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Introduction :

Dans ce cours, il sera tout d’abord question de nombre dérivé et de tangente à une courbe. Puis nous introduirons la notion de fonction dérivée, et nous donnerons les expressions des dérivées des fonctions usuelles et de fonctions plus complexes.

Nombre dérivé et tangente à une courbe

Nombre dérivé

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Définition

Taux de variation :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle.

Soit h0h\neq0 un nombre réel tel que a+ha+h appartienne à II.

On appelle taux de variation de ff en aa le nombre : f(a+h)f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.

mathématiques première réforme dérivation taux de variation Taux de variation

  • Interprétation géométrique du taux de variation :

On considère les points AA et MM d’abscisses respectives aa et a+ha+h de la courbe représentative de ff.

bannière astuce

Astuce

Le coefficient directeur de la droite (AM)(AM) est : yMyAxMxA\dfrac{yM-yA}{xM-xA}

En l’appliquant au cas schématisé, on obtient : f(a+h)f(a)(a+h)a=f(a+h)f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

On retrouve la formule du taux de variation. Autrement dit, le taux de variation de ff en aa représente le coefficient directeur de la droite (AM)(AM).

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Définition

Nombre dérivé :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle.

Soit h0h\neq0 un nombre réel tel que a+ha+h appartienne à II.

On dit que ff est dérivable en aa si le taux de variation de ff en aa admet pour limite un nombre réel lorsque hh tend vers zéro. Ce nombre, noté f(a)f'(a), est appelé nombre dérivé de ff en aa.

Lorsque ff est dérivable en aa, on a ainsi : f(a)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Exemple :

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x22x+1f(x)=3x^2-2x+1. On cherche, par exemple, le nombre dérivé de ff en a=1a=1.

  • Calcul du taux de variation :

f(1+h)=3×(1+h)22(1+h)+1=3×(1+2h+h2)22h+1=3+6h+3h222h+1f(1+h)=3h2+4h+2\begin{aligned} f(1+h)&=3\times(1+h)^2-2(1+h)+1 \ &=3\times(1+2h+h^2)-2-2h+1 \ &=3+6h+3h^2-2-2h+1 \ f(1+h)&=3h^2+4h+2 \end{aligned}

f(1)=3×122×1+1=32+1f(1)=2\begin{aligned} f(1)&=3\times1^2-2\times1+1 \ &=3-2+1 \ f(1)&=2 \end{aligned}

f(1+h)f(1)h=3h2+4h+22h=3h2+4hh=3h2h+4hh=3h+4\begin{aligned} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} &=\dfrac{3h^2+4h+2-2}{h} \ &=\dfrac{3h^2+4h}{h} \ &=\dfrac{3h^2}{h}+\dfrac{4h}{h} =3h+4 \end{aligned}

  • Calcul de la limite de ce taux de variation quand hh tend vers 00

limh0(3h+4)=4\lim\limits_{h\rightarrow0}(3h+4)=4

En effet, si hh tend vers 00, alors 3h3h tend vers 00, et donc 3h+43h+4 tend vers 44.

  • On en déduit que ff est dérivable en 11 et que le nombre dérivé de ff en 11 est f(1)=4f'(1)=4.

Tangente à une courbe

mathématiques première réforme dérivation Lien entre nombre dérivé et tangente à une courbe

bannière à retenir

À retenir

Le coefficient directeur de la droite (AM)(AM) représente le taux de variation de ff en aa.

La tangente à la courbe C\mathscr{C} en AA est la position limite des droites (AM)(AM) sécantes à la courbe C\mathscr{C} quand le point MM (d’abscisse a+ha+h) se rapproche du point AA (d’abscisse aa) tout en restant sur la courbe, c’est-à-dire quand hh tend vers zéro.

Or, la limite du taux de variation quand hh tend vers zéro est le nombre dérivé f(a)f'(a).

  • On en déduit la définition suivante :
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Définition

Tangente :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle.

