Prépare-toi à progresser en Mathématiques avec ces exercices niveau Terminale : "Limites de fonctions". Conçu pour renforcer les notions clés vues en cours, cet entraînement te permet de t’exercer à ton rythme. Idéal pour réviser efficacement et gagner en confiance. À toi de jouer !
| Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire |
Soit $g$ la fonction définie sur $[0\ ;\, +\infty[$ par :
$$g(x)=\text{e}^x-\dfrac{x^2}2$$
On admet le résultat suivant : pour tout réel $x$, $\text{e}^x \geq x+1$.
On admet que $g$ est dérivable sur $[0\ ;\, +\infty[$.
Prouver que :
En déduire que, si $x > 0$, alors : $g(x) > 0$.
À l’aide de l’inégalité $g(x) > 0$, montrer que, pour tout $x > 0$, on a :
$$0 < \dfrac x{\text{e}^x} < \dfrac 2x$$
| Partie B |
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par :
$$f(x)=(2x-0,1)\text{e}^{-x}$$
Ci-dessous, on donne $\mathscr C_f$, la représentation de $f$ dans un repère orthonormé :
Courbe représentative de la fonction f
En utilisant le graphique, quelle semble être la limite de $f$ quand $x$ tend vers $-\infty$ ? la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?
Dans les questions 2 et 3, on cherche à démontrer ces deux conjectures.
$$\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^{-x}=+\infty$$
$$\lim\limits_{x \to +\infty} 2x \text{e}^{-x}=0$$
$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$$
$$f^{\prime}(x)=\dfrac {2,1-2x}{\text{e}^x}$$
On pourra, pour s’aider, écrire $f(x)$ sous la forme :
$$f(x)=\dfrac{2x-0,1}{\text{e}^x}$$
Sur l’intervalle $[0,05\ ;\, +\infty[$, $f$ représente, en fonction du temps $x$, le taux d’alcoolémie d’une personne donnée qui a bu deux verres d’alcool au cours d’un repas.
Le taux d’alcoolémie est en $\text{g/L}$ et $x$ s’exprime en heure.
Courbe représentative de la fonction f sur [0,5 ; +∞]
Déterminer graphiquement l’instant où le taux d’alcool redescend sous la valeur $0,2\ \text{g/L}$.
