy(t)=10t)R\vec v{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} vx(t)= 2 \ vy(t)= 10t \end{pmatrix}\mathcal R

Nous obtenons les composantes du vecteur accélération instantanée en dérivant les composantes :

aAS/R(t)(vx(t)=0vy(t)=10)R\vec a{A\in S / \mathcal R}(t) \begin{pmatrix} vx^{\prime} (t)=0\ vy^{\prime} (t)=10 \end{pmatrix}\mathcal R

Pour tout tt, le vecteur accélération instantanée est constant et est égal à 10ȷ10\vec \jmath.

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Astuce

Comme pour le vecteur vitesse instantanée, nous pouvons alléger les écritures, en utilisant les notations v˙x\dot v_x et même x¨\ddot x pour indiquer les dérivées et les dérivées secondes par rapport au temps.

  • Nous pouvons ainsi écrire :

aAS/R(t)=dvx(t)dtı +dvy(t)dtȷ =v˙xı +v˙yȷ=d2x(t)dt2ı +d2y(t)dt2ȷ =x¨ı +y¨ȷ\begin{aligned} \vec a{A\in S / \mathcal R}(t) &= \dfrac {\text d vx(t)}{\text d t}\cdot \vec \imath\ + \dfrac {\text d vy(t)}{\text d t}\cdot \vec \jmath\ \ &=\dot vx\cdot \vec \imath\ + \dot v_y \cdot\, \vec \jmath \ &= \dfrac {\text d^2 x(t)}{\text d t^2}\cdot \vec \imath\ + \dfrac {\text d^2 y(t)}{\text d t^2}\cdot \vec \jmath\ \ &=\ddot x\cdot \vec \imath\ + \ddot y \cdot\, \vec \jmath \ \end{aligned}

Repère de Frenet et vecteur accélération instantanée

Comme pour le vecteur vitesse, exprimons le vecteur accélération instantanée dans un repère de Frenet (M ;T,N)\left(M\ ;\,\vec T,\,\vec N\right).

  • Nous cherchons donc à exprimer la vecteur vitesse accélération instantanée sous la forme :

aAS/R(t)=aTT+aNN\vec a{A\in S / \mathcal R}(t) = aT\cdot \vec T + a_N\cdot \vec N

Nous allons donc repartir de l’expression du vecteur vitesse instantanée :

vAS/R(t)=vT\vec v_{A\in S / \mathcal R}(t) = v\cdot \vec T

  • Commençons par la définition d’une nouvelle notion, sans entrer dans le détail.

Pour Δt\Delta t très petit, nous pouvons approcher l’arc de la trajectoire parcourue par un arc de cercle de rayon RR, appelé rayon de courbure de la trajectoire en MM.

  • Dans le cas d’une trajectoire circulaire, comme nous le verrons plus tard, le rayon de courbure sera le rayon du cercle de la trajectoire.

Nous avons alors la propriété suivante (que nous ne démontrerons pas ici) :

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Propriété

(dTdt)R=vRN\left(\dfrac{\text d \vec T}{\text d t}\right)_\mathcal R=\dfrac{v}R\cdot \vec N

  • Ainsi, nous calculons :

aAS/R(t)=(d(vT)dt)R=dvdtT+v(dTdt)R[par produit des deˊriveˊes]=dvdtT+v(vRN)=dvdtT+v2RN\begin{aligned} \vec a{A\in S / \mathcal R}(t) &= \left(\dfrac {\text{d}(v\cdot \vec T)}{\text{d}t}\right)\mathcal R \ &= \dfrac {\text d v}{\text d t}\cdot \vec T + v\cdot \left(\dfrac{\text d \vec T}{\text d t}\right)_\mathcal R \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par produit des dérivées]}}} \ &= \dfrac {\text d v}{\text d t}\cdot \vec T + v\cdot\left( \dfrac{v}{R}\cdot \vec N\right) \ &= \dfrac {\text d v}{\text d t}\cdot \vec T + \dfrac{v^2}{R}\cdot \vec N \end{aligned}

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À retenir

Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération instantanée s’exprime :

aAS/R(t)=aTT+aNN\vec a{A\in S / \mathcal R}(t)=aT\cdot \vec T + a_N\cdot \vec N

Avec :

  • aT=dvdta_T=\dfrac {\text d v}{\text d t}
  • Il s’agit de la composante tangentielle, qui résulte de la variation de la valeur de la vitesse.
  • aN=v2Ra_N=\dfrac{v^2}{R}
  • Il s’agit de la composante normale, qui résulte de la variation de la direction du vecteur vitesse.

