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Fonctions trigonométriques

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Introduction :

Nous allons poursuivre le travail commencé au collège en trigonométrie en découvrant le cercle trigonométrique, puis l’enroulement de la droite des réels autour de ce cercle.

Nous verrons ensuite les définitions et propriétés du cosinus et du sinus d’un nombre réel, nous ferons le lien avec la trigonométrie dans le triangle rectangle et nous observerons les valeurs particulières des cosinus et sinus.

Enfin, nous étudierons les fonctions sinus et cosinus en donnant leurs principales propriétés.

Repérage sur le cercle trigonométrique

Enroulement de la droite numérique

Avant de rentrer dans le vif du sujet et de parler de repérage sur le cercle trigonométrique, nous allons commencer par rappeler la définition de ce cercle.

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Définition

Cercle trigonométrique :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; ı ; ȷ)(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,), le cercle trigonométrique est le cercle C\mathscr C de centre OO et de rayon 11 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens direct.

Exemple :

Dans un repère orthonormé (O ; ı ; ȷ)(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,), on considère le cercle trigonométrique et dd la droite numérique graduée, tangente au cercle au point II.

  • Le zéro de la droite numérique coïncide avec le point II.

Quand on enroule, sur le cercle C\mathscr C, la demi-droite rouge des réels positifs dans le sens direct et la demi-droite bleue des réels négatifs dans le sens indirect, chaque réel xx vient s’appliquer sur un unique point MM du cercle C\mathscr C.

  • On dit que MM est l’image de xx sur le cercle trigonométrique.

Réciproquement, tout point MM du cercle est l’image d’une infinité de réels.

  • Si xx est l’un de ces réels, les autres sont les réels de la forme x+2kπx+2kπ, où kk est un entier relatif.
    Cela résulte du fait que le périmètre de C\mathscr C est égal à 2π.

Ainsi, le point JJ, par exemple, est associé à : π2\fracπ2 ; π2+2π=5π2\fracπ2+2π=\frac{5π}{2} ; π2+4π=9π2\fracπ2+4π=\frac{9π}{2}… mais aussi à : 3π2-\frac{3π}2 ; 7π2-\frac{7π}2

Le radian

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Définition

Radian :

Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radians d’un angle est égale à la longueur de l’arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon 11.

Lien entre angle du cercle trigonométrique et mesure en radians Lien entre angle du cercle trigonométrique et mesure en radians

Exemple :
Sur cette figure, la longueur de l’arc IU\overset{\displaystyle\frown}{IU} est égale à 11 et la mesure de l’angle IOU^\widehat{IOU} est égale à 11 radian.

On peut convertir les mesures des angles de degrés en radians ou, inversement, de radians en degrés.

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Propriété

Les mesures des angles en degrés, d’une part, et en radians, d’autre part, sont proportionnelles.

On a le tableau de conversion suivant :

Degrés 3030 4545 6060 9090 180180 360360
Radians {π}{6}\dfrac{\pi}{6} {π}{4}\dfrac{\pi}{4} {π}{3}\dfrac{\pi}{3} {π}{2}\dfrac{\pi}{2} π\pi 2π2\pi
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Astuce

Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par π180\frac{π}{180} et inversement, pour passer des radians aux degrés, on multiplie par 180π\frac{180}\pi.

Mesure principale d’un angle

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Définition

Mesure principale d’un angle :

Soit MM un point du cercle trigonométrique.

Le réel xx d’image MM est appelé mesure en radians de l’angle IOM^\widehat{IOM}.

Tous les réels ayant pour image MM sont aussi des mesures en radians de l’angle IOM^\widehat{IOM}. Toutes ces mesures sont de la forme x+2kπx+2k\pi, où kk est un entier relatif.

Parmi toutes ces mesures, l’unique mesure qui appartient à l’intervalle ]π ;π]]-\pi\ ; \pi] est appelée mesure principale de l’angle IOM^\widehat{IOM}.

