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Introduction :
La fonction exponentielle est une nouvelle fonction usuelle étudiée en première.
Dans un premier temps, nous allons donner sa définition, puis ses propriétés algébriques et enfin sa courbe représentative et ses propriétés graphiques.
Dans un deuxième temps, nous étudierons la suite avec un nombre réel, qui est définie à partir de la fonction exponentielle.
Enfin, dans un troisième temps, nous donnerons les représentations graphiques des fonctions et , avec un nombre réel, définies elles aussi à partir de la fonction exponentielle.
Définition de la fonction exponentielle
Fonction exponentielle :
La fonction exponentielle, notée , est l'unique fonction définie et dérivable sur telle que :
Nous avons donc : et .
Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Propriétés
Pour tous les nombres réels et , et les entiers naturels , on a :
On utilise une notation moins lourde : .
Pour tous les nombres réels et , et les entiers naturels , on a :
Pour tout nombre réel , nous avons : .
et nous savons maintenant que la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur .
, car c'est un carré.
D’après ce qui précède, nous avons : , pour tout nombre réel .
Et comme , sa dérivée est aussi strictement positive.
Pour et réels, on a :
Transformations d'expressions et équations
Simplifions les écritures suivantes :
Résolvons les équations suivantes :
Courbe représentative de la fonction exponentielle
Suite
Pour tout réel , la suite définie sur est une suite géométrique.
Soit un nombre réel.
Pour tout entier naturel , .
Pour tout entier naturel , nous avons donc :
La suite définie sur est donc une suite géométrique de raison (qui ne dépend pas de ) et de premier terme .
Fonctions et
Soit un nombre réel fixé.
La fonction est définie, strictement croissante et positive sur l'ensemble des nombres réels.
Fonctions
Soit un nombre réel fixé.
La fonction est définie, strictement décroissante et positive sur l'ensemble des nombres réels.