De cette formule, nous pouvons déduire :

  • le vecteur accélération est normal à la trajectoire s’il s’agit d’un mouvement uniforme (le vecteur vitesse instantanée reste constant dans le temps, sa dérivée est donc nulle) ;
  • la composante normale est nulle s’il s’agit d’un mouvement rectiligne (le rayon de courbure RR tend alors vers ++\infty).

Translation rectiligne

Forts de ces formules que nous venons de découvrir (ou de redécouvrir), nous allons nous intéresser à deux types de mouvements simples : la translation rectiligne uniforme et la translation rectiligne uniformément variée.

Translation rectiligne uniforme

Soit un solide SS en translation rectiligne uniforme.

  • Tous les points appartenant à ce solide ont pour trajectoire des droites parallèles.
  • Connaître le mouvement d’un seul point AA appartenant à SS suffit à décrire le mouvement du solide.
  • À chaque instant tt, le vecteur vitesse instantanée est constant (i.e. il a la même direction, le même sens et la même norme) : vAS/R(t)=v0\vec v{A\in S / \mathcal R}(t)=\vec v0.
  • Nous plaçons le repère de telle façon que la direction de ı\vec \imath soit portée par la trajectoire du point AA auquel nous nous intéressons.
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À retenir

Soit le point M0M0, d’abscisse x0x0, la position de AA à l’instant initial t=0t=0.
Soit le point MM la position de AA à l’instant tt.
Soit v0v_0 la vitesse linéaire, constante.

  • L’équation horaire est alors de la forme :

OM =x(t)ı=(v0t+x0)ı\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ } &= x(t)\cdot \vec \imath \ &= (v0t+x0)\cdot \vec \imath \end{aligned}

  • En dérivant l’équation horaire par rapport au temps, nous retrouvons bien la valeur constante de la vitesse :

vAS/R(t)=x˙ı=d(v0t+x0)dtı=v0ı [car v0 et x0 sont des constantes]\begin{aligned} \vec v{A\in S / \mathcal R}(t)&=\dot x\cdot \vec \imath \ &=\dfrac {\text{d}(v0t+x0)}{\text{d}t}\cdot \vec \imath \ &=v0\cdot \vec\imath \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } v0 \text{ et } x0 \text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}

  • Le mouvement étant rectiligne et uniforme, le vecteur accélération instantanée sera nul à tout instant tt :

aAS/R(t)=v˙ı=v˙0ı=0 [car v0 est une constante]\begin{aligned} \vec a{A\in S / \mathcal R}(t)&=\dot v\cdot \vec \imath \ &=\dot v0\cdot \vec \imath \ &=\vec 0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } v_0 \text{ est une constante]}}} \end{aligned}

Prenons un exemple, pour montrer comment exprimer concrètement, à partir d’une équation horaire, le vecteur vitesse instantanée et le vecteur accélération instantanée.

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Exemple

Étudions le mouvement qui a pour équation horaire : 3t+43t+4.

  • Nous pouvons déterminer la position de AA, le vecteur vitesse instantanée et le vectuer accélération instantanée en fonction du temps :

OM =(3t+4)ıvAS/R(t)=3ıaAS/R(t)=0\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ }&=(3t+4)\cdot \vec \imath \ \vec v{A\in S / \mathcal R}(t)&=3\cdot \vec \imath \ \vec a{A\in S / \mathcal R}(t)&=\vec 0 \end{aligned}

Alt Sciences de l’ingénieur première cinématique du point trajectoire translation rectiligne uniforme Trajectoire (translation rectiligne uniforme)

  • Le graphe du mouvement, qui donne la position de AA en fonction du temps, sera la droite d’équation x=3t+4x=3t+4.
  • Il s’agit d’une fonction affine.

Alt Sciences de l’ingénieur première cinématique du point graphe du mouvement translation rectiligne uniforme Graphe du mouvement (translation rectiligne uniforme)

  • Le graphe de la vitesse, constante, sera la droite horizontale d’équation v=3v=3.
  • Le graphe de l’accélération, nulle, sera la droite horizontale d’équation a=0a=0.

