Dans une cité scolaire constituée de $3\,000$ élèves, professeurs et personnels, la direction veut connaître rapidement la proportion $p$ de personnes favorables à l’organisation d’un bal de fin d’année. Elle interroge donc $N$ personnes choisies au hasard en leur demandant si elles y sont favorables ou non.
Pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $N$, on note $X_k$ la variable aléatoire qui prend la valeur $1$ si la $k\text{-ième}$ personne interrogée a répondu « favorable », et $0$ sinon.
On admet que les variables $X_k$ sont indépendantes.
Question 1
Soit un entier $k$ compris entre $1$ et $N$.
Question 2
On note $M_N$ la variable aléatoire :
$$\dfrac{X_1+X_2+…+X_{N-1}+X_N}N$$
$M_N$ est la moyenne des variables $X_k$, donc représente la proportion de personnes ayant répondu favorablement à l’organisation du bal.
Donner sans justification l’espérance de $M_N$.
En utilisant la loi de concentration, justifier que, pour tout réel $\alpha > 0$ :
$$P(\vert M_N-p\vert \geq \alpha) \leq \dfrac {p-p^2}{N\alpha^2}\qquad \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(1)}}}$$
$$P(\vert M_N-p\vert \geq \alpha)\leq \dfrac 1{4N\alpha^2}\qquad\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(2)}}}$$
Après le sondage, la direction de la cité scolaire estime que $80\,\%$ de la population sera présente, soit $2\,400$ personnes. Elle décide d’organiser cette fête. Elle met en place une billetterie en ligne pour financer cette organisation.
Lorsqu’ils sont édités, les $2\,400$ billets sont affectés d’un numéro aléatoire composé de $7$ chiffres. L’obtention de ce numéro est semblable à $7$ répétitions indépendantes du tirage aléatoire d’un chiffre entre $0$ et $9$.
La direction décide que les billets où le chiffre $1$ apparaît $3$ fois ou plus donneront une entrée gratuite.
Question 3
Pour un ticket donné, on note $Y$ le nombre de chiffres $1$ qui apparaissent sur son numéro.
Donner la loi de probabilité de $Y$.
Prouver que l’espérance de $Y$ est $E(Y)=0,7$ et que sa variance est $V(Y)=0,63$.
Question 4
$$P(\vert Y-0,7\vert\geq 2,3)\leq 0,12$$
Que peut-on en déduire sur la probabilité que le nombre de $1$ soit supérieur ou égal à $3$ sur ce billet ?
$\begin{aligned}
\quad&\text{from random import }\ast\quad \\
&\text{from math import }\ast \\
\\
&\text{def Y():} \\
&\quad\text{y=0} \\
&\quad\text{for k in range(7):} \\
&\quad\quad\text{c = random()} \\
&\quad\quad\text{if c <= 0.1:} \\
&\quad\quad\quad\text{y = y + 1} \\
&\quad\text{return y} \\
\\
&\text{def Echantillon(n):} \\
&\quad\text{E=0} \\
&\quad\text{for i in range(n):} \\
&\quad\quad\text{if Y() >= 3:} \\
&\quad\quad\quad\text{E = E + 1} \\
&\quad\text{p = E / n} \\
&\quad\text{return p}
\end{aligned}$ |
Quel est le rôle de la fonction $\purple{\text{Echantillon(n)}}$?
On écrit plusieurs fois sur la console Python la commande $\purple{\text{Echantillon(1000)}}$, et on obtient le résultat suivant :
$\begin{aligned}
\quad&\text{> Echantillon(1000)}\quad \\
&0.024 \\
&\text{> Echantillon(1000)} \\
&0.031 \\
&\text{> Echantillon(1000)} \\
&0.027 \\
&\text{> Echantillon(1000)} \\
&0.038
\end{aligned}$ |
Comparer ce résultat avec la réponse à la question b.
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