Voici quelques mesures principales du cercle trigonométrique :

Le cercle trigonométrique et ses mesures principales Le cercle trigonométrique et ses mesures principales

Cosinus et sinus d’un nombre réel

Définition

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Définition

Cosinus et sinus d’un nombre réel :

Soit MM le point du cercle trigonométrique associé à un réel xx :

  • Le cosinus du réel xx, noté cosx\cos x, est l’abscisse du point MM dans le repère (O ; ı ; ȷ)(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,).
  • Le sinus du réel xx, noté sinx\sin x, est l’ordonnée du point MM dans le repère (O ; ı ; ȷ)(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,).

Exemple :
Le point MM a pour coordonnées M(cosx ; sinx)M(\cos x\ ;\ \sin x ).

À chaque réel xx, on peut associer une unique valeur du cosinus et du sinus.

Le tableau suivant regroupe les valeurs particulières des cosinus et sinus :

xx 00 {π}6\dfrac{\pi}6 {π}4\dfrac{\pi}4 {π}3\dfrac{\pi}3 {π}2\dfrac{\pi}2
cosx\cos x 11 \dfrac{\sqrt 3}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} {1}{2}\dfrac{1}{2} 00
sinx\sin x 00 {1}{2}\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} \dfrac{\sqrt 3}{2} 11
bannière propriete

Propriété

  • Pour tout nombre réel xx :

1cosx11sinx1\begin{array}{rcccl} &-1&≤&\cos x &≤&1 \ &-1&≤&\sin x &≤&1 \end{array}

  • Pour tout nombre réel xx :

cos2 x+sin2 x=1\cos^2\ x +\sin^2\ x =1

Cosinus et sinus d’angles associés

Les formules suivantes sont à retenir ou à savoir retrouver à partir du cercle trigonométrique :

cos (x)=cos x\cos\ (-x)=\cos\ x
sin (x)=sin x\sin\ (-x)=-\sin\ x
cos (πx)=cos x\cos\ (\pi-x)=-\cos\ x
sin (πx)=sin x\sin\ (\pi-x)=\sin\ x
cos (π+x)=cos x\cos\ (\pi+x)=-\cos\ x
sin (π+x)=sin x\sin\ (\pi+x)=-\sin\ x</span

>

cos(π2x)=sinx\cos (\frac{\pi}{2}-x)=\sin x
sin(π2x)=cosx\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x
cos(π2+x)=sinx\cos (\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x
sin(π2+x)=cosx\sin(\frac{\pi}{2}+x)=\cos x </span

>

Lien avec la trigonométrie dans le triangle rectangle

  • Dans le triangle rectangle OBMOBM, on a :

cosBOM^=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse=OBOM\cos \widehat{BOM}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{OB}{OM}

Or, OMOM est un rayon du cercle trigonométrique, donc OM=1OM=1.

D’où : cosBOM^=OB1=OB=cosx\cos \widehat{BOM}=\dfrac{OB}{1}=OB=\cos x

  • On retrouve la même valeur pour cosx\cos x avec le cercle trigonométrique que pour cosBOM^\cos \widehat{BOM} avec la trigonométrie dans le triangle rectangle.
  • De même, dans le triangle rectangle OBMOBM, on a :

sinBOM^=coˆteˊ opposeˊhypoteˊnuse=BMOM=OCOM\sin \widehat{BOM}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{BM}{OM}=\dfrac{OC}{OM}

Or, OMOM est un rayon du cercle trigonométrique, donc OM=1OM=1.

D’où : sinBOM^=OC1=OC=sinx\sin \widehat{BOM}=\dfrac{OC}{1}=OC=\sin x

  • On retrouve la même valeur pour sinx\sin x avec le cercle trigonométrique que pour sinBOM^\sin \widehat{BOM} avec la trigonométrie dans le triangle rectangle.

Fonctions cosinus et sinus

Étude la fonction cosinus

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Définition

Fonction cosinus :

La fonction qui, à tout réel xx, associe le cosinus de xx est appelée fonction cosinus. La fonction xcos(x)x \mapsto \cos(x) est définie sur R\mathbb{R}.