Soit C\mathscr{C} la courbe représentative de ff dans un repère (O ; I ; J)(O\ ;\ I\ ;\ J) du plan.

Si ff est dérivable en aa, la tangente à C\mathscr{C} au point A(a ; f(a))A\big(a\ ;\ f(a)\big) est la droite passant par AA et de coefficient directeur (ou de pente) f(a)f'(a).

bannière propriete

Propriété

Au point d’abscisse aa, la tangente à la courbe représentative de ff a pour équation :

y=f(a)(xa)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)

bannière demonstration

Démonstration

Au point d’abscisse aa, la tangente à la courbe représentative de ff a pour coefficient directeur f(a)f'(a). Elle admet donc une équation de la forme y=f(a)x+by=f'(a)x+b, avec bb réel.

Cette tangente passe par le point A(a ;f(a))A\big(a\ ;\,f(a)\big), donc les coordonnées de ce point vérifient l’équation de cette droite :
f(a)=f(a)×a+bf(a)=f'(a)\times a+b, puis :
b=f(a)f(a)×ab=f(a)-f'(a)\times a.

En remplaçant bb par cette expression, nous avons donc : y=f(a)x+f(a)f(a)×a=f(a)(xa)+f(a)y=f'(a)x+f(a)-f'(a)\times a=f'(a)(x-a)+f(a).

Exemple :
Reprenons l’exemple de la fonction f(x)=3x22x+1f(x)=3x^2-2x+1.

Pour écrire l’équation de la tangente au point d’abscisse a=1a=1, utilisons la formule de la propriété : y=f(1)(x1)+f(1)y=f'(1)(x-1)+f(1).

On avait : f(1)=4f'(1)=4 et f(1)=2f(1)=2.

Donc : y=4(x1)+2=4x4+2=4x2y=4(x-1)+2=4x-4+2=4x-2.

  • L’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 11 est y=4x2y=4x-2.
bannière attention

Attention

Parfois, l’expression de la fonction n’est pas donnée, mais, en général, l’énoncé donne sa représentation graphique. Il faut alors déterminer graphiquement le nombre dérivé pour trouver l’équation de la tangente.

Exemple :

mathématiques première réforme dérivation

Le graphique représente la courbe d’une fonction ff et ses tangentes en AA, BB et CC.

Pour chercher l’équation de la tangente en A (2 ; 3)A\ (-2\ ;\ 3), on commence par déterminer f(2)f'(-2).

f(2)f'(-2) est le coefficient directeur de la tangente à C\mathscr{C} au point de la courbe d’abscisse 2-2, c’est-à-dire en AA.

Graphiquement, à partir de AA pour atteindre un autre point de la tangente, on « monte » de 2 unités quand on « avance » de 1 unité.

  • On a donc f(2)=21=2f'(-2)=\dfrac{2}{1}=2.

Il reste à écrire l’équation de la tangente en AA avec f(2)=2f'(-2)=2 et f(2)=3f(-2)=3 :

y=f(2)(x(2))+f(2)=2(x+2)+3=2x+4+3\begin{aligned} y&=f'(-2)\big(x-(-2)\big)+f(-2)\ &=2(x+2)+3 \ &=2x+4+3 \end{aligned}

  • y=2x+7y=2x+7
bannière à retenir

À retenir

Les tangentes horizontales ont pour coefficient directeur zéro.

Exemple :
La tangente au point CC d’abscisse 33 est horizontale, donc f(3)=0f'(3)=0.

Fonction dérivée

Définition

bannière definition

Définition

Fonction dérivée :

  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle II.

On dit que ff est dérivable sur II si elle est dérivable en tout réel xx de II.

  • La fonction qui, à tout réel xx de II, associe le nombre dérivé f(x)f'(x) est appelée fonction dérivée de ff.

Cette fonction est notée ff' et est définie sur II.

