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Fonction exponentielle

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Introduction :

La fonction exponentielle est une nouvelle fonction usuelle étudiée en première.

Dans un premier temps, nous allons donner sa définition, puis ses propriétés algébriques et enfin sa courbe représentative et ses propriétés graphiques.

Dans un deuxième temps, nous étudierons la suite (ena)(\text{e}^{na}) avec aa un nombre réel, qui est définie à partir de la fonction exponentielle.

Enfin, dans un troisième temps, nous donnerons les représentations graphiques des fonctions tektt\mapsto \text{e}^{kt} et tektt\mapsto \text{e}^{-kt}, avec k>0k>0 un nombre réel, définies elles aussi à partir de la fonction exponentielle.

Définition de la fonction exponentielle

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Définition

Fonction exponentielle :

La fonction exponentielle, notée exp\exp, est l'unique fonction définie et dérivable sur R\mathbb R telle que :

  • f=ff'=f ;
  • f(0)=1f(0)=1.

Nous avons donc : exp=exp\exp'=\exp et exp(0)=1\exp(0)=1.

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Propriétés

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Propriété

Pour tous les nombres réels xx et yy, et les entiers naturels nn, on a :

  • exp(x+y)=exp(x)×exp(y)\exp (x+y)=\exp(x)\times\exp(y)
  • exp(xy)=exp(x)exp(y)\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}
  • exp(x)=1exp(x)\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}
  • exp(nx)=[exp(x)]n\exp(nx)=[\exp(x)]^n

On utilise une notation moins lourde : exp(x)=ex\exp(x)= \text{e}^x.

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Propriété

Pour tous les nombres réels xx et yy, et les entiers naturels nn, on a :

  • e0=1\text{e}^0=1 et e1=e2,718\text{e}^1=\text{e}\approx2,718
  • ex+y=ex×ey\text{e}^{x+y}=\text{e}^{x}\times \text{e}^y
  • exy=exey\text{e}^{x-y}=\dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^y}
  • ex=1ex\text{e}^{-x}=\dfrac{1}{\text{e}^x}
  • enx=(ex)n\text{e}^{nx}={(\text{e}^x)}^n
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Propriété

  • La fonction exponentielle ne s’annule pas sur R\mathbb{R} : pour tout nombre réel xx, ex0\text{e}^x\neq0.
  • La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante pour tout xx réel.
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Démonstration

  • La fonction exponentielle ne s’annule pas sur R\mathbb R

Pour tout nombre réel xx, nous avons : ex×ex=1\text{e}^x\times\text{e}^{-x}=1.

  • ex0\text{e}^x\neq0, pour tout nombre réel xx.
  • La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur R\mathbb R

e0=1\text{e}^0=1 et nous savons maintenant que la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur R\mathbb R.

ex=ex2+x2=ex2×ex2=(ex2)20\text{e}^x=\text{e}^{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}=\text{e}^{\frac{x}{2}}\times\text{e}^{\frac{x}{2}}=({\text{e}^{\frac{x}{2}})}^2\geq0, car c'est un carré.

D’après ce qui précède, nous avons : ex>0\text{e}^x>0, pour tout nombre réel xx.

  • La fonction exponentielle est strictement positive.

Et comme (xex)=(xex){(x\mapsto\text{e}^{x})}'=(x\mapsto\text{e}^x), sa dérivée est aussi strictement positive.

  • La fonction exponentielle est strictement croissante.
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Propriété

Pour xx et yy réels, on a :

  • x<yex<eyx
  • x=yex=eyx=y\Leftrightarrow\text{e}^{x}=\text{e}^y

Transformations d'expressions et équations

Simplifions les écritures suivantes :

  • e2x×e5x\text{e}^{2x}\times \text{e}^{-5x}
  • On utilise la propriété : ex×ey=ex+y\text{e}^x\times\text{e}^y=\text{e}^{x+y} (en donnant aux valeurs xx et yy d'autres expressions).

e2x×e5x=e2x5x=e3x\begin{aligned} \text{e}^{2x}\times\text{e}^{-5x}&=\text{e}^{2x-5x} \ &=\text{e}^{-3x} \end{aligned}

  • e4xe2x+1\dfrac{\text{e}^{4x}}{\text{e}^{2x+1}}
  • On utilise la propriété : exey=exy\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^y}=\text{e}^{x-y} (en donnant aux valeurs xx et yy d'autres expressions).

e4xe2x+1=e4x(2x+1)=e2x1\begin{aligned} \dfrac{\text{e}^{4x}}{\text{e}^{2x+1}}&=\text{e}^{4x-(2x+1)} \ &=\text{e}^{2x-1} \end{aligned}

  • ex×ex\text{e}^x\times \text{e}^{-x}
  • On utilise la propriété : ex×ey=ex+y\text{e}^x\times\text{e}^y=\text{e}^{x+y} (en donnant aux valeurs xx et yy d'autres expressions).

