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Fonctions trigonométriques
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Introduction :
Nous allons poursuivre le travail commencé au collège en trigonométrie en découvrant le cercle trigonométrique, puis l’enroulement de la droite des réels autour de ce cercle.
Nous verrons ensuite les définitions et propriétés du cosinus et du sinus d’un nombre réel, nous ferons le lien avec la trigonométrie dans le triangle rectangle et nous observerons les valeurs particulières des cosinus et sinus.
Enfin, nous étudierons les fonctions sinus et cosinus en donnant leurs principales propriétés.
Repérage sur le cercle trigonométrique
Enroulement de la droite numérique
Avant de rentrer dans le vif du sujet et de parler de repérage sur le cercle trigonométrique, nous allons commencer par rappeler la définition de ce cercle.
Cercle trigonométrique :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé , le cercle trigonométrique est le cercle de centre et de rayon orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens direct.
Exemple :
Dans un repère orthonormé , on considère le cercle trigonométrique et la droite numérique graduée, tangente au cercle au point .
Quand on enroule, sur le cercle , la demi-droite rouge des réels positifs dans le sens direct et la demi-droite bleue des réels négatifs dans le sens indirect, chaque réel vient s’appliquer sur un unique point du cercle .
Réciproquement, tout point du cercle est l’image d’une infinité de réels.
Ainsi, le point , par exemple, est associé à : ; ; … mais aussi à : ; …
Le radian
Radian :
Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radians d’un angle est égale à la longueur de l’arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon .
Lien entre angle du cercle trigonométrique et mesure en radians
Exemple :
Sur cette figure, la longueur de l’arc est égale à et la mesure de l’angle est égale à radian.
On peut convertir les mesures des angles de degrés en radians ou, inversement, de radians en degrés.
Les mesures des angles en degrés, d’une part, et en radians, d’autre part, sont proportionnelles.
On a le tableau de conversion suivant :
Degrés | ||||||
Radians |
Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par et inversement, pour passer des radians aux degrés, on multiplie par .
Mesure principale d’un angle
Mesure principale d’un angle :
Soit un point du cercle trigonométrique.
Le réel d’image est appelé mesure en radians de l’angle .
Tous les réels ayant pour image sont aussi des mesures en radians de l’angle . Toutes ces mesures sont de la forme , où est un entier relatif.
Parmi toutes ces mesures, l’unique mesure qui appartient à l’intervalle est appelée mesure principale de l’angle .
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Définition
Cosinus et sinus d’un nombre réel :
Soit le point du cercle trigonométrique associé à un réel :
Exemple :
Le point a pour coordonnées .
À chaque réel , on peut associer une unique valeur du cosinus et du sinus.
Le tableau suivant regroupe les valeurs particulières des cosinus et sinus :
\dfrac{\sqrt 3}{2} | \dfrac{\sqrt 2}{2} | ||||
\dfrac{\sqrt 2}{2} | \dfrac{\sqrt 3}{2} |
Cosinus et sinus d’angles associés
Les formules suivantes sont à retenir ou à savoir retrouver à partir du cercle trigonométrique :
</span
>
</span
>
Lien avec la trigonométrie dans le triangle rectangle
Or, est un rayon du cercle trigonométrique, donc .
D’où :
Or, est un rayon du cercle trigonométrique, donc .
D’où :
Fonctions cosinus et sinus
Étude la fonction cosinus
Fonction cosinus :
La fonction qui, à tout réel , associe le cosinus de est appelée fonction cosinus. La fonction est définie sur .
Nous avons vu précédemment le tableau des valeurs remarquables suivant :
\dfrac{\sqrt 3}{2} | \dfrac{\sqrt 2}{2} | ||||
\dfrac{\sqrt 2}{2} | \dfrac{\sqrt 3}{2} |
À l’aide de la formule , nous obtenons les résultats suivants :
Nous pouvons compléter le tableau précédent :
\dfrac{\sqrt 3}{2} | \dfrac{\sqrt 2}{2} | ||||||||
\dfrac{\sqrt 2}{2} | \dfrac{\sqrt 3}{2} |
Nous en déduisons la courbe représentative de la fonction cosinus sur l’intervalle .
Nous l’avons vu plus haut, nous savons que pour tout nombre réel : .
Une fonction est paire si , pour tout tel que .
Une fonction est impaire si , pour tout tel que .
La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère. C’est une propriété des fonctions paires.
À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur l’intervalle la courbe tracée précédemment sur l’intervalle .
Par définition, nous avons pour tout nombre réel : .
La courbe représentative de la fonction cosinus est invariante par translation de vecteur .
À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur la courbe tracée précédemment sur l’intervalle .
Fonction cosinus
La courbe représentative de la fonction cosinus est également appelée sinusoïde.
Étude de la fonction sinus
Fonction sinus :
La fonction qui, à tout réel , associe le sinus de est appelée fonction sinus. La fonction est définie sur .
Nous avons vu précédemment le tableau des valeurs remarquables suivant :
\dfrac{\sqrt 3}{2} | \dfrac{\sqrt 2}{2} | ||||
\dfrac{\sqrt 2}{2} | \dfrac{\sqrt 3}{2} |
À l’aide de la formule , nous obtenons les résultats suivants :
Nous pouvons compléter le tableau précédent :
\dfrac{\sqrt 3}{2} | \dfrac{\sqrt 2}{2} | ||||||||
\dfrac{\sqrt 2}{2} | \dfrac{\sqrt 3}{2} | \dfrac{\sqrt 3}{2} | \dfrac{\sqrt 2}{2} |
Nous en déduisons la courbe représentative de la fonction sinus sur l’intervalle .
Nous l’avons vu plus haut, nous savons que pour tout nombre réel : .
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère. C’est une propriété des fonctions impaires.
À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur l’intervalle la courbe tracée précédemment sur l’intervalle .
Par définition, nous avons pour tout nombre réel : .
La courbe représentative de la fonction sinus est invariante par translation de vecteur .
À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur la courbe tracée précédemment sur l’intervalle .
Fonction sinus
Conclusion :
Dans ce cours, à partir du repérage sur le cercle trigonométrique, nous avons découvert le radian et défini le cosinus et le sinus d’un nombre réel, en en donnant les principales propriétés et les valeurs particulières.
Nous avons ensuite étudié les fonctions sinus et cosinus définies sur , et donné leur représentation graphique en utilisant leurs propriétés de symétrie et de périodicité.