Translation rectiligne uniformément variée

Soit un solide SS en translation rectiligne uniformément variée.

  • Tous les points appartenant à ce solide ont pour trajectoire des droites parallèles.
  • Connaître le mouvement d’un seul point AA appartenant à SS suffit à décrire le mouvement du solide.
  • À chaque instant tt, le vecteur vitesse instantanée a la même direction et le même sens.
  • À chaque instant tt, le vecteur accélération instantanée est constant (i.e. il a la même direction, le même sens et la même norme : aAS/R(t)=a0\vec a{A\in S / \mathcal R}(t)=\vec a0.
  • Nous plaçons le repère de telle façon que la direction de ı\vec \imath soit portée par la trajectoire du point AA auquel nous nous intéressons.
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À retenir

Soit le point M0M0, d’abscisse x0x0, la position de AA à l’instant initial t=0t=0.
Soit le point MM la position de AA à l’instant tt.
Soit v0v0 la vitesse linéaire à l’instant t=0t=0.
Soit a0a
0 l’accélération linéaire, constante.

  • L’équation horaire est alors de la forme :

OM =x(t)ı=(12a0t2+v0t+x0)ı\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ } &= x(t)\cdot \vec \imath \ &= \left(\dfrac 12 \,a0\,t^2+v0t+x_0\right)\cdot \vec \imath \end{aligned}

  • Dérivons l’équation horaire par rapport au temps :

vAS/R(t)=x˙ı=d(12a0t2+v0t+x0)dtı=(a0t+v0)ı [car a0, v0 et x0 sont des constantes]\begin{aligned} \vec v{A\in S / \mathcal R}(t)&=\dot x\cdot \vec \imath \ &=\dfrac {\text{d}\left(\frac 12\,a0\,t^2+v0t+x0\right)}{\text{d}t}\cdot \vec \imath \ &=(a0\,t + v0)\cdot \vec\imath \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } a0,\ v0 \text{ et } x_0 \text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}

  • En dérivant le vecteur vitesse instantanée par rapport au temps, nous retrouvons bien la valeur constante de l’accélération :

aAS/R(t)=v˙ı=d(a0t+v0)dtı=a0ı [car a0 et v0 sont des constantes]\begin{aligned} \vec a{A\in S / \mathcal R}(t)&=\dot v\cdot \vec \imath \ &=\dfrac {\text{d}(a0\,t+v0)}{\text{d}t}\cdot \vec \imath \ &=a0\cdot \vec \imath \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } a0 \text{ et }v0 \text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}

Comme pour la translation rectiligne uniforme, nous allons prendre un exemple.

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Exemple

Étudions le mouvement qui a pour équation horaire : t2+2t+1t^2+2t+1.

  • Nous pouvons déterminer la position de AA, le vecteur vitesse instantanée et le vecteur accélération instantanée en fonction du temps :

OM =(t2+2t+1)ıvAS/R(t)=(2t+2)ıaAS/R(t)=2ı\begin{aligned} \overrightarrow{OM\ }&=(t^2+2t+1)\cdot \vec \imath \ \vec v{A\in S / \mathcal R}(t)&=(2t+2)\cdot \vec \imath \ \vec a{A\in S / \mathcal R}(t)&=2\cdot \vec \imath \end{aligned}

Alt Sciences de l’ingénieur première cinématique du point trajectoire translation rectiligne uniformément variée Trajectoire (translation rectiligne uniformément variée)

  • Le graphe du mouvement, qui donne la position de AA en fonction du temps, sera la parabole d’équation x=t2+2t+1x=t^2+2t+1.
  • Il s’agit d’une fonction polynôme du second degré.

Alt Sciences de l’ingénieur première cinématique du point graphe du mouvement translation rectiligne uniformément variée Graphe du mouvement (translation rectiligne uniformément variée)

  • Le graphe de la vitesse, qui donne la vitesse de AA en fonction du temps, sera la droite d’équation v=2t+2v=2t+2.
  • Il s’agit d’une fonction affine.

Alt Sciences de l’ingénieur première cinématique du point graphe de la vitesse translation rectiligne uniformément variée Graphe de la vitesse (translation rectiligne uniformément variée)

  • Le graphe de l’accélération, constante, sera la droite horizontale d’équation a=2a=2.