  • Étude sur l’intervalle [0 ; π][0\ ;\ \pi]

Nous avons vu précédemment le tableau des valeurs remarquables suivant :

xx 00 {π}6\dfrac{\pi}6 {π}4\dfrac{\pi}4 {π}3\dfrac{\pi}3 {π}2\dfrac{\pi}2
cosx\cos x 11 \dfrac{\sqrt 3}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} {1}{2}\dfrac{1}{2} 00
sinx\sin x 00 {1}{2}\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} \dfrac{\sqrt 3}{2} 11

À l’aide de la formule cos(π2+x)=sin(x)\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin(x), nous obtenons les résultats suivants :

  • cos(2π3)=cos(4π6)=cos(3π+π6)=cos(π2+π6)=sin(π6)=12\cos(\frac{2\pi}{3})=\cos(\frac{4\pi}{6})=\cos(\frac{3\pi+\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6})=-\sin(\frac{\pi}{6}) =-\frac{1}{2}
  • cos(3π4)=cos(2π+π4)=cos(π2+π4)=sin(π4)=22\cos(\frac{3\pi}{4})=\cos(\frac{2\pi+\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})=-\sin(\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}
  • cos(5π6)=cos(3π+2π6)=cos(π2+π3)=sin(π3)=32\cos(\frac{5\pi}{6})=cos(\frac{3\pi+2\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})=-sin(\frac{\pi}{3}) =-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • cos(π)=cos(π2+π2)=sin(π2)=1\cos(\pi)=\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})=-\sin(\frac{\pi}{2})=-1

Nous pouvons compléter le tableau précédent :

xx 00 {π}6\dfrac{\pi}6 {π}4\dfrac{\pi}4 {π}3\dfrac{\pi}3 {π}2\dfrac{\pi}2 {2π}3\dfrac{2\pi}3 {3π}4\dfrac{3\pi}4 {5π}6\dfrac{5\pi}6 π\pi
cosx\cos x 11 \dfrac{\sqrt 3}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} {1}{2}\dfrac{1}{2} 00 12-\dfrac{1}{2} 22-\dfrac{\sqrt 2}{2} 32-\dfrac{\sqrt 3}{2} 1-1
sinx\sin x 00 {1}{2}\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} \dfrac{\sqrt 3}{2} 11

Nous en déduisons la courbe représentative de la fonction cosinus sur l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi].

  • Étude sur l’intervalle [π ;π][-\pi \ ; \pi ] à l’aide de la parité

Nous l’avons vu plus haut, nous savons que pour tout nombre réel xx : cos(x)=cos(x)\cos(-x)=\cos(x).

  • On dit alors que la fonction cosinus est paire.
bannière à retenir

À retenir

Une fonction ff est paire si f(x)=f(x)f(-x) = f(x), pour tout xDfx\in Df tel que xDf-x\in Df.

Une fonction ff est impaire si f(x)=f(x)f(-x) = - f(x), pour tout xDfx\in Df tel que xDf-x\in Df.

bannière propriete

Propriété

La courbe représentative C\mathscr{C} de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère. C’est une propriété des fonctions paires.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur l’intervalle [π ;π][-\pi\ ; \pi] la courbe tracée précédemment sur l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi].

  • Étude sur l’ensemble des nombres réels à l’aide de la périodicité

Par définition, nous avons pour tout nombre réel xx : cos(x+2π)=cos(x)\cos( x+2\pi)=\cos(x).

  • On dit alors que la fonction cosinus est périodique de période 2π2\pi.
bannière propriete

Propriété

La courbe représentative C\mathscr{C} de la fonction cosinus est invariante par translation de vecteur 2πı2\pi\vec\imath.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur R\mathbb{R} la courbe tracée précédemment sur l’intervalle [π ;π][-\pi\ ; \pi].

La courbe représentative de la fonction cosinus est également appelée sinusoïde.