Dérivées des fonctions usuelles

Fonction ff Ensemble de définition de ff Ensemble de dérivabilité de ff Fonction ff'
Fonction constante : f(x)=kf(x)=k (kk réel) R\mathbb R R\mathbb R f(x)=0f'(x)=0
Fonction affine : f(x)=ax+bf(x)=ax+b (aa et bb réels) R\mathbb R R\mathbb R f(x)=af'(x)=a
Fonction carré : f(x)=x2f(x)=x^2 R\mathbb R R\mathbb R f(x)=2xf'(x)=2x
Fonction cube : f(x)=x3f(x)=x^3 R\mathbb R R\mathbb R f(x)=3x2f'(x)=3x^2
Fonction puissance : f(x)=xnf(x)=x^n (n0n\neq0) R\mathbb R si n>0n>0

R\mathbb R^{\ast} si n<0n<0, car ff n’est alors pas définie en x=0x=0

R\mathbb R si n>0n>0

R\mathbb R^{\ast} si n<0n<0, car ff' n’est alors pas définie en x=0x=0

f(x)=nxn1f'(x)=nx^{n-1}
Fonction inverse : f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} R\mathbb R^{\ast} R\mathbb R^{\ast} f(x)=1x2f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}
Fonction racine : f(x)=xf(x)=\sqrt x [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[ ]0 ; +[]0\ ;\ +\infty[ f(x)=12xf'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}
Fonction composée : xf(x)=g(ax+b)x\mapsto f(x)=g(ax+b) (aa et bb réels) II tel que ax+bJax +b \in J et gg définie sur JJ II tel que ax+bJax +b \in J et gg dérivable sur JJ f(x)=ag(ax+b)f'(x)=ag'(ax+b)
Fonction valeur absolue : f(x)=xf(x)=|x| R\mathbb R R\mathbb R^{\ast} f(x)=1f'(x)=-1 si x<0x<0

f(x)=1f'(x)=1 si x>0x>0

bannière attention

Attention

Le plus souvent, les fonctions ont le même domaine de dérivabilité que leur domaine de définition, excepté par exemple :

  • la fonction valeur absolue (que nous verrons en détail plus bas), qui est définie sur R\mathbb R, mais qui n’est dérivable que sur R\mathbb R^{\ast} ;
  • la fonction racine carrée (voir la démonstration ci-dessous), qui est définie sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[ (zéro inclus), mais qui n’est dérivable que sur ]0 ; +[]0\ ;\ +\infty[ (zéro exclu).
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Démonstration

La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 00.
Soit hh un réel strictement positif.

0+h0h=hh=1h\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{0+h}-\sqrt 0}{h}&=\dfrac{\sqrt h}{h} \ &=\dfrac{1}{\sqrt h} \end{aligned}

Quand hh tend vers 00 (en gardant des valeurs positives), h\sqrt{h} tend vers 00 (avec des valeurs positives). Donc 1h\frac{1}{\sqrt{h}} tend ++\infty.

  • Par définition, la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0.
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Démonstration

Dérivée de la fonction carrée
Soit ff la fonction carrée. Pour tout xx réel, f(x)=x2f(x)=x^2.
Soit aa et h0h\neq0 deux nombres réels.

f(a+h)f(a)h=(a+h)2a2h=a2+2ah+h2a2h=2ah+h2h=2a+h\begin{aligned} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\dfrac{{(a+h)}^2-a^2}{h} \ &=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h} \ &=\dfrac{2ah+h^2}{h} \ &=2a+h \end{aligned}

Quand hh tend vers 00, 2a+h2a+h tend vers 2a2a.
Nous avons donc f(a)=2af'(a)=2a pour tout nombre réel aa.

