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Dérivation

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Nombre dérivé

  • Taux de variation
  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle.
  • Soit h0h\neq0 un nombre réel tel que a+ha+h appartienne à II.
  • On appelle taux de variation de ff en aa le nombre :

f(a+h)f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

  • Interprétation géométrique du taux de variation
  • Soit AA et MM d’abscisses respectives aa et a+ha+h de la courbe représentative de ff.
  • Le coefficient directeur de la droite (AM)(AM) est :

yMyAxMxA=f(a+h)f(a)(a+h)a=f(a+h)f(a)h\begin{aligned} \dfrac{yM-yA}{xM-xA}&=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a} \ &=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{aligned}

  • Le taux de variation de ff en aa représente le coefficient directeur de la droite (AM)(AM).
  • Nombre dérivé
  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle.
  • Soit h0h\neq0 un nombre réel tel que a+ha+h appartienne à II.
  • ff est dérivable en aa si le taux de variation de ff en aa admet pour limite un nombre réel lorsque hh tend vers zéro.
  • Ce nombre, noté f(a)f'(a), est appelé nombre dérivé de ff en aa.
  • Lorsque ff est dérivable en aa, on a ainsi :

f(a)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

  • Tangente à une courbe
  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle.
  • Soit C\mathscr{C} la courbe représentative de ff dans un repère (O ; I ; J)(O\ ;\ I\ ;\ J) du plan.
  • Si ff est dérivable en aa, la tangente à C\mathscr{C} au point A(a ; f(a))A\big(a\ ;\ f(a)\big) est la droite passant par AA et de coefficient directeur (ou de pente) f(a)f'(a).
  • Au point d’abscisse aa, la tangente à la courbe représentative de ff a pour équation : y=f(a)(xa)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a).
  • Parfois, l’expression de la fonction n’est pas donnée, mais, en général, l’énoncé donne sa représentation graphique. Il faut alors déterminer graphiquement le nombre dérivé pour trouver l’équation de la tangente.
  • Les tangentes horizontales ont pour coefficient directeur zéro.

Fonction dérivée

  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle II.
  • On dit que ff est dérivable sur II si elle est dérivable en tout réel xx de II.
  • La fonction qui, à tout réel xx de II, associe le nombre dérivé f(x)f'(x) est appelée fonction dérivée de ff.
  • Cette fonction est notée ff' et est définie sur II.
  • Dérivées des fonctions usuelles

Fonction ff Ensemble de définition de ff Ensemble de dérivabilité de ff Fonction ff'
Fonction constante : f(x)=kf(x)=k (kk réel) R\mathbb R R\mathbb R f(x)=0f'(x)=0
Fonction affine : f(x)=ax+bf(x)=ax+b (aa et bb réels) R\mathbb R R\mathbb R f(x)=af'(x)=a
Fonction puissance : f(x)=xnf(x)=x^n (n0n\neq0) R\mathbb R si n>0n>0

R\mathbb R^{\ast} si n<0n<0, car ff n’est alors pas définie en x=0x=0

R\mathbb R si n>0n>0

R\mathbb R^{\ast} si n<0n<0, car ff' n’est alors pas définie en x=0x=0

f(x)=nxn1f'(x)=nx^{n-1}
Fonction inverse : f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} R\mathbb R^{\ast} R\mathbb R^{\ast} f(x)=1x2f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}
Fonction racine : f(x)=xf(x)=\sqrt x [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[ ]0 ; +[]0\ ;\ +\infty[ f(x)=12xf'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}
Fonction composée : xf(x)=g(ax+b)x\mapsto f(x)=g(ax+b) (aa et bb réels) II tel que ax+bJax +b \in J et gg définie sur JJ II tel que ax+bJax +b \in J et gg dérivable sur JJ f(x)=ag(ax+b)f'(x)=ag'(ax+b)
  • Fonction valeur absolue
  • La valeur absolue du nombre xx notée x|x| est :

x={x si x0x si x0|x|=\begin{cases}-x&\ &\text{si}\ x\leq0 \ x&\ &\text{si}\ x\geq0\end{cases}

  • Pour tout réel xx, on a :
  • x0|x|\geq0
  • x=x|x|=|-x|
  • x2=x\sqrt{x^2}=|x|
  • La fonction valeur absolue :
  • est décroissante sur ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0] et croissante sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[,
  • admet en x=0x=0 un minimum égal à 00.
  • La courbe représentative de la fonction valeur absolue est :
  • la réunion de deux demi-droites,
  • dans un repère orthogonal, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 00.

Dérivées et opérations

Soit uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle II.
Soit kk un réel.

  • La dérivée d’une somme est la somme des dérivées :
  • (u+v)=u+v(u+v)'=u'+v'
  • La dérivée d’un produit d’une fonction par un réel est :
  • (ku)=ku(ku)'=ku'
  • La dérivée d’une fonction produit est :
  • (uv)=uv+uv(uv)'=u'v+uv'
  • La dérivée de l’inverse d’une fonction (qui ne s’annule pas sur II) est :
  • (1v)=vv2\Big(\dfrac{1}{v}\Big)'=-\dfrac{v'}{v^2}
  • La dérivée d’un quotient de deux fonctions (avec vv qui ne s’annule pas sur II) est :
  • (uv)=uvuvv2\Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}