Étude de la fonction sinus

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Définition

Fonction sinus :

La fonction qui, à tout réel xx, associe le sinus de xx est appelée fonction sinus. La fonction xsin(x)x \mapsto \sin(x) est définie sur R\mathbb{R}.

  • Étude sur l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi]

Nous avons vu précédemment le tableau des valeurs remarquables suivant :

xx 00 {π}6\dfrac{\pi}6 {π}4\dfrac{\pi}4 {π}3\dfrac{\pi}3 {π}2\dfrac{\pi}2
cosx\cos x 11 \dfrac{\sqrt 3}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} {1}{2}\dfrac{1}{2} 00
sinx\sin x 00 {1}{2}\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} \dfrac{\sqrt 3}{2} 11

À l’aide de la formule sin(π2+x)=cos(x)\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x), nous obtenons les résultats suivants :

  • sin(2π3)=sin(4π6)=sin(3π+π6)=sin(π2+π6)=cos(π6)=32\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi + \pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) =\frac{\sqrt{3}}{2}
  • sin(3π4)=sin(2π+π4)=sin(π2+π4)=cos(π4)=22\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{2\pi + \pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) =\frac{\sqrt{2}}{2}
  • sin(5π6)=sin(3π+2π6)=sin(π2+π3)=cos(π3)=12\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi + 2\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) =\frac{1}{2}
  • sin(π)=sin(π2+π2)=cos(π2)=0\sin(\pi) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0

Nous pouvons compléter le tableau précédent :

xx 00 {π}6\dfrac{\pi}6 {π}4\dfrac{\pi}4 {π}3\dfrac{\pi}3 {π}2\dfrac{\pi}2 {2π}3\dfrac{2\pi}3 {3π}4\dfrac{3\pi}4 {5π}6\dfrac{5\pi}6 π\pi
cosx\cos x 11 \dfrac{\sqrt 3}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} {1}{2}\dfrac{1}{2} 00 12-\dfrac{1}{2} 22-\dfrac{\sqrt 2}{2} 32-\dfrac{\sqrt 3}{2} 1-1
sinx\sin x 00 {1}{2}\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} \dfrac{\sqrt 3}{2} 11 \dfrac{\sqrt 3}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} {1}{2}\dfrac{1}{2} 00

Nous en déduisons la courbe représentative de la fonction sinus sur l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi].

  • Étude sur l’intervalle [π ;π][-\pi \ ; \pi ] à l’aide de la parité

Nous l’avons vu plus haut, nous savons que pour tout nombre réel xx : sin(x)=sin(x)\sin(-x) = -\sin(x).

  • On dit alors que la fonction sinus est impaire.
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Propriété

La courbe représentative C\mathscr{C} de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine 00 du repère. C’est une propriété des fonctions impaires.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur l’intervalle [π ;π][-\pi\ ; \pi] la courbe tracée précédemment sur l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi].

  • Étude sur l’ensemble des nombres réels à l’aide de la périodicité

Par définition, nous avons pour tout nombre réel xx : sin(x+2π)=sin(x)\sin( x+2\pi)=\sin(x).

  • On dit alors que la fonction sinus est périodique de période 2π2\pi.
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Propriété

La courbe représentative C\mathscr{C} de la fonction sinus est invariante par translation de vecteur 2πı2\pi\vec\imath.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur R\mathbb{R} la courbe tracée précédemment sur l’intervalle [π ;π][-\pi\ ; \pi ].

  • La courbe représentative de la fonction sinus est également appelée sinusoïde.

Conclusion :

Dans ce cours, à partir du repérage sur le cercle trigonométrique, nous avons découvert le radian et défini le cosinus et le sinus d’un nombre réel, en en donnant les principales propriétés et les valeurs particulières.

Nous avons ensuite étudié les fonctions sinus et cosinus définies sur R\mathbb{R}, et donné leur représentation graphique en utilisant leurs propriétés de symétrie et de périodicité.