  • La fonction dérivée de ff est donc la fonction ff' définie sur l’ensemble des nombres réels par f(x)=2xf'(x)=2x.
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Démonstration

Dérivée de la fonction inverse
Soit ff la fonction inverse. Pour tout xx réel non nul, f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}. Soit a0a\neq0 et h0h\neq0 deux nombres réels.

f(a+h)f(a)h=1a+h1ah=aa(a+h)a+ha(a+h)h=a(a+h)a(a+h)h=ha(a+h)h=1a(a+h)\begin{aligned} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\dfrac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}\ &=\dfrac{\frac{a}{a(a+h)}-\frac{a+h}{a(a+h)} }{h} \ &=\dfrac{\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h} \ &=\dfrac{\frac{-h}{a(a+h)}}{h} \ &=\dfrac{-1}{a(a+h)} \end{aligned}

Quand hh tend vers 00 :

  • a+ha+h tend vers aa,
  • a(a+h)a(a+h) tend vers a2a^2,
  • 1a(a+h)\dfrac{-1}{a(a+h)} tend vers 1a2-\dfrac{1}{a^2}.

Nous avons donc f(a)=1a2f'(a)=-\dfrac{1}{a^2} pour tout nombre réel non nul aa.

  • La fonction dérivée de ff est donc la fonction ff' définie sur l’ensemble des nombres réels non nuls par f(x)=1x2f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}.

Cas d’une fonction non dérivable en un point

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Définition

Fonction valeur absolue :

  • La valeur absolue d'un nombre réel positif est le nombre lui-même.
  • La valeur absolue d'un nombre négatif est l'opposé de ce nombre.
  • Autrement dit, la valeur absolue du nombre xx notée x|x| est :

x={x si x0x si x0|x|=\begin{cases}-x&\ &\text{si}\ x\leq0 \ x&\ &\text{si}\ x\geq0\end{cases}

Exemples :
5=53=30=0\begin{aligned} |5|&=5 \ |-3|&=3 \ |0|&=0 \end{aligned}

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Propriété

Propriétés :

  • Pour tout réel xx, on a :
  • x0|x|\geq0
  • x=x|x|=|-x|
  • x2=x\sqrt{x^2}=|x|
  • La fonction valeur absolue est décroissante sur ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0] et croissante sur [0 ; +[[0\ ;\ +\,\infty[. La fonction valeur absolue admet en x=0x=0 un minimum égal à 00.

mathématiques première réforme dérivation valeur absolue

  • La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites. Dans un repère orthogonal, cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

mathématiques première réforme dérivation fonction valeur absolue

  • La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 00.
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Démonstration

Plaçons nous, d’une part, « à gauche » de la valeur 00 et, d’autre part, « à droite » de la valeur 00.

  • Soit h0h\neq 0 un réel négatif.

0+h0h=hh=hh=1\dfrac{|0+h|-|0|}{h}=\dfrac{|h|}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1 (lorsque hh est négatif, h=h|h|=-h).

Lorsque hh tend vers 00 (en gardant des valeurs négatives), 0+h0h\dfrac{|0+h|-|0|}{h} tend vers 1-1.

  • Soit h0h\neq 0 un réel positif.

0+h0h=hh=hh=1\dfrac{|0+h|-|0|}{h}=\dfrac{|h|}{h}=\dfrac{-h}{h}=1 (lorsque hh est positif, h=h|h|=h).

Lorsque hh tend vers 00 (en gardant des valeurs positives), 0+h0h\dfrac{|0+h|-|0|}{h} tend vers 11.

  • Finalement, le taux de variation de la fonction valeur absolue n’a pas de limite en 00, donc la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 00.

Remarque : On dit que le taux de variation de la valeur absolue en 00 a :

  • pour limite « à gauche » ou « par valeurs inférieures » 1-1 ;
  • pour limite « à droite » ou « par valeurs supérieures » 11. Cela correspond à deux demi-tangentes à la courbe représentative de la fonction valeur absolue, respectivement de coefficient directeur 1-1 et 11.

Dérivées et opérations

Dérivée d’une somme et d’un produit par un réel

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Propriété

Soit uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle II.

La fonction somme u+vu+v définie sur II par f(x)=u(x)+v(x)f(x)=u(x)+v(x) est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II on a :

(u+v)(x)=u(x)+v(x)(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x)

bannière à retenir

À retenir

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées :

(u+v)=u+v(u+v)'=u'+v'

Exemple :
La dérivée de la fonction f(x)=x2+3x8f(x)=x^2+3x-8 est la somme des dérivées de x2x^2, de 3x3x et de 8-8.
Ainsi : f(x)=2x+3f'(x)=2x+3.

