Dérivation

Nombre dérivé et tangente à une courbe

Nombre dérivé

Définition

Taux de variation :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.

Soit $h\neq0$ un nombre réel tel que $a+h$ appartienne à $I$.

On appelle taux de variation de $f$ en $a$ le nombre : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

• Interprétation géométrique du taux de variation :

On considère les points $A$ et $M$ d’abscisses respectives $a$ et $a+h$ de la courbe représentative de $f$.

Astuce

Le coefficient directeur de la droite $(AM)$ est : $\dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}$

En l’appliquant au cas schématisé, on obtient : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

On retrouve la formule du taux de variation. Autrement dit, le taux de variation de $f$ en $a$ représente le coefficient directeur de la droite $(AM)$.

Définition

Nombre dérivé :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.

Soit $h\neq0$ un nombre réel tel que $a+h$ appartienne à $I$.

On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation de $f$ en $a$ admet pour limite un nombre réel lorsque $h$ tend vers zéro. Ce nombre, noté $f'(a)$, est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$.

Lorsque $f$ est dérivable en $a$, on a ainsi : $f'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Exemple :

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-2x+1$. On cherche, par exemple, le nombre dérivé de $f$ en $a=1$.

• Calcul du taux de variation :

$\begin{aligned} f(1+h)&=3\times(1+h)^2-2(1+h)+1 \\ &=3\times(1+2h+h^2)-2-2h+1 \\ &=3+6h+3h^2-2-2h+1 \\ f(1+h)&=3h^2+4h+2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} f(1)&=3\times1^2-2\times1+1 \\ &=3-2+1 \\ f(1)&=2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} &=\dfrac{3h^2+4h+2-2}{h} \\ &=\dfrac{3h^2+4h}{h} \\ &=\dfrac{3h^2}{h}+\dfrac{4h}{h} =3h+4 \end{aligned}$

• Calcul de la limite de ce taux de variation quand $h$ tend vers $0$

$\lim\limits_{h\rightarrow0}(3h+4)=4$

En effet, si $h$ tend vers $0$, alors $3h$ tend vers $0$, et donc $3h+4$ tend vers $4$.

• On en déduit que $f$ est dérivable en $1$ et que le nombre dérivé de $f$ en $1$ est $f'(1)=4$.

Tangente à une courbe

À retenir

Le coefficient directeur de la droite $(AM)$ représente le taux de variation de $f$ en $a$.

La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en $A$ est la position limite des droites $(AM)$ sécantes à la courbe $\mathscr{C}$ quand le point $M$ (d’abscisse $a+h$) se rapproche du point $A$ (d’abscisse $a$) tout en restant sur la courbe, c’est-à-dire quand $h$ tend vers zéro.

Or, la limite du taux de variation quand $h$ tend vers zéro est le nombre dérivé $f'(a)$.

• On en déduit la définition suivante :

Définition

Tangente :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.

Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $(O\ ;\ I\ ;\ J)$ du plan.

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à $\mathscr{C}$ au point $A\big(a\ ;\ f(a)\big)$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur (ou de pente) $f'(a)$.

Propriété

Au point d’abscisse $a$, la tangente à la courbe représentative de $f$ a pour équation :

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

Démonstration

Au point d’abscisse $a$, la tangente à la courbe représentative de $f$ a pour coefficient directeur $f'(a)$. Elle admet donc une équation de la forme $y=f'(a)x+b$, avec $b$ réel.

Cette tangente passe par le point $A\big(a\ ;\,f(a)\big)$, donc les coordonnées de ce point vérifient l’équation de cette droite :
$f(a)=f'(a)\times a+b$, puis :
$b=f(a)-f'(a)\times a$.

En remplaçant $b$ par cette expression, nous avons donc : $y=f'(a)x+f(a)-f'(a)\times a=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Exemple :
Reprenons l’exemple de la fonction $f(x)=3x^2-2x+1$.

Pour écrire l’équation de la tangente au point d’abscisse $a=1$, utilisons la formule de la propriété : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.

On avait : $f'(1)=4$ et $f(1)=2$.

Donc : $y=4(x-1)+2=4x-4+2=4x-2$.

• L’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse $1$ est $y=4x-2$.

