Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire |
Soit $g$ la fonction définie sur $[0\ ;\, +\infty[$ par :
$$g(x)=\text{e}^x-\dfrac{x^2}2$$
On admet le résultat suivant : pour tout réel $x$, $\text{e}^x \geq x+1$.
Question 1
On admet que $g$ est dérivable sur $[0\ ;\, +\infty[$.
Prouver que :
- $g^{\prime}(x)=\text{e}^x-x$,
- puis que la fonction $g$ est strictement croissante sur $[0\ ;\, +\infty[$.
Question 2
En déduire que, si $x > 0$, alors : $g(x) > 0$.
Question 3
À l’aide de l’inégalité $g(x) > 0$, montrer que, pour tout $x > 0$, on a :
$$0 < \dfrac x{\text{e}^x} < \dfrac 2x$$
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par :
$$f(x)=(2x-0,1)\text{e}^{-x}$$
Ci-dessous, on donne $\mathscr C_f$, la représentation de $f$ dans un repère orthonormé :
Courbe représentative de la fonction f
Question 1
En utilisant le graphique, quelle semble être la limite de $f$ quand $x$ tend vers $-\infty$ ? la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?
Dans les questions 2 et 3, on cherche à démontrer ces deux conjectures.
Question 2
$$\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^{-x}=+\infty$$
Question 3
Déterminer la limite en $+∞$ de la fonction $x\mapsto \text{e}^{-x}$ ; puis la limite en $+\infty$ de $x\mapsto 2x-0,1$.
Peut-on conclure sur $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ ?
Utiliser le résultat de la question 3 de la partie A pour montrer que :
$$\lim\limits_{x \to +\infty} 2x \text{e}^{-x}=0$$
$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$$
Question 4
$$f^{\prime}(x)=\dfrac {2,1-2x}{\text{e}^x}$$
On pourra, pour s’aider, écrire $f(x)$ sous la forme :
$$f(x)=\dfrac{2x-0,1}{\text{e}^x}$$
Question 5
Sur l’intervalle $[0,05\ ;\, +\infty[$, $f$ représente, en fonction du temps $x$, le taux d’alcoolémie d’une personne donnée qui a bu deux verres d’alcool au cours d’un repas.
Le taux d’alcoolémie est en $\text{g/L}$ et $x$ s’exprime en heure.
Courbe représentative de la fonction f sur [0,5 ; +∞]
Déterminer graphiquement l’instant où le taux d’alcool redescend sous la valeur $0,2\ \text{g/L}$.