Dérivée d’un produit d’une fonction par un réel

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Propriété

Propriété :

Soit uu une fonction définie et dérivable sur II et kk un réel constant.
La fonction kuku définie sur II par f(x)=k×u(x)f(x)=k\times u(x) est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II, on a :

(ku)(x)=k×u(x)(ku)'(x)=k\times u'(x)

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À retenir

La dérivée d’un produit d’une fonction par un réel est :

(ku)=ku(ku)'=ku'

Exemple :
La dérivée de la fonction f(x)=2x3f(x)=2x^3 est le produit de la constante 22 par la dérivée de la fonction x3x^3.
Ainsi, f(x)=2×3x2=6x2f'(x)=2\times3x^2=6x^2.

Dérivée d’un produit de deux fonctions

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Propriété

Soit uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle II.

La fonction produit u×vu\times v définie sur II par f(x)=u(x)×v(x)f(x)=u(x)\times v(x) est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II, on a :

(u×v)(x)=u(x)×v(x)+u(x)×v(x)(u\times v)'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)

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À retenir

La dérivée d’une fonction produit est :

(uv)=uv+uv(uv)'=u'v+uv'

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Démonstration

Soit uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle II.
Soit aIa\in I et h0h\neq0 tel que a+hIa +h \in I.

  • (u×v)(a+h)(u×v)(a)h=u(a+h)v(a+h)u(a)v(a)h\frac{(u\times v)(a+h)-(u\times v)(a)}{h}=\frac{u(a+h) v(a+h)-u(a)v(a)}{h}
  • Faisons apparaître le taux de variation de la fonction uu entre aa et a+ha + h :

(u×v)(a+h)(u×v)(a)h=u(a+h)v(a+h)u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)u(a)v(a)h\frac{(u\times v)(a+h)-(u\times v)(a)}{h}=\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}

car u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)=0-u(a) v(a+h) + u(a) v(a + h) = 0.

  • (u×v)(a+h)(u×v)(a)h=[u(a+h)u(a)]v(a+h)+u(a)[v(a+h)v(a)]h\frac{(u\times v)(a+h)-(u\times v)(a)}{h}=\frac{[u(a+h)-u(a)]v(a+h)+u(a)[v(a+h)-v(a)]}{h}
  • (u×v)(a+h)(u×v)(a)h=u(a+h)u(a)h×v(a+h)+u(a)×v(a+h)v(a)h\frac{(u\times v)(a+h)-(u\times v)(a)}{h}=\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h)+u(a)\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h}

en coupant la fraction en deux.

  • uu est dérivable en aa donc, quand hh tend vers 00, u(a+h)u(a)h\frac{u(a+h)-u(a)}{h} tend vers u(a)u'(a).
  • vv est dérivable en aa donc, quand hh tend vers 00, v(a+h)v(a)h\frac{v(a+h)-v(a)}{h} tend vers v(a)v'(a).
  • De plus, on admet que, quand hh tend vers 00, v(a+h)v(a+h) tend vers v(a)v(a).
  • Finalement, quand hh tend vers 00,

u(a+h)u(a)hv(a+h)+u(a)×v(a+h)v(a)h\frac{u(a+h)-u(a)}{h}v(a+h)+u(a)\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h}

tend vers u(a)v(a)+u(a)v(a)u'(a)v(a)+u(a)v'(a).

  • Nous avons donc (uv)(a)=u(a)v(a)u(a)v(a)(uv)'(a)=u'(a)v(a)u(a)v'(a) pour tout nombre réel aIa\in I.
  • La fonction dérivée de u×vu\times v est donc la fonction (u×v)(u\times v)' définie sur II par (u×v)(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)(u\times v)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v' (x).