Attention

Parfois, l’expression de la fonction n’est pas donnée, mais, en général, l’énoncé donne sa représentation graphique. Il faut alors déterminer graphiquement le nombre dérivé pour trouver l’équation de la tangente.

Exemple :

Le graphique représente la courbe d’une fonction $f$ et ses tangentes en $A$, $B$ et $C$.

Pour chercher l’équation de la tangente en $A\ (-2\ ;\ 3)$, on commence par déterminer $f'(-2)$.

$f'(-2)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ au point de la courbe d’abscisse $-2$, c’est-à-dire en $A$.

Graphiquement, à partir de $A$ pour atteindre un autre point de la tangente, on « monte » de 2 unités quand on « avance » de 1 unité.

• On a donc $f'(-2)=\dfrac{2}{1}=2$.

Il reste à écrire l’équation de la tangente en $A$ avec $f'(-2)=2$ et $f(-2)=3$ :

$\begin{aligned} y&=f'(-2)\big(x-(-2)\big)+f(-2)\\ &=2(x+2)+3 \\ &=2x+4+3 \end{aligned}$

• $y=2x+7$

À retenir

Les tangentes horizontales ont pour coefficient directeur zéro.

Exemple :
La tangente au point $C$ d’abscisse $3$ est horizontale, donc $f'(3)=0$.

Fonction dérivée

Définition

Définition

Fonction dérivée :

• Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$.

• La fonction qui, à tout réel $x$ de $I$, associe le nombre dérivé $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$.

Cette fonction est notée $f'$ et est définie sur $I$.

Dérivées des fonctions usuelles

Attention

Le plus souvent, les fonctions ont le même domaine de dérivabilité que leur domaine de définition, excepté par exemple :

• la fonction valeur absolue (que nous verrons en détail plus bas), qui est définie sur $\mathbb R$, mais qui n’est dérivable que sur $\mathbb R^{\ast}$ ;
• la fonction racine carrée (voir la démonstration ci-dessous), qui est définie sur $[0\ ;\ +\infty[$ (zéro inclus), mais qui n’est dérivable que sur $]0\ ;\ +\infty[$ (zéro exclu).

Démonstration

La fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$.
Soit $h$ un réel strictement positif.

$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{0+h}-\sqrt 0}{h}&=\dfrac{\sqrt h}{h} \\ &=\dfrac{1}{\sqrt h} \end{aligned}$

Quand $h$ tend vers $0$ (en gardant des valeurs positives), $\sqrt{h}$ tend vers $0$ (avec des valeurs positives). Donc $\frac{1}{\sqrt{h}}$ tend $+\infty$.

• Par définition, la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0.

Démonstration

Dérivée de la fonction carrée
Soit $f$ la fonction carrée. Pour tout $x$ réel, $f(x)=x^2$. Soit $a$ et $h\neq0$ deux nombres réels.

$\begin{aligned} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\dfrac{{(a+h)}^2-a^2}{h} \\ &=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h} \\ &=\dfrac{2ah+h^2}{h} \\ &=2a+h \end{aligned}$

Quand $h$ tend vers $0$, $2a+h$ tend vers $2a$.
Nous avons donc $f'(a)=2a$ pour tout nombre réel $a$.

• La fonction dérivée de $f$ est donc la fonction $f'$ définie sur l’ensemble des nombres réels par $f'(x)=2x$.

Démonstration

Dérivée de la fonction inverse
Soit $f$ la fonction inverse. Pour tout $x$ réel non nul, $f(x)=\dfrac{1}{x}$. Soit $a\neq0$ et $h\neq0$ deux nombres réels.

$\begin{aligned} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\dfrac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}\\ &=\dfrac{\frac{a}{a(a+h)}-\frac{a+h}{a(a+h)} }{h} \\ &=\dfrac{\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h} \\ &=\dfrac{\frac{-h}{a(a+h)}}{h} \\ &=\dfrac{-1}{a(a+h)} \end{aligned}$

Quand $h$ tend vers $0$ :

• $a+h$ tend vers $a$,
• $a(a+h)$ tend vers $a^2$,
• $\dfrac{-1}{a(a+h)}$ tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$.

Nous avons donc $f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}$ pour tout nombre réel non nul $a$.

• La fonction dérivée de $f$ est donc la fonction $f'$ définie sur l’ensemble des nombres réels non nuls par $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.

