Exercices Fonction logarithme népérien (ln)

Le nombre de moles A dans une solution est modélisé par $N(t)=10000~e^{-t/100}$ (avec $t≥0$ en secondes).

On s'intéresse à trois étapes de la réaction chimique :

• quand la quantité de A diminue de moitié, on parle de temps de demi-réaction ;
• quand la quantité A diminue de 80%, on considère que la réaction est pratiquement achevée ;
• quand il ne reste que 100 molécules, on considère que le produit A est en concentration négligeable ;

Déterminer $N(0)$ ainsi que le temps $t$ au bout duquel le nombre de molécules sera égal à 100.

Une entreprise voit son capital $C$ diminuer au fil des jours.
Soit $n$ le numéro du jour, $n=0$ désignant le 1^er janvier 2018, $n=1$ le 2 janvier 2018 et ainsi de suite jusqu’à $n=364$ le 31 décembre.
On suppose que $C(0)= 100\ 000\ $€ et que $C$ diminue de 1 % par jour.
Donner la formule de $C(n)$ en fonction de $n$.

Résoudre $\ln(\frac{1}{1-x})=1$

On pose pour tout réel $x :f(x)=\text{ln}(1+x^2)$ : et pour tout $x>0 : g(x)=\text{ln} (x)$.
Résoudre $f(x)=0$.

On note $x$ l’intensité sonore d’un bruit, mesurée en watt par mètre carré ($\text{W}\cdot \text{m}^{-2}$).

• Par exemple, la plus petite intensité perçue par un être humain est $x_0=10^{-12}\ \text{W}\cdot \text{m}^{-2}$ et l’intensité sonore produite par une moto qui roule est $10^{-5}\ \text{W}\cdot \text{m}^{-2}$.

Le niveau sonore en décibel ($\text{dB}$) s’exprime pour tout $x\geq x_0$ par :

$$L(x)=\dfrac {10}{\ln{(10)}} \times \ln\left(\dfrac x{x_0}\right)$$

Question 1

Calculer $L(x_0)$, puis $L(10^{-5})$.
Donner une interprétation concrète de ces résultats.

Question 2

Exprimer $L(2x)$ en fonction de $L(x)$.
Si l’intensité sonore est doublée, comment évolue le niveau sonore ?

Question 3

Exprimer $L(10x)$ en fonction de $L(x)$.
Si on multiplie l’intensité sonore par $10$, comment évolue le niveau sonore ?

Question 4

Un niveau sonore supérieur à $85\ \text{dB}$ constitue un risque pour l’audition humaine.
Déterminer l’intensité sonore à partir de laquelle un bruit est dangereux pour l’oreille.

On considère les deux fonctions :

$$\begin{aligned} f:x&\mapsto \ln{(4-x^2)} \\ g:x&\mapsto \ln{(x+2,5)}+\ln{(2)} \end{aligned}$$

Question 1

Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$, puis le domaine de définition de $g$.

Question 2

On cherche à résoudre $f(x)=g(x)$.
Sur quel intervalle cette égalité a-t-elle un sens ?

Question 3

On suppose que $x\in\ ]-2\ ;\, 2[$.
Montrer l’égalité :

$$\ln{(4-x^2)}-\ln{(x+2,5)}- \ln{(2)}=\ln\left(\dfrac {4-x^2}{2x+5}\right)$$

Puis résoudre $f(x)=g(x)$.

Question 4

Quelles sont les coordonnées du ou des points d’intersection des courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ?

Démontrer que $0<\ln2<1$.

Une feuille de papier a pour épaisseur 0,1 mm.
On la plie en deux, $n$ fois. On admet que l’épaisseur est multipliée par $2$ à chaque pliage.

Quelle est l’épaisseur $u_n$ obtenue après $n$ pliages ?