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Introduction :
Dans ce cours, il sera tout d’abord question de nombre dérivé et de tangente à une courbe. Puis nous introduirons la notion de fonction dérivée, et nous donnerons les expressions des dérivées des fonctions usuelles et de fonctions plus complexes.
Nombre dérivé et tangente à une courbe
Nombre dérivé
Taux de variation :
Soit une fonction définie sur un intervalle et un réel de cet intervalle.
Soit un nombre réel tel que appartienne à .
On appelle taux de variation de en le nombre : .
Taux de variation
On considère les points et d’abscisses respectives et de la courbe représentative de .
Le coefficient directeur de la droite est :
En l’appliquant au cas schématisé, on obtient :
On retrouve la formule du taux de variation. Autrement dit, le taux de variation de en représente le coefficient directeur de la droite .
Nombre dérivé :
Soit une fonction définie sur un intervalle et un réel de cet intervalle.
Soit un nombre réel tel que appartienne à .
On dit que est dérivable en si le taux de variation de en admet pour limite un nombre réel lorsque tend vers zéro. Ce nombre, noté , est appelé nombre dérivé de en .
Lorsque est dérivable en , on a ainsi : .
Exemple :
On considère la fonction définie sur par . On cherche, par exemple, le nombre dérivé de en .
En effet, si tend vers , alors tend vers , et donc tend vers .
Tangente à une courbe
Lien entre nombre dérivé et tangente à une courbe
Le coefficient directeur de la droite représente le taux de variation de en .
La tangente à la courbe en est la position limite des droites sécantes à la courbe quand le point (d’abscisse ) se rapproche du point (d’abscisse ) tout en restant sur la courbe, c’est-à-dire quand tend vers zéro.
Or, la limite du taux de variation quand tend vers zéro est le nombre dérivé .
Tangente :
Soit une fonction définie sur un intervalle et un réel de cet intervalle.
Soit la courbe représentative de dans un repère du plan.
Si est dérivable en , la tangente à au point est la droite passant par et de coefficient directeur (ou de pente) .
Au point d’abscisse , la tangente à la courbe représentative de a pour équation :
Au point d’abscisse , la tangente à la courbe représentative de a pour coefficient directeur . Elle admet donc une équation de la forme , avec réel.
Cette tangente passe par le point , donc les coordonnées de ce point vérifient l’équation de cette droite :
, puis :
.
En remplaçant par cette expression, nous avons donc : .
Exemple :
Reprenons l’exemple de la fonction .
Pour écrire l’équation de la tangente au point d’abscisse , utilisons la formule de la propriété : .
On avait : et .
Donc : .
Parfois, l’expression de la fonction n’est pas donnée, mais, en général, l’énoncé donne sa représentation graphique. Il faut alors déterminer graphiquement le nombre dérivé pour trouver l’équation de la tangente.
Exemple :
Le graphique représente la courbe d’une fonction et ses tangentes en , et .
Pour chercher l’équation de la tangente en , on commence par déterminer .
est le coefficient directeur de la tangente à au point de la courbe d’abscisse , c’est-à-dire en .
Graphiquement, à partir de pour atteindre un autre point de la tangente, on « monte » de 2 unités quand on « avance » de 1 unité.
Il reste à écrire l’équation de la tangente en avec et :
Les tangentes horizontales ont pour coefficient directeur zéro.
Exemple :
La tangente au point d’abscisse est horizontale, donc .
Fonction dérivée
Définition
Fonction dérivée :
On dit que est dérivable sur si elle est dérivable en tout réel de .
Cette fonction est notée et est définie sur .
Dérivées des fonctions usuelles
Fonction | Ensemble de définition de | Ensemble de dérivabilité de | Fonction |
Fonction constante : ( réel) | |||
Fonction affine : ( et réels) | |||
Fonction carré : | |||
Fonction cube : | |||
Fonction puissance : () | si
si , car n’est alors pas définie en |
si
si , car n’est alors pas définie en |
|
Fonction inverse : | |||
Fonction racine : | |||
Fonction composée : ( et réels) | tel que et définie sur | tel que et dérivable sur | |
Fonction valeur absolue : | si
si |
Le plus souvent, les fonctions ont le même domaine de dérivabilité que leur domaine de définition, excepté par exemple :
La fonction racine carrée n’est pas dérivable en .
Soit un réel strictement positif.
Quand tend vers (en gardant des valeurs positives), tend vers (avec des valeurs positives). Donc tend .
Dérivée de la fonction carrée
Soit la fonction carrée. Pour tout réel, .
Soit et deux nombres réels.
Quand tend vers , tend vers .
Nous avons donc pour tout nombre réel .
Dérivée de la fonction inverse
Soit la fonction inverse. Pour tout réel non nul, .
Soit et deux nombres réels.
Quand tend vers :
Nous avons donc pour tout nombre réel non nul .
Cas d’une fonction non dérivable en un point
Fonction valeur absolue :
Exemples :
Propriétés :
Plaçons nous, d’une part, « à gauche » de la valeur et, d’autre part, « à droite » de la valeur .
(lorsque est négatif, ).
Lorsque tend vers (en gardant des valeurs négatives), tend vers .
(lorsque est positif, ).
Lorsque tend vers (en gardant des valeurs positives), tend vers .
Remarque : On dit que le taux de variation de la valeur absolue en a :
Dérivées et opérations
Dérivée d’une somme et d’un produit par un réel
Soit et deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle .
La fonction somme définie sur par est dérivable sur et, pour tout réel de on a :
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées :
Exemple :
La dérivée de la fonction est la somme des dérivées de , de et de .
Ainsi : .
Dérivée d’un produit d’une fonction par un réel
Propriété :
Soit une fonction définie et dérivable sur et un réel constant.
La fonction définie sur par est dérivable sur et, pour tout réel de , on a :
La dérivée d’un produit d’une fonction par un réel est :
Exemple :
La dérivée de la fonction est le produit de la constante par la dérivée de la fonction .
Ainsi, .
Dérivée d’un produit de deux fonctions
Soit et deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle .
La fonction produit définie sur par est dérivable sur et, pour tout réel de , on a :
La dérivée d’une fonction produit est :
Soit et deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle .
Soit et tel que .
car .
en coupant la fraction en deux.
tend vers .
Exemple :
Soit la fonction définie sur et dérivable sur . On note :
Dérivée de l’inverse d’une fonction
Soit une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle .
La fonction définie sur par est dérivable sur et, pour tout réel de , on a :
La dérivée de l’inverse d’une fonction est :
Exemple :
Soit la fonction et , où ne s'annule pas.
On note : , donc .
On a alors :
Dérivée d’un quotient de deux fonctions
Soit et deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle . On suppose que ne s’annule pas sur .
La fonction quotient définie sur par est dérivable sur et, pour tout réel de , on a :
La dérivée d’un quotient de deux fonctions est :
Exemple :
Soit la fonction et , où ne s’annule pas. On note :
On a alors :