Mouvement circulaire

Dans cette dernière partie, nous allons étudier les mouvements circulaires : la trajectoire du point forme un cercle parfait. Là aussi, nous nous intéresserons aux mouvement circulaires uniformes et uniformément variés.

  • Pour ce faire, nous allons d’abord définir l’abscisse angulaire et la vitesse angulaire.
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Attention

Dans la suite de ce cours, nous considérons que le point AA tourne dans le sens direct (trigonométrique, c’est-à-dire antihoraire).

Abscisse angulaire et vitesse angulaire

Soit MM la position, à l’instant tt, d’un point AA appartenant à un solide SS en rotation autour d’un point OO.

  • Sa trajectoire est un cercle de centre OO et de rayon OM=ROM=R.

Nous allons ici travailler avec les coordonnées polaires, que nous avons définies dans la première partie :

  • ρ(t)\rho(t) est une constante, car la trajectoire est circulaire, et est donc égal à RR ;
  • θ(t)\theta(t) permettra donc de définir la position de AA à tout instant tt.
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À retenir

θ(t)\theta(t) est l’abscisse angulaire.

Considérons maintenant s(t)s(t), l’abscisse curviligne du point AA en fonction du temps.

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À retenir

Toujours parce que la trajectoire est un cercle, de rayon RR, nous pouvons écrire l’équation horaire suivante :

s(t)=Rθ(t)s(t)=R\cdot\theta(t)

Alt Sciences de l’ingénieur première cinématique du point abscisse angulaire et curviligne Abscisse angulaire et curviligne

Lorsque nous avons étudié le repère de Frenet, nous avons vu la relation qui nous permet d’écrire, avec v(t)v(t) la vitesse linéaire du point AA à l’instant tt :

v(t)=dsdt=d(Rθ)dt=Rdθdt [car R est constant]=Rθ˙\begin{aligned} v(t)&=\dfrac{\text{d}s}{\text{d}t} \ &=\dfrac{\text{d}(R\cdot\theta)}{\text{d}t} \ &=R\cdot \dfrac{\text{d}\theta}{\text{d}t} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car }R\text{ est constant]}}}\ &=R\cdot \dot \theta \end{aligned}

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À retenir

θ˙\dot \theta est par définition la vitesse angulaire, que nous notons ω\omega :

v(t)=Rω(t)v(t)=R\omega(t)

Mouvement circulaire uniforme

Un point est en mouvement circulaire uniforme si sa vitesse angulaire ω\omega est constante.

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À retenir

Soit le point M0M0, d’abscisse angulaire θ0\theta0, la position de AA à l’instant initial t=0t=0.
Soit le point MM, d’abscisse angulaire θ\theta, la position de AA à l’instant tt.
Soit ω0\omega_0 la vitesse angulaire, constante, du point AA.

  • L’équation horaire peut s’écrire sous la forme :

θ(t)=ω0t+θ0\theta(t) = \omega0t+\theta0

La fonction θ:tω0t+θ0\theta\,:\,t\mapsto \omega0t + \theta0 qui nous donnera la position de AA en fonction du temps, est une fonction affine.

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À retenir

En dérivant l’équation horaire par rapport au temps, nous retrouvons bien la valeur constante de la vitesse angulaire :

ω(t)=θ˙=d(ω0t+θ0)dt=ω0 [car ω0 et θ0 sont des constantes]\begin{aligned} \omega(t)&=\dot \theta \ &=\dfrac {\text{d}(\omega0t+\theta0)}{\text{d}t} \ &=\omega0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } \omega0 \text{ et } \theta_0 \text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}

La courbe représentative de la fonction ω:tω0\omega\,:\,t\mapsto \omega0, qui donne la vitesse angulaire de AA en fonction du temps, est une droite horizontale d’équation y=ω0y=\omega0.

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À retenir

Le mouvement étant uniforme, l’accélération angulaire ω˙\dot \omega sera nulle à tout instant tt :

ω˙(t)=dω0dt=0 [car ω0 est une constante]\begin{aligned} \dot \omega(t)&=\dfrac {\text{d}\omega0}{\text{d}t} \ &=0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } \omega0 \text{ est une constante]}}} \end{aligned}

La courbe représentative de la fonction ω˙:t0\dot \omega\,:\,t\mapsto 0, qui donne l’accélération angulaire de AA en fonction du temps, est une droite horizontale d’équation y=0y=0.