Exemple :
Soit la fonction f(x)=(x1)xf(x)=(x-1)\sqrt x définie sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[ et dérivable sur ]0 ; +[]0\ ;\ +\infty[. On note :

  • u(x)=x1u(x)=x-1, donc u(x)=1u'(x)=1 ;
  • v(x)=xv(x)=\sqrt x, donc v(x)=12xv'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}.
  • On a alors :

f(x)=1×x+(x1)×12x=x+x12x, pour tout x ]0 ; +[\begin{aligned} f'(x)&=1\times\sqrt x+(x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt x} \ &=\sqrt x+\dfrac{x-1}{2\sqrt x}\text{, pour tout }x\ \in ]0\ ;\ +\infty[ \end {aligned}

  • Le calcul de la dérivée est terminé, mais on peut simplifier cette expression en mettant au même dénominateur :

f(x)=x×2x2x+x12x=2x2x+x12x=3x12x, pour tout x ]0 ; +[\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{\sqrt x\times2\sqrt x}{2\sqrt x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \ &=\dfrac{2x}{2\sqrt x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \ &=\dfrac{3x-1}{2\sqrt x}\text{, pour tout }x\in\ ]0\ ;\ +\infty[ \end{aligned}

  • On obtient donc une expression simplifiée de notre dérivée, mais nous pouvons encore l’améliorer en l’écrivant sans la racine au dénominateur :

f(x)=3x12x×xx=(3x1)x2x, pour tout x ]0 ; +[\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{3x-1}{2\sqrt x}\times\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x} \ &=\dfrac{(3x-1)\sqrt x}{2x}\text{, pour tout }x\in\ ]0\ ;\ +\infty[ \end{aligned}

Dérivée de l’inverse d’une fonction

Soit vv une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle II.

La fonction 1v\dfrac{1}{v} définie sur II par f(x)=1v(x)f(x)=\dfrac{1}{v(x)} est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II, on a :

(1v)(x)=v(x)(v(x))2\big(\dfrac{1}{v}\big)'(x)=-\dfrac{v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}

bannière à retenir

À retenir

La dérivée de l’inverse d’une fonction est :

(1v)=vv2\big(\dfrac{1}{v}\big)'=-\dfrac{v'}{v^2}

Exemple :
Soit la fonction f(x)=12x28f(x)=\dfrac{1}{2x^2-8} et I=]2 ; 2[I=]-2\ ;\ 2[, où 2x282x^2-8 ne s'annule pas.
On note : v(x)=2x28v(x)=2x^2-8, donc v(x)=4xv'(x)=4x.

On a alors : f(x)=4x(2x28)2f'(x)=-\dfrac{4x}{(2x^2-8)^2}

Dérivée d’un quotient de deux fonctions

bannière propriete

Propriété

Soit uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle II. On suppose que vv ne s’annule pas sur II.

La fonction quotient uv\dfrac{u}{v} définie sur II par f(x)=u(x)v(x)f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II, on a :

(uv)(x)=u(x)×v(x)u(x)×v(x)(v(x))2\big(\dfrac{u}{v}\big)'(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}

bannière à retenir

À retenir

La dérivée d’un quotient de deux fonctions est :

(uv)=uvuvv2\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Exemple :
Soit la fonction f(x)=10x3x+12f(x)=\dfrac{10x-3}{x+12} et I=]12 ; +[I=]-12\ ;\ +\infty[, où x+12x+12 ne s’annule pas. On note :

  • u(x)=10x3u(x)=10x-3, donc u(x)=10u'(x)=10 ;
  • v(x)=x+12v(x)=x+12, donc v(x)=1v'(x)=1.

On a alors :

f(x)=10×(x+12)(10x3)×1(x+12)2=10x+12010x+3(x+12)2=123(x+12)2\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{10\times (x+12)-(10x-3)\times 1}{(x+12)^2} \ &=\dfrac{10x+120-10x+3}{(x+12)^2} \ &=\dfrac{123}{(x+12)^2} \end{aligned}