Cas d’une fonction non dérivable en un point

Définition

Fonction valeur absolue :

• La valeur absolue d'un nombre réel positif est le nombre lui-même.
• La valeur absolue d'un nombre négatif est l'opposé de ce nombre.
• Autrement dit, la valeur absolue du nombre $x$ notée $|x|$ est :

$|x|=\begin{cases}-x&\ &\text{si}\ x\leq0 \\ x&\ &\text{si}\ x\geq0\end{cases}$

Exemples :
$\begin{aligned} |5|&=5 \\ |-3|&=3 \\ |0|&=0 \end{aligned}$

Propriété

Propriétés :

• Pour tout réel $x$, on a :
• $|x|\geq0$
• $|x|=|-x|$
• $\sqrt{x^2}=|x|$
• La fonction valeur absolue est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et croissante sur $[0\ ;\ +\,\infty[$. La fonction valeur absolue admet en $x=0$ un minimum égal à $0$.

• La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites. Dans un repère orthogonal, cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

• La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en $0$.

Démonstration

Plaçons nous, d’une part, « à gauche » de la valeur $0$ et, d’autre part, « à droite » de la valeur $0$.

• Soit $h\neq 0$ un réel négatif.

$\dfrac{|0+h|-|0|}{h}=\dfrac{|h|}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1$ (lorsque $h$ est négatif, $|h|=-h$).

Lorsque $h$ tend vers $0$ (en gardant des valeurs négatives), $\dfrac{|0+h|-|0|}{h}$ tend vers $-1$.

• Soit $h\neq 0$ un réel positif.

$\dfrac{|0+h|-|0|}{h}=\dfrac{|h|}{h}=\dfrac{h}{h}=1$ (lorsque $h$ est positif, $|h|=h$).

Lorsque $h$ tend vers $0$ (en gardant des valeurs positives), $\dfrac{|0+h|-|0|}{h}$ tend vers $1$.

• Finalement, le taux de variation de la fonction valeur absolue n’a pas de limite en $0$, donc la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en $0$.

Remarque : On dit que le taux de variation de la valeur absolue en $0$ a :

• pour limite « à gauche » ou « par valeurs inférieures » $-1$ ;
• pour limite « à droite » ou « par valeurs supérieures » $1$. Cela correspond à deux demi-tangentes à la courbe représentative de la fonction valeur absolue, respectivement de coefficient directeur $-1$ et $1$.

Dérivées et opérations

Dérivée d’une somme de fonctions

Propriété

Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$.

La fonction somme $u+v$ définie sur $I$ par $f(x)=u(x)+v(x)$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ on a :

$(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x)$

À retenir

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées :

$(u+v)'=u'+v'$

Exemple :
La dérivée de la fonction $f(x)=x^2+3x-8$ est la somme des dérivées de $x^2$, de $3x$ et de $-8$.
Ainsi : $f'(x)=2x+3$.

Dérivée d’un produit d’une fonction par un réel

Propriété

Propriété :

Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur $I$ et $k$ un réel constant.
La fonction $ku$ définie sur $I$ par $f(x)=k\times u(x)$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$, on a :

$(ku)'(x)=k\times u'(x)$

À retenir

La dérivée d’un produit d’une fonction par un réel est :

$(ku)'=ku'$

Exemple :
La dérivée de la fonction $f(x)=2x^3$ est le produit de la constante $2$ par la dérivée de la fonction $x^3$.
Ainsi, $f'(x)=2\times3x^2=6x^2$.

Dérivée d’un produit de deux fonctions

Propriété

Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle $I$.

La fonction produit $u\times v$ définie sur $I$ par $f(x)=u(x)\times v(x)$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$, on a :

$(u\times v)'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)$

À retenir

La dérivée d’une fonction produit est :

$(uv)'=u'v+uv'$

Démonstration

Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle $I$.
Soit $a\in I$ et $h\neq0$ tel que $a +h \in I$.

• $\frac{(u\times v)(a+h)-(u\times v)(a)}{h}=\frac{u(a+h) v(a+h)-u(a)v(a)}{h}$
• Faisons apparaître le taux de variation de la fonction $u$ entre $a$ et $a + h$ :

$\frac{(u\times v)(a+h)-(u\times v)(a)}{h}=\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}$

car $-u(a) v(a+h) + u(a) v(a + h) = 0$.

