Cours : Fonction exponentielle

Définition de la fonction exponentielle

Définition

Fonction exponentielle :

La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l'unique fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$ telle que :

• $f'=f$ ;
• $f(0)=1$.

Nous avons donc : $\exp'=\exp$ et $\exp(0)=1$.

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Propriétés

Propriété

Pour tous les nombres réels $x$ et $y$, et les entiers naturels $n$, on a :

• $\exp (x+y)=\exp(x)\times\exp(y)$
• $\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$
• $\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}$
• $\exp(nx)=[\exp(x)]^n$

On utilise une notation moins lourde : $\exp(x)= \text{e}^x$.

Propriété

Pour tous les nombres réels $x$ et $y$, et les entiers naturels $n$, on a :

• $\text{e}^0=1$ et $\text{e}^1=\text{e}\approx2,718$
• $\text{e}^{x+y}=\text{e}^{x}\times \text{e}^y$
• $\text{e}^{x-y}=\dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^y}$
• $\text{e}^{-x}=\dfrac{1}{\text{e}^x}$
• $\text{e}^{nx}={(\text{e}^x)}^n$

Propriété

• La fonction exponentielle ne s’annule pas sur $\mathbb{R}$ : pour tout nombre réel $x$, $\text{e}^x\neq0$.
• La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante pour tout $x$ réel.

Démonstration

• La fonction exponentielle ne s’annule pas sur $\mathbb R$

Pour tout nombre réel $x$, nous avons : $\text{e}^x\times\text{e}^{-x}=1$.

• $\text{e}^x\neq0$, pour tout nombre réel $x$.
• La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb R$

$\text{e}^0=1$ et nous savons maintenant que la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur $\mathbb R$.

$\text{e}^x=\text{e}^{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}=\text{e}^{\frac{x}{2}}\times\text{e}^{\frac{x}{2}}=({\text{e}^{\frac{x}{2}})}^2\geq0$, car c'est un carré.

D’après ce qui précède, nous avons : $\text{e}^x>0$, pour tout nombre réel $x$.

• La fonction exponentielle est strictement positive.

Et comme ${(x\mapsto\text{e}^{x})}'=(x\mapsto\text{e}^x)$, sa dérivée est aussi strictement positive.

• La fonction exponentielle est strictement croissante.

Propriété

Pour $x$ et $y$ réels, on a :

• $x$
• $x=y\Leftrightarrow\text{e}^{x}=\text{e}^y$

Transformations d'expressions et équations

Simplifions les écritures suivantes :

• $\text{e}^{2x}\times \text{e}^{-5x}$
• On utilise la propriété : $\text{e}^x\times\text{e}^y=\text{e}^{x+y}$ (en donnant aux valeurs $x$ et $y$ d'autres expressions).

$\begin{aligned} \text{e}^{2x}\times\text{e}^{-5x}&=\text{e}^{2x-5x} \ &=\text{e}^{-3x} \end{aligned}$

• $\dfrac{\text{e}^{4x}}{\text{e}^{2x+1}}$
• On utilise la propriété : $\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^y}=\text{e}^{x-y}$ (en donnant aux valeurs $x$ et $y$ d'autres expressions).

$\begin{aligned} \dfrac{\text{e}^{4x}}{\text{e}^{2x+1}}&=\text{e}^{4x-(2x+1)} \ &=\text{e}^{2x-1} \end{aligned}$

• $\text{e}^x\times \text{e}^{-x}$
• On utilise la propriété : $\text{e}^x\times\text{e}^y=\text{e}^{x+y}$ (en donnant aux valeurs $x$ et $y$ d'autres expressions).

$\begin{aligned} \text{e}^x\times\text{e}^{-x}&=\text{e}^{x-x} \ &=\text{e}^0 \ &=1 \end{aligned}$

Résolvons les équations suivantes :

• $\text{e}^{-x+7}=\text{e}^{x+3}$
• On utilise la propriété : $x=y\Leftrightarrow\text{e}^x=\text{e}^y$ (en donnant aux valeurs $x$ et $y$ d'autres expressions).