Mouvement circulaire uniformément varié

Un point est en mouvement circulaire uniformément variée si son accélération angulaire ω˙\dot \omega est constante.

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À retenir

Soit le point M0M0, d’abscisse angulaire θ0\theta0, la position de AA à l’instant initial t=0t=0.
Soit le point MM la position de AA à l’instant tt.
Soit ω0\omega0 la vitesse angulaire à l’instant t=0t=0.
Soit ω˙0\dot \omega
0 l’accélération angulaire, constante, de AA à l’instant t=0t=0.

  • L’équation horaire est alors de la forme :

θ(t)=12ω˙0t2+ω0t+θ0\theta(t) = \dfrac 12 \,\dot\omega0\,t^2+\omega0t+\theta_0

La fonction 12ω˙0t2+ω0t+θ0\dfrac 12 \,\dot\omega0\,t^2+\omega0t+\theta_0 qui nous donnera la position de AA en fonction du temps, est une fonction polynôme du second degré.

  • La courbe représentative sera une parabole.
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À retenir

Dérivons l’équation horaire par rapport au temps :

ω(t)=d(12ω˙0t2+ω0t+θ0)dt=ω˙0 t+ω0 [car ω0 et θ0 sont des constantes]\begin{aligned} \omega(t)&=\dfrac {\text{d}(\frac 12 \,\dot\omega0\,t^2+\omega0t+\theta0)}{\text{d}t} \ &=\dot\omega0\ t+\omega0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } \omega0\ \text{et}\ \theta_0 \text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}

La fonction ω:tω˙0t+ω0\omega\,:\,t\mapsto \dot \omega0\,t + \omega0, qui donne la vitesse angulaire de AA en fonction du temps, est une fonction affine.

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À retenir

En dérivant la vitesse angulaire par rapport au temps, nous retrouvons bien la valeur constante de l’accélération angulaire :

ω˙(t)=d(ω˙0t+ω0)dt=ω˙0 [car ω˙0 et ω0 sont des constantes]\begin{aligned} \dot \omega(t)&=\dfrac {\text{d}(\dot \omega0\,t + \omega0)}{\text{d}t} \ &=\dot \omega0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } \dot\omega0 \text{ et } \omega_0\text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}

La courbe représentative de la fonction ω˙:tω˙0\dot \omega\,:\,t\mapsto \dot \omega0, qui donne l’accélération angulaire de AA en fonction du temps, est une droite horizontale d’équation y=ω˙0y=\dot \omega0.

Vitesse et accélération linéaires

Dans les deux paragraphes précédents, nous avons décrit la trajectoire de AA grâce aux vitesse et accélération angulaires.
Pour être complets, il nous faut aussi donner les expressions des vecteurs vitesse et accélération.

  • Le tableau suivant nous donne ces expressions.

Elles se déduisent des formules que nous avons vues jusqu’ici, notamment de celles avec le repère de Frenet.

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À retenir

Mouvement… circulaire uniforme circulaire uniformément varié
Équation horaire s(t)=v0t+s0s(t)=v0t+s0 s(t)=12a0t2+v0t+s0s(t)=\dfrac 12 a0t^2+ v0t+s0
vAS/R(t)\vec v{A\in S / \mathcal R}(t) ω0RT\omega0 R\cdot \vec T R(ω˙0t+ω0)TR(\dot\omega0t+\omega0)\cdot \vec T
aAS/R(t)\vec a{A\in S / \mathcal R}(t) ω02RN\omega0^2R\cdot \vec N ω˙0RT+R(ω˙0t+ω0)2N\dot \omega0R\cdot \vec T+R(\dot\omega0t+\omega0)^2\cdot \vec N

Conclusion :

Dans ce cours nous avons appris à décrire un mouvement d’un point appartenant à un solide, grâce à sa trajectoire, sa vitesse et son accélération.

Nous avons appris à exprimer le vecteur position, puis le vecteur vitesse instantanée et enfin le vecteur accélération instantanée.

Nous avons vu le repère de Frenet et les caractéristiques des différents mouvements : translation rectiligne, uniforme ou uniformément variée, et le mouvement circulaire, uniforme ou uniformément varié.
Nous sommes maintenant capable de déterminer la position d’un point du solide, la vitesse et l’accélération à chaque instant tt pour chacun de ces mouvements.