Fonction exponentielle

Fonction exponentielle

• La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l'unique fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$ telle que : $f'=f$ et $f(0)=1$.
• $\exp'=\exp$
• $\exp(0)=1$
• On utilise une notation moins lourde :
• $\exp(x)=\text{e}^x$

Propriétés

• Pour tous les nombres réels $x$ et $y$, et les entiers naturels $n$, on a :
• $\text{e}^0=1$ et $\text{e}^1=\text{e}\approx2,718$
• $\text{e}^{x+y}=\text{e}^{x}\times \text{e}^y$
• $\text{e}^{x-y}=\dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^y}$
• $\text{e}^{-x}=\dfrac{1}{\text{e}^x}$
• $\text{e}^{nx}={(\text{e}^x)}^n$
• $x<y\Leftrightarrow\text{e}^{x}<\text{e}^y$
• $x=y\Leftrightarrow\text{e}^{x}=\text{e}^y$
• La fonction exponentielle :
• ne s’annule pas sur $\mathbb{R}$ : pour tout nombre réel $x$, $\text{e}^x\neq0$ ;
• est strictement positive et strictement croissante pour tout $x$ réel.

Courbe représentative

• $\text{e}^0=1$
• $\text{e}^1=\text{e}\approx2,718$.
• La dérivée de $x\mapsto \text{e}^x$ est $x\mapsto \text{e}^x$ : la fonction exponentielle est sa propre dérivée.
• La tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=x+1$. Elle est représentée en vert ici.
• Cette tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est toujours située au-dessous de la courbe représentative de la fonction exponentielle.

Cas particuliers

• Pour tout réel $a$, la suite $(\text{e}^{na})$ définie sur $\mathbb{N}$ est une suite géométrique :
• de raison $\text{e}^a$ ;
• de premier terme $\text{e}^0 = 1$.
• Fonctions $t\mapsto\text{e}^{kt}$ :
• $k>0$ un nombre réel fixé, la fonction est définie, strictement croissante et positive sur l'ensemble des nombres réels ;
• l'image de $0$ par ces fonctions $t\mapsto\text{e}^{kt}$ est toujours $1$ ;
• plus $k$ est grand, plus la croissance de cette fonction $t\mapsto\text{e}^{kt}$ est rapide ;
• une situation modélisée par une fonction de ce type est dite à croissance exponentielle.
• Fonctions $t\mapsto\text{e}^{-kt}$ :
• $k>0$ un nombre réel fixé, la fonction est définie, strictement décroissante et positive sur l'ensemble des nombres réels ;
• l'image de $0$ par ces fonctions $t\mapsto\text{e}^{-kt}$ est toujours $1$ ;
• plus $k$ est grand, plus la décroissance de cette fonction $t\mapsto\text{e}^{-kt}$ est rapide ;
• une situation modélisée par une fonction de ce type est dite à décroissance exponentielle.