Exercices Fonction ln (logarithme népérien) : continuité, limites et dérivabilité

$g$ est la fonction définie, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $I=]-\text{e}\ ;\, +\infty[$, par :

$$g(x)=-\dfrac 1{\ln{(2)}}\times \ln{(x+\text{e})}$$

• Dans l’exercice, on admet que $g$ est continue et deux fois dérivable sur $I$.

Question 1

• Démontrer que, pour tout $x\in I$ :

$$g^{\prime}(x)=-\dfrac 1{\ln{(2)}\times (x+\text{e})}$$

• Déterminer les variations de la fonction $g$ sur $I$.
• La fonction $g$ est-elle concave ou convexe sur $I$ ?

Question 2

• Trouver les limites de la fonction $g$ en $+\infty$ et en $(-\text{e})^+$.
• Dresser le tableau de variations de $g$.
• Dans cette question, $n$ est un entier naturel.
  Montrer qu’il existe un unique nombre de $]-\text{e}\ ;\, +\infty[$ tel que son image par $g$ est $n$.
• On notera ce nombre $u_n$.

Question 3

On définit ainsi une suite $(u_n)$ par : $g(u_n )=n$, pour tout entier naturel $n$.

• Prouver que $u_0=1-\text{e}$.
• Justifier que $g(u_n ) < g(u_{n+1})$.
  En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
• Prouver que la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 4

• À partir de l’égalité $g(u_n)=n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
• En déduire la limite de la suite $(u_n)$.