$\begin{aligned} \text{e}^{-x+7}&=\text{e}^{x+3} \ -x+7&=x+3 \ 2x&=7-3 \ 2x&=4 \ x&=2 \end{aligned}$

• $\text{e}^{3-x}=1$
• On utilise la propriété : $x=y\Leftrightarrow\text{e}^x=\text{e}^y$ (en donnant aux valeurs $x$ et $y$ d'autres expressions).

$\begin{aligned} \text{e}^{3-x}&=1 \ \text{e}^{3-x}&=\text{e}^0 \ 3-x&=0 \ x&=3 \end{aligned}$

Courbe représentative de la fonction exponentielle

Théorème

• Pour tout nombre $x$, $\text{e}^x>0$.
• La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$.

• En particulier, $\text{e}^0=1$ et $\text{e}^1=\text{e}\approx2,718$.
• La dérivée de $x\mapsto \text{e}^x$ est $x\mapsto \text{e}^x$ : la fonction exponentielle est sa propre dérivée.
• Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$

• Remarques
• La tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=x+1$. Elle est représentée en vert ici.
• Cette tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est toujours située au-dessous de la courbe représentative de la fonction exponentielle. (Voir cours « Variations et courbes représentatives de fonctions ».)

Suite $(\text{e}^{na})$

Théorème

Pour tout réel $a$, la suite $(\text{e}^{na})$ définie sur $\mathbb{N}$ est une suite géométrique.

Démonstration

Soit $a$ un nombre réel.
Pour tout entier naturel $n$, $(\text{e}^{na})={(\text{e}^a)}^n$.

Pour tout entier naturel $n$, nous avons donc :

$\begin{aligned} \text{e}^{(n+1)a}&={(\text{e}^a)}^{n+1} \ &={(\text{e}^a)}^n\times\text{e}^a \ &=\text{e}^a\times{(\text{e}^a)}^n \ &=\text{e}^a\times(\text{e}^{na}) \end{aligned}$

La suite $(\text{e}^{na})$ définie sur $\mathbb{N}$ est donc une suite géométrique de raison $\text{e}^a$ (qui ne dépend pas de $n$) et de premier terme $\text{e}^0 = 1$.

Fonctions $t\mapsto\text{e}^{kt}$ et $t\mapsto\text{e}^{-kt}$

$t\mapsto\text{e}^{kt}$

Soit $k>0$ un nombre réel fixé.
La fonction $t\mapsto\text{e}^{kt}$ est définie, strictement croissante et positive sur l'ensemble des nombres réels.

• Exemples de représentations graphiques

• Remarques
• L'image de $0$ par ces fonctions $t\mapsto\text{e}^{kt}$ est toujours $1$.
• Plus $k$ est grand, plus la croissance de cette fonction $t\mapsto\text{e}^{kt}$ est rapide.
• Une situation qui est modélisée par une fonction de ce type est dite à croissance exponentielle. Par exemple, l'évolution d'un capital à intérêts capitalisés placé à un taux fixe.

Fonctions $t\mapsto\text{e}^{-kt}$

Soit $k>0$ un nombre réel fixé.
La fonction $t\mapsto \text{e}^{-kt}$ est définie, strictement décroissante et positive sur l'ensemble des nombres réels.

• Exemples de représentations graphiques

• Remarques
• L'image de $0$ par ces fonctions $t\mapsto\text{e}^{-kt}$ est toujours $1$.
• Plus $k$ est grand, plus la décroissance de cette fonction $t\mapsto \text{e}^{-kt}$ est rapide.
• Une situation qui est modélisée par une fonction de ce type est dite à décroissance exponentielle. Par exemple, l'évolution du nombre de noyaux radioactifs lors de la désintégration radioactive suit une décroissance exponentielle.