Fiche de révision : Fonctions trigonométriques

Repérage sur le cercle trigonométrique

• Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,)$, le cercle trigonométrique est le cercle $\mathscr C$ :
• de centre $O$,
• de rayon $1$,
• orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens direct.
• Dans un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,)$, on considère le cercle trigonométrique et $d$ la droite numérique graduée, tangente au cercle au point $I$ :
• le zéro de la droite numérique coïncide avec le point $I$ ;
• quand on enroule, sur le cercle $\mathscr C$, la droite des réels, chaque réel $x$ vient s’appliquer sur un unique point $M$ du cercle $\mathscr C$ :
• $M$ est l’image de $x$ sur le cercle trigonométrique ;
• réciproquement, tout point $M$ du cercle est l’image d’une infinité de réels :
• si $x$ est l’un de ces réels, les autres sont les réels de la forme $x+2kπ$, où $k$ est un entier relatif.
• Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radians d’un angle est égale à la longueur de l’arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon $1$ :
• pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\frac{π}{180}$ et inversement, pour passer des radians aux degrés, on multiplie par $\frac{180}\pi$ :

• Mesure d’un angle :
• soit $M$ un point du cercle trigonométrique, le réel $x$ d’image $M$ est appelé mesure en radians de l’angle $\widehat{IOM}$ ;
• tous les réels ayant pour image $M$ sont aussi des mesures en radians de l’angle $\widehat{IOM}$ (toutes ces mesures sont de la forme $x+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif) ;
• parmi toutes ces mesures, l’unique mesure qui appartient à l’intervalle $]-\pi\ ; \pi]$ est appelée mesure principale de l’angle $\widehat{IOM}$.

Cosinus et sinus d’un nombre réel

• Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé à un réel $x$ :
• le cosinus du réel $x$, noté $\cos x$, est l’abscisse du point $M$ dans le repère $(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,)$ ;
• le sinus du réel $x$, noté $\sin x$, est l’ordonnée du point $M$ dans le repère $(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,)$.
• À chaque réel $x$, on peut associer une unique valeur du cosinus et du sinus.
• Quelques valeurs particulières :

• Pour tout nombre réel $x$ :
• $-1\leq\cos x\leq1$
• $-1\leq\sin x\leq1$
• $\cos^2\ x +\sin^2\ x =1$
• Cosinus et sinus d’angles associés

Fonctions cosinus et sinus

• La fonction qui, à tout réel $x$, associe le cosinus de $x$ est appelée fonction cosinus :
• elle est définie sur $\mathbb{R}$ ;
• elle est paire $\big(\cos x=\cos (-x)\big)$ ;
• elle est périodique de période $2\pi$ ;
• la courbe représentative est donc :

• La fonction qui, à tout réel $x$, associe le sinus de $x$ est appelée fonction sinus :
• elle est définie sur $\mathbb{R}$ ;
• elle est impaire $\big(\sin x=-\sin (-x)\big)$ ;
• elle est périodique de période $2\pi$ ;
• la courbe représentative est donc :

• Les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont également appelées sinusoïdes.