Exercices Continuité des fonctions d’une variable réelle

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par :

$$g(x)=\text{e}^{-x}-\dfrac 12$$

Question 1

Justifier que cette fonction est continue sur $\mathbb R$.

Question 2

• Prouver que :
• $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=+\infty$ ;
• $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\frac 12$.
• Étudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variations.

Question 3

Prouver que l’équation $g(x)=0$ admet une seule solution que l’on notera $x_0$.
À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement au centième de $x_0$.

Question 4

On considère à présent la fonction $f$, définie sur $[0\ ;\, +\infty[$ par :

$$f(x)=\dfrac 15 \text{e}^{-x}-\dfrac 1{10}+x$$

On admet que $f$ est continue et dérivable sur $[0\ ;\, +\infty[$.

• Calculer $f(0)$.
  À l’aide de la calculatrice, donner les valeurs approchées au centième de $f(0,5)$ et de $f(1)$.
• Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0\ ;\, +\infty[$.
  On donne son tableau de variations :

La courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal admet-elle une ou des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ? Justifier votre réponse.

• Construire le tableau de variations de $f$ sur $[0\ ;\, +\infty[$.

Dans ce tableau, on fera apparaître les valeurs approchées des images $f(0,5)$ et $f(1)$. On ne demande pas la limite en $+\infty$.

Question 5

Soit $(u_n)$ la suite définie par :

$$\begin{cases} u_0=0,5 \\ \text{Pour tout entier naturel $n$ : } u_{n+1}=f(u_n) \end{cases}$$

• Démontrer par récurrence que la propriété $P_n:u_n\leq u_{n+1}\leq 1$ est vraie quel que soit l’entier naturel $n$.
  En déduire que la suite est convergente.
• Quelle est la limite de cette suite ?