ex×ex=exx=e0=1\begin{aligned} \text{e}^x\times\text{e}^{-x}&=\text{e}^{x-x} \ &=\text{e}^0 \ &=1 \end{aligned}

Résolvons les équations suivantes :

  • ex+7=ex+3\text{e}^{-x+7}=\text{e}^{x+3}
  • On utilise la propriété : x=yex=eyx=y\Leftrightarrow\text{e}^x=\text{e}^y (en donnant aux valeurs xx et yy d'autres expressions).

ex+7=ex+3x+7=x+32x=732x=4x=2\begin{aligned} \text{e}^{-x+7}&=\text{e}^{x+3} \ -x+7&=x+3 \ 2x&=7-3 \ 2x&=4 \ x&=2 \end{aligned}

  • e3x=1\text{e}^{3-x}=1
  • On utilise la propriété : x=yex=eyx=y\Leftrightarrow\text{e}^x=\text{e}^y (en donnant aux valeurs xx et yy d'autres expressions).

e3x=1e3x=e03x=0x=3\begin{aligned} \text{e}^{3-x}&=1 \ \text{e}^{3-x}&=\text{e}^0 \ 3-x&=0 \ x&=3 \end{aligned}

Courbe représentative de la fonction exponentielle

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Théorème

  • Pour tout nombre xx, ex>0\text{e}^x>0.
  • La fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb R.
  • En particulier, e0=1\text{e}^0=1 et e1=e2,718\text{e}^1=\text{e}\approx2,718.
  • La dérivée de xexx\mapsto \text{e}^x est xexx\mapsto \text{e}^x : la fonction exponentielle est sa propre dérivée.
  • Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle sur R\mathbb{R}

mathématiques première réforme fonction exponentielle

  • Remarques
  • La tangente à la courbe au point d’abscisse 00 a pour équation y=x+1y=x+1. Elle est représentée en noir ici.
  • Cette tangente à la courbe au point d’abscisse 00 est toujours située au-dessous de la courbe représentative de la fonction exponentielle. (Voir cours « Variations et courbes représentatives de fonctions ».)

Suite (ena)(\text{e}^{na})

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Théorème

Pour tout réel aa, la suite (ena)(\text{e}^{na}) définie sur N\mathbb{N} est une suite géométrique.

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Démonstration

Soit aa un nombre réel.
Pour tout entier naturel nn, (ena)=(ea)n(\text{e}^{na})={(\text{e}^a)}^n.

Pour tout entier naturel nn, nous avons donc :

e(n+1)a=(ea)n+1=(ea)n×ea=ea×(ea)n=ea×(ena)\begin{aligned} \text{e}^{(n+1)a}&={(\text{e}^a)}^{n+1} \ &={(\text{e}^a)}^n\times\text{e}^a \ &=\text{e}^a\times{(\text{e}^a)}^n \ &=\text{e}^a\times(\text{e}^{na}) \end{aligned}

La suite (ena)(\text{e}^{na}) définie sur N\mathbb{N} est donc une suite géométrique de raison ea\text{e}^a (qui ne dépend pas de nn) et de premier terme e0=1\text{e}^0 = 1.

Fonctions tektt\mapsto\text{e}^{kt} et tektt\mapsto\text{e}^{-kt}

tektt\mapsto\text{e}^{kt}

Soit k>0k>0 un nombre réel fixé.
La fonction tektt\mapsto\text{e}^{kt} est définie, strictement croissante et positive sur l'ensemble des nombres réels.

  • Exemples de représentations graphiques

mathématiques première réforme fonction exponentielle suite

  • Remarques
  • L'image de 00 par ces fonctions tektt\mapsto\text{e}^{kt} est toujours 11.
  • Plus kk est grand, plus la croissance de cette fonction tektt\mapsto\text{e}^{kt} est rapide.
  • Une situation qui est modélisée par une fonction de ce type est dite à croissance exponentielle. Par exemple, l'évolution d'un capital à intérêts capitalisés placé à un taux fixe.

Fonctions tektt\mapsto\text{e}^{-kt}

Soit k>0k>0 un nombre réel fixé.
La fonction tektt\mapsto \text{e}^{-kt} est définie, strictement décroissante et positive sur l'ensemble des nombres réels.

  • Exemples de représentations graphiques

mathématiques première réforme fonction exponentielle suites

  • Remarques
  • L'image de 00 par ces fonctions tektt\mapsto\text{e}^{-kt} est toujours 11.
  • Plus kk est grand, plus la décroissance de cette fonction tektt\mapsto \text{e}^{-kt} est rapide.
  • Une situation qui est modélisée par une fonction de ce type est dite à décroissance exponentielle. Par exemple, l'évolution du nombre de noyaux radioactifs lors de la désintégration radioactive suit une décroissance exponentielle.