Ce planning de révision concerne les élèves de Première suivant la spécialité mathématiques. Il regroupe les notions, QCM et exercices correspondant au programme spécifique de cet enseignement.

👉 Les élèves suivant l’enseignement spécifique doivent utiliser le planning dédié à la spécialité, disponible ici :

→ Planning Maths - Enseignement Scientifique

Nombre dérivé

Taux de variation

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle. Soit $h$ un nombre réel tel que $a + h$ appartienne à $I$.

On appelle taux de variation de $f$ en $a$ le nombre : $$\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

À retenir

Soit $A$ et $M$ deux points d'abscisses respectives $a$ et $a+h$ de la courbe représentative de $f$.

Le coefficient directeur de la droite $(AM)$ est : $$\frac{y_M - y_A}{x_M - x_A} = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Le taux de variation de $f$ en $a$ représente donc le coefficient directeur de la droite $(AM)$.

Nombre dérivé

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.

$f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation de $f$ en $a$ admet pour limite un nombre réel lorsque $h$ tend vers zéro.

Ce nombre, noté $f'(a)$, est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ : $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Tangente à une courbe

Propriété

Lorsque $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est la droite passant par le point $(a ; f(a))$ et de coefficient directeur $f'(a)$.

Son équation est : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Fonction dérivée

Définition

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. La fonction qui à tout réel $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$, notée $f'$.

Dérivées usuelles

Propriété

Fonction $f$	Dérivée $f'$
$f(x) = k$ (constante)	$f'(x) = 0$
$f(x) = x$	$f'(x) = 1$
$f(x) = x^n$	$f'(x) = n \times x^{n-1}$
$f(x) = \sqrt{x}$	$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x) = \dfrac{1}{x}$	$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$
$f(x) = \text{e}^x$	$f'(x) = \text{e}^x$

Opérations sur les dérivées

Propriété

Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$, et $k$ un réel :

• Dérivée d'une somme : $(u + v)' = u' + v'$
• Dérivée d'un produit par un réel : $(ku)' = ku'$
• Dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$
• Dérivée de l'inverse (avec $v$ ne s'annulant pas sur $I$) : $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$
• Dérivée d'un quotient (avec $v$ ne s'annulant pas sur $I$) : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

Astuce

Besoin de plus de détails ?
Consulte le cours :

• Dérivation

Lien entre dérivée et variations

Signe de la dérivée et sens de variation

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

• Si $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

À retenir

La réciproque est également vraie :

• Si $f$ est strictement croissante sur $I$, alors $f'(x) \geq 0$ sur $I$.
• Si $f$ est strictement décroissante sur $I$, alors $f'(x) \leq 0$ sur $I$.

Extremums

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $\alpha$ un réel de $I$.

Si $f'(\alpha) = 0$ et si $f'$ change de signe en $\alpha$, alors $f$ admet un extremum local en $\alpha$ :

• Si $f'$ passe de $-$ à $+$ en $\alpha$, alors $f$ admet un minimum local en $\alpha$.
• Si $f'$ passe de $+$ à $-$ en $\alpha$, alors $f$ admet un maximum local en $\alpha$.

Étude de fonction

Étapes d'une étude de fonction

À retenir

Les étapes d'une étude de fonction sont les suivantes :

• Chercher l'ensemble de définition s'il n'est pas donné dans l'énoncé.
• Calculer la dérivée en donnant son intervalle de définition.
• Étudier le signe de la dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction.
• Calculer les éventuels extremums afin de compléter le tableau de variations.

Exemple

Exemple

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{2x-1}{x+3}$.

• L'ensemble de définition est : $D_f = \mathbb{R} \setminus {-3} = ]-\infty ; -3[ \cup ]-3 ; +\infty[$

• La dérivée, comme quotient de deux fonctions, est : $$f'(x) = \frac{(x+3)^2 \times 2 - (2x-1) \times 1}{(x+3)^2} = \frac{7}{(x+3)^2}$$

• La dérivée est strictement positive sur les deux intervalles de l'ensemble de définition : $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty ; -3[$ et sur $]-3 ; +\infty[$.

Inégalités et dérivée

À retenir

La dérivée peut aussi permettre de démontrer des inégalités. La méthode est la suivante :

• Poser une fonction $h$ égale à la différence des deux membres de l'inégalité.
• Calculer $h'$ et étudier son signe.
• En déduire les variations de $h$.
• Conclure à partir du minimum (ou maximum) de $h$.

Exemple

Pour montrer que $\text{e}^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$, on pose $h(x) = \text{e}^x - x - 1$.

• $h'(x) = \text{e}^x - 1$
• $h'(x) > 0 \Leftrightarrow \text{e}^x > 1 \Leftrightarrow x > 0$
• $h'(x) < 0 \Leftrightarrow x < 0$

$h$ est donc décroissante sur $]-\infty ; 0]$ puis croissante sur $[0 ; +\infty[$, et admet un minimum en $x = 0$ : $$h(0) = \text{e}^0 - 0 - 1 = 0$$

Donc $h(x) \geq 0$ pour tout réel $x$, ce qui signifie bien que $\text{e}^x \geq x + 1$.

Astuce

Besoin de plus de détails ?
Consulte le cours :

• Variation et courbes représentatives de fonctions

🎯 À maîtriser pour le bac

• Calculer un taux de variation.
• Calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point.
• Déterminer l'équation de la tangente à une courbe en un point.
• Connaître les dérivées des fonctions usuelles.
• Utiliser les règles de dérivation (somme, produit, quotient).
• Étudier le signe de la dérivée pour en déduire les variations d'une fonction.
• Dresser un tableau de variations complet.
• Déterminer les extremums d'une fonction.
• Mener une étude complète de fonction.
• Utiliser la dérivée pour démontrer une inégalité.