Dérivation

Nombre dérivé

Taux de variation
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.
Soit $h\neq0$ un nombre réel tel que $a+h$ appartienne à $I$.
On appelle taux de variation de $f$ en $a$ le nombre :

$$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Interprétation géométrique du taux de variation
Soit $A$ et $M$ d’abscisses respectives $a$ et $a+h$ de la courbe représentative de $f$.
Le coefficient directeur de la droite $(AM)$ est :

$$\begin{aligned} \dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}&=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a} \\ &=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{aligned}$$

Le taux de variation de $f$ en $a$ représente le coefficient directeur de la droite $(AM)$.
Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.
Soit $h\neq0$ un nombre réel tel que $a+h$ appartienne à $I$.
$f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation de $f$ en $a$ admet pour limite un nombre réel lorsque $h$ tend vers zéro.
Ce nombre, noté $f'(a)$, est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$.
Lorsque $f$ est dérivable en $a$, on a ainsi :

$$f'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Tangente à une courbe
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $(O\ ;\ I\ ;\ J)$ du plan.
Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à $\mathscr{C}$ au point $A\big(a\ ;\ f(a)\big)$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur (ou de pente) $f'(a)$.
Au point d’abscisse $a$, la tangente à la courbe représentative de $f$ a pour équation : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
Parfois, l’expression de la fonction n’est pas donnée, mais, en général, l’énoncé donne sa représentation graphique. Il faut alors déterminer graphiquement le nombre dérivé pour trouver l’équation de la tangente.
Les tangentes horizontales ont pour coefficient directeur zéro.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$.
La fonction qui, à tout réel $x$ de $I$, associe le nombre dérivé $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$.
Cette fonction est notée $f'$ et est définie sur $I$.
Dérivées des fonctions usuelles

Fonction $f$	Ensemble de définition de $f$	Ensemble de dérivabilité de $f$	Fonction $f'$
Fonction constante : $f(x)=k$ ($k$ réel)	$\mathbb R$	$\mathbb R$	$f'(x)=0$
Fonction affine : $f(x)=ax+b$ ($a$ et $b$ réels)	$\mathbb R$	$\mathbb R$	$f'(x)=a$
Fonction puissance : $f(x)=x^n$ ($n\in \mathbb Z^*$)	$\mathbb R$ si $n>0$ $\mathbb R^{\ast}$ si $n<0$, car $f$ n’est alors pas définie en $x=0$	$\mathbb R$ si $n>0$ $\mathbb R^{\ast}$ si $n<0$, car $f'$ n’est alors pas définie en $x=0$	$f'(x)=nx^{n-1}$
Fonction inverse : $f(x)=\dfrac{1}{x}$	$\mathbb R^{\ast}$	$\mathbb R^{\ast}$	$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
Fonction racine : $f(x)=\sqrt x$	$[0\ ;\ +\infty[$	$]0\ ;\ +\infty[$	$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$
Fonction composée : $x\mapsto f(x)=g(ax+b)$ ($a$ et $b$ réels)	$I$ tel que $ax +b \in J$ et $g$ définie sur $J$	$I$ tel que $ax +b \in J$ et $g$ dérivable sur $J$	$f'(x)=ag'(ax+b)$

$|x|=\begin{cases}-x&\ &\text{si}\ x\leq0 \\ x&\ &\text{si}\ x\geq0\end{cases}$

Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$.
Soit $k$ un réel.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées :
$(u+v)'=u'+v'$
La dérivée d’un produit d’une fonction par un réel est :
$(ku)'=ku'$
La dérivée d’une fonction produit est :
$(uv)'=u'v+uv'$
La dérivée de l’inverse d’une fonction (qui ne s’annule pas sur $I$) est :
$\Big(\dfrac{1}{v}\Big)'=-\dfrac{v'}{v^2}$
La dérivée d’un quotient de deux fonctions (avec $v$ qui ne s’annule pas sur $I$) est :
$\Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

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