Exercices Loi des grands nombres et concentration

Dans une cité scolaire constituée de $3\,000$ élèves, professeurs et personnels, la direction veut connaître rapidement la proportion $p$ de personnes favorables à l’organisation d’un bal de fin d’année. Elle interroge donc $N$ personnes choisies au hasard en leur demandant si elles y sont favorables ou non.

Pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $N$, on note $X_k$ la variable aléatoire qui prend la valeur $1$ si la $k\text{-ième}$ personne interrogée a répondu « favorable », et $0$ sinon.
On admet que les variables $X_k$ sont indépendantes.

Question 1

Soit un entier $k$ compris entre $1$ et $N$.

• Quelle est la loi de probabilité de $X_k$ ?
• Déterminer l’espérance de $X_k$.
  Puis prouver que la variance de $X_k$ peut s’écrire $V(p)=p-p^2$.

Question 2

On note $M_N$ la variable aléatoire :

$$\dfrac{X_1+X_2+…+X_{N-1}+X_N}N$$

$M_N$ est la moyenne des variables $X_k$, donc représente la proportion de personnes ayant répondu favorablement à l’organisation du bal.

• Donner sans justification l’espérance de $M_N$.
• En utilisant la loi de concentration, justifier que, pour tout réel $\alpha > 0$ :

$$P(\vert M_N-p\vert \geq \alpha) \leq \dfrac {p-p^2}{N\alpha^2}\qquad \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(1)}}}$$

• Étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto x-x^2$ sur l’intervalle $[0\ ;\, 1]$ et calculer sa valeur maximale.
  En déduire que, pour tout réel $\alpha > 0$ :

$$P(\vert M_N-p\vert \geq \alpha)\leq \dfrac 1{4N\alpha^2}\qquad\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(2)}}}$$

• Trouver alors une condition sur la taille $N$ de l’échantillon afin que $P(\vert M_N-p\vert <0,1)$ soit supérieure à $95\,\%$.
  Comment interpréter ce résultat ?

Après le sondage, la direction de la cité scolaire estime que $80\,\%$ de la population sera présente, soit $2\,400$ personnes. Elle décide d’organiser cette fête. Elle met en place une billetterie en ligne pour financer cette organisation.
Lorsqu’ils sont édités, les $2\,400$ billets sont affectés d’un numéro aléatoire composé de $7$ chiffres. L’obtention de ce numéro est semblable à $7$ répétitions indépendantes du tirage aléatoire d’un chiffre entre $0$ et $9$.
La direction décide que les billets où le chiffre $1$ apparaît $3$ fois ou plus donneront une entrée gratuite.

Question 3

Pour un ticket donné, on note $Y$ le nombre de chiffres $1$ qui apparaissent sur son numéro.

• Donner la loi de probabilité de $Y$.
• Prouver que l’espérance de $Y$ est $E(Y)=0,7$ et que sa variance est $V(Y)=0,63$.

Question 4

• Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variable $Y$.
• Démontrer que :

$$P(\vert Y-0,7\vert\geq 2,3)\leq 0,12$$

Que peut-on en déduire sur la probabilité que le nombre de $1$ soit supérieur ou égal à $3$ sur ce billet ?

• Dans le programme en Python ci-dessous, la fonction $\purple{\text{Y()}}$ simule la variable aléatoire $Y$.

Quel est le rôle de la fonction $\purple{\text{Echantillon(n)}}$?

On écrit plusieurs fois sur la console Python la commande $\purple{\text{Echantillon(1000)}}$, et on obtient le résultat suivant :

Comparer ce résultat avec la réponse à la question b.