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Fonction exponentielle

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Fonction exponentielle

  • La fonction exponentielle, notée exp\exp, est l'unique fonction définie et dérivable sur R\mathbb R telle que : f=ff'=f et f(0)=1f(0)=1.
  • exp=exp\exp'=\exp
  • exp(0)=1\exp(0)=1
  • On utilise une notation moins lourde :
  • exp(x)=ex\exp(x)=\text{e}^x

Propriétés

  • Pour tous les nombres réels xx et yy, et les entiers naturels nn, on a :
  • e0=1\text{e}^0=1 et e1=e2,718\text{e}^1=\text{e}\approx2,718
  • ex+y=ex×ey\text{e}^{x+y}=\text{e}^{x}\times \text{e}^y
  • exy=exey\text{e}^{x-y}=\dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^y}
  • ex=1ex\text{e}^{-x}=\dfrac{1}{\text{e}^x}
  • enx=(ex)n\text{e}^{nx}={(\text{e}^x)}^n
  • x<yex<eyx
  • x=yex=eyx=y\Leftrightarrow\text{e}^{x}=\text{e}^y
  • La fonction exponentielle :
  • ne s’annule pas sur R\mathbb{R} : pour tout nombre réel xx, ex0\text{e}^x\neq0 ;
  • est strictement positive et strictement croissante pour tout xx réel.

Courbe représentative

mathématiques première réforme fonction exponentielle

  • e0=1\text{e}^0=1
  • e1=e2,718\text{e}^1=\text{e}\approx2,718.
  • La dérivée de xexx\mapsto \text{e}^x est xexx\mapsto \text{e}^x : la fonction exponentielle est sa propre dérivée.
  • La tangente à la courbe au point d’abscisse 00 a pour équation y=x+1y=x+1. Elle est représentée en noir ici.
  • Cette tangente à la courbe au point d’abscisse 00 est toujours située au-dessous de la courbe représentative de la fonction exponentielle.

Cas particuliers

  • Pour tout réel aa, la suite (ena)(\text{e}^{na}) définie sur N\mathbb{N} est une suite géométrique :
  • de raison ea\text{e}^a ;
  • de premier terme e0=1\text{e}^0 = 1.
  • Fonctions tektt\mapsto\text{e}^{kt} :
  • k>0k>0 un nombre réel fixé, la fonction est définie, strictement croissante et positive sur l'ensemble des nombres réels ;
  • l'image de 00 par ces fonctions tektt\mapsto\text{e}^{kt} est toujours 11 ;
  • plus kk est grand, plus la croissance de cette fonction tektt\mapsto\text{e}^{kt} est rapide ;
  • une situation modélisée par une fonction de ce type est dite à croissance exponentielle.
  • Fonctions tektt\mapsto\text{e}^{-kt} :
  • k>0k>0 un nombre réel fixé, la fonction est définie, strictement décroissante et positive sur l'ensemble des nombres réels ;
  • l'image de 00 par ces fonctions tektt\mapsto\text{e}^{-kt} est toujours 11 ;
  • plus kk est grand, plus la décroissance de cette fonction tektt\mapsto\text{e}^{-kt} est rapide ;
  • une situation modélisée par une fonction de ce type est dite à décroissance exponentielle.