• $\frac{(u\times v)(a+h)-(u\times v)(a)}{h}=\frac{[u(a+h)-u(a)]v(a+h)+u(a)[v(a+h)-v(a)]}{h}$
• $\frac{(u\times v)(a+h)-(u\times v)(a)}{h}=\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h)+u(a)\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$

en coupant la fraction en deux.

• $u$ est dérivable en $a$ donc, quand $h$ tend vers $0$, $\frac{u(a+h)-u(a)}{h}$ tend vers $u'(a)$.
• $v$ est dérivable en $a$ donc, quand $h$ tend vers $0$, $\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$ tend vers $v'(a)$.
• De plus, on admet que, quand $h$ tend vers $0$, $v(a+h)$ tend vers $v(a)$.
• Finalement, quand $h$ tend vers $0$,

$\frac{u(a+h)-u(a)}{h}v(a+h)+u(a)\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h} $

tend vers $u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$.

• Nous avons donc $(uv)'(a)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$ pour tout nombre réel $a\in I$.
• La fonction dérivée de $u\times v$ est donc la fonction $(u\times v)'$ définie sur $I$ par $(u\times v)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v' (x)$.

Exemple :
Soit la fonction $f(x)=(x-1)\sqrt x$ définie sur $[0\ ;\ +\infty[$ et dérivable sur $]0\ ;\ +\infty[$. On note :

• $u(x)=x-1$, donc $u'(x)=1$ ;
• $v(x)=\sqrt x$, donc $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
• On a alors :

$\begin{aligned} f'(x)&=1\times\sqrt x+(x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt x} \\ &=\sqrt x+\dfrac{x-1}{2\sqrt x}\text{, pour tout }x\ \in ]0\ ;\ +\infty[ \end {aligned}$

• Le calcul de la dérivée est terminé, mais on peut simplifier cette expression en mettant au même dénominateur :

$\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{\sqrt x\times2\sqrt x}{2\sqrt x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \\ &=\dfrac{2x}{2\sqrt x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \\ &=\dfrac{3x-1}{2\sqrt x}\text{, pour tout }x\in\ ]0\ ;\ +\infty[ \end{aligned}$

• On obtient donc une expression simplifiée de notre dérivée, mais nous pouvons encore l’améliorer en l’écrivant sans la racine au dénominateur :

$\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{3x-1}{2\sqrt x}\times\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x} \\ &=\dfrac{(3x-1)\sqrt x}{2x}\text{, pour tout }x\in\ ]0\ ;\ +\infty[ \end{aligned}$

Dérivée de l’inverse d’une fonction

Soit $v$ une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle $I$.

La fonction $\dfrac{1}{v}$ définie sur $I$ par $f(x)=\dfrac{1}{v(x)}$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$, on a :

$\big(\dfrac{1}{v}\big)'(x)=-\dfrac{v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}$

À retenir

La dérivée de l’inverse d’une fonction est :

$\big(\dfrac{1}{v}\big)'=-\dfrac{v'}{v^2}$

Exemple :
Soit la fonction $f(x)=\dfrac{1}{2x^2-8}$ et $I=]-2\ ;\ 2[$, où $2x^2-8$ ne s'annule pas.
On note : $v(x)=2x^2-8$, donc $v'(x)=4x$.

On a alors : $f'(x)=-\dfrac{4x}{(2x^2-8)^2}$

Dérivée d’un quotient de deux fonctions

Propriété

Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle $I$. On suppose que $v$ ne s’annule pas sur $I$.

La fonction quotient $\dfrac{u}{v}$ définie sur $I$ par $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$, on a :

$\big(\dfrac{u}{v}\big)'(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}$

À retenir

La dérivée d’un quotient de deux fonctions est :

$\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

Exemple :
Soit la fonction $f(x)=\dfrac{10x-3}{x+12}$ et $I=]-12\ ;\ +\infty[$, où $x+12$ ne s’annule pas. On note :

• $u(x)=10x-3$, donc $u'(x)=10$ ;
• $v(x)=x+12$, donc $v'(x)=1$.

On a alors :

$\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{10\times (x+12)-(10x-3)\times 1}{(x+12)^2} \\ &=\dfrac{10x+120-10x+3}{(x+12)^2} \\ &=\dfrac{123}{(x+12)^2} \end{aligned}$