Question 1 : Étude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonction $g$ définie sur $[0\ ;\,+\infty[$ par :
$$g(x)=2x^3-3x^2-2x+\dfrac 32$$
Calculer $g(0)$, $g\left(\frac 12\right)$ et $g\left(\frac 32\right)$.
Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur $[0\ ;\, +\infty[$, puis dresser son tableau de variation.
On ne demande pas la valeur des extremums et on admet que :
$$\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$$
Question 2
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels et $f$ la fonction définie sur $[0\ ;\, +\infty[$ par :
$$f(x)=(ax+b)\text{e}^{-x^2}$$
$\mathscr C_f$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$.
Calculer la dérivée de la fonction $w:x\mapsto \text{e}^{-x^2}$ sur $[0\ ;\, +\infty[$.
Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0\ ;\, +\infty[$, on a :
$$f^{\prime}(x)= \text{e}^{-x^2} (-2ax^2-2bx+a)$$
Représentation de f et de sa tangente au point C
Prouver que $a=-1$ et que $b=\dfrac 32$.
Question 3
Soit $x\in \left[0\ ;\, \dfrac 32\right]$.
On admet que, sur cet intervalle, $f(x)\geq 0$.
On construit le rectangle $MNPO$ tel que :
$$M\,(x\ ;\, 0)\quad N\big(x\ ;\, f(x)\big)\quad P\big(0\ ;\, f(x)\big)$$
Rectangle MNPO
Exprimer l’aire du rectangle en fonction de $x$. On notera cette aire $A(x)$.
Calculer $A^{\prime}(x)$ et montrer que $A^{\prime}(x)$ est du même signe que $g(x)$.
Montrer que l’aire du rectangle $MNPO$ atteint un maximum $A_\text{max}$ que l’on déterminera.
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