Exercices Fonctions cosinus et sinus

On considère la fonction définie sur $\mathbb R$ par :

$$f(x)=\sin{(x)}+\sin{(x)}\cos{(x)}$$

Question 1

• Soit $x\in \mathbb R$. Calculer $f(x+2\pi)$.
  En déduire que $f$ est périodique et donner sa période.
• Soit $x\in \mathbb R$. Exprimer $f(-x)$ en fonction de $f(x)$.
  Que peut-on en déduire ?

Question 2

On étudie à présent $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\, \pi]$.

• Justifier que $f$ est dérivable sur $[0\ ;\, \pi]$.
• Déterminer sa fonction dérivée $f^{\prime}$.
  Prouver qu’on peut écrire, pour tout $x\in [0\ ;\, \pi]$ :

$$f^{\prime} (x)=2 \cos^2(x)+\cos{(x)}-1$$

Question 3

Pour tout $x\in [0\ ;\, \pi]$, on pose : $X=\cos{(x)}$. Ainsi :

$$2 \cos^2(x)+\cos{(x)}-1=2X^2+X-1$$

• Justifier que $X\in [-1\ ;\, 1]$.
• Déterminer les racines et le signe du polynôme
  $2X^2+X-1$ sur $[-1\ ;\, 1]$.
• En déduire le signe de $f^{\prime} (x)$ sur $[0\ ;\, \pi]$, puis les variations de $f$ sur cet intervalle.

Question 4 (bonus) : Application

Sur la figure ci-dessous, on a représenté un prisme droit :

Le prisme a pour base le trapèze $ABCD$, et pour hauteur le segment $[AE]$.
On note $x$ la mesure des angles $\widehat{ADH}$ et $\widehat{BCJ}$.

• Dans cette question, $x\in\left]0\ ;\, \frac \pi2\right[$.

On cherche à déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le prisme a un volume maximal.
On rappelle que :

• le volume d’un prisme droit est :
  $\mathcal V_\text{P}=\mathcal B\times H$, où $\mathcal B$ est l’aire de sa base et $H$ la hauteur du prisme ;
• l’aire du trapèze $ABCD$ est :
  $\mathcal A_\text{T}=\dfrac{AH\times (AB+DC)}2$.
• Exprimer la hauteur $AH$ du trapèze en fonction de $x$. On pourra se placer dans le triangle $AHD$.
• Démontrer que $CD=AB+2\cos{(x)}$.
• Exprimer l’aire du trapèze $\mathcal A_\text{T} (x)$, puis montrer que le volume du prisme est $\mathcal V_\text{P} (x)=3f(x)$.
• Quel est le volume maximal pour ce prisme ?