Exercices Fonction logarithme népérien (ln)

Prépare-toi à progresser en Mathématiques avec ces exercices niveau Terminale : "Fonction logarithme népérien (ln)". Conçu pour renforcer les notions clés vues en cours, cet entraînement te permet de t’exercer à ton rythme. Idéal pour réviser efficacement et gagner en confiance. À toi de jouer !

Le nombre de moles A dans une solution est modélisé par $N(t)=10000~e^{-t/100}$ (avec $t≥0$ en secondes).

On s'intéresse à trois étapes de la réaction chimique :

quand la quantité de A diminue de moitié, on parle de temps de demi-réaction ;
quand la quantité A diminue de 80%, on considère que la réaction est pratiquement achevée ;
quand il ne reste que 100 molécules, on considère que le produit A est en concentration négligeable ;

Déterminer $N(0)$ ainsi que le temps $t$ au bout duquel le nombre de molécules sera égal à 100.

On note $x$ l’intensité sonore d’un bruit, mesurée en watt par mètre carré ($\text{W}\cdot \text{m}^{-2}$).

Par exemple, la plus petite intensité perçue par un être humain est $x_0=10^{-12}\ \text{W}\cdot \text{m}^{-2}$ et l’intensité sonore produite par une moto qui roule est $10^{-5}\ \text{W}\cdot \text{m}^{-2}$.

Le niveau sonore en décibel ($\text{dB}$) s’exprime pour tout $x\geq x_0$ par :

$$L(x)=\dfrac {10}{\ln{(10)}} \times \ln\left(\dfrac x{x_0}\right)$$

Question 1

Calculer $L(x_0)$, puis $L(10^{-5})$.
Donner une interprétation concrète de ces résultats.

Question 2

Exprimer $L(2x)$ en fonction de $L(x)$.
Si l’intensité sonore est doublée, comment évolue le niveau sonore ?

Question 3

Exprimer $L(10x)$ en fonction de $L(x)$.
Si on multiplie l’intensité sonore par $10$, comment évolue le niveau sonore ?

Question 4

Un niveau sonore supérieur à $85\ \text{dB}$ constitue un risque pour l’audition humaine.
Déterminer l’intensité sonore à partir de laquelle un bruit est dangereux pour l’oreille.

On considère les deux fonctions :

$$\begin{aligned} f:x&\mapsto \ln{(4-x^2)} \\ g:x&\mapsto \ln{(x+2,5)}+\ln{(2)} \end{aligned}$$

Question 1

Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$, puis le domaine de définition de $g$.

Question 2

On cherche à résoudre $f(x)=g(x)$.
Sur quel intervalle cette égalité a-t-elle un sens ?

Question 3

On suppose que $x\in\ ]-2\ ;\, 2[$.
Montrer l’égalité :

$$\ln{(4-x^2)}-\ln{(x+2,5)}- \ln{(2)}=\ln\left(\dfrac {4-x^2}{2x+5}\right)$$

Puis résoudre $f(x)=g(x)$.

Question 4

Quelles sont les coordonnées du ou des points d’intersection des courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ?

Contenus complémentaires

Évolution du nombre de molécules dans une solution
Un capital en chute libre
Quelques (in)équations
Autour d'une fonction

Intensité sonore et niveau sonore
Logarithme népérien et équation
Suite définie par récurrence et utilisant le logarithme népérien
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