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Fonctions trigonométriques

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Repérage sur le cercle trigonométrique

  • Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; ı ; ȷ)(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,), le cercle trigonométrique est le cercle C\mathscr C :
  • de centre OO,
  • de rayon 11,
  • orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens direct.
  • Dans un repère orthonormé (O ; ı ; ȷ)(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,), on considère le cercle trigonométrique et dd la droite numérique graduée, tangente au cercle au point II :
  • le zéro de la droite numérique coïncide avec le point II ;
  • quand on enroule, sur le cercle C\mathscr C, la droite des réels, chaque réel xx vient s’appliquer sur un unique point MM du cercle C\mathscr C :
  • MM est l’image de xx sur le cercle trigonométrique ;
  • réciproquement, tout point MM du cercle est l’image d’une infinité de réels :
  • si xx est l’un de ces réels, les autres sont les réels de la forme x+2kπx+2kπ, où kk est un entier relatif.
  • Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radians d’un angle est égale à la longueur de l’arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon 11 :
  • pour passer des degrés aux radians, on multiplie par π180\frac{π}{180} et inversement, pour passer des radians aux degrés, on multiplie par 180π\frac{180}\pi :

Degrés 3030 4545 6060 9090 180180 360360
Radians {π}{6}\dfrac{\pi}{6} {π}{4}\dfrac{\pi}{4} {π}{3}\dfrac{\pi}{3} {π}{2}\dfrac{\pi}{2} π\pi 2π2\pi
  • Mesure d’un angle :
  • soit MM un point du cercle trigonométrique, le réel xx d’image MM est appelé mesure en radians de l’angle IOM^\widehat{IOM} ;
  • tous les réels ayant pour image MM sont aussi des mesures en radians de l’angle IOM^\widehat{IOM} (toutes ces mesures sont de la forme x+2kπx+2k\pi, où kk est un entier relatif) ;
  • parmi toutes ces mesures, l’unique mesure qui appartient à l’intervalle ]π ;π]]-\pi\ ; \pi] est appelée mesure principale de l’angle IOM^\widehat{IOM}.

Cosinus et sinus d’un nombre réel

  • Soit MM le point du cercle trigonométrique associé à un réel xx :
  • le cosinus du réel xx, noté cosx\cos x, est l’abscisse du point MM dans le repère (O ; ı ; ȷ)(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,) ;
  • le sinus du réel xx, noté sinx\sin x, est l’ordonnée du point MM dans le repère (O ; ı ; ȷ)(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,).
  • À chaque réel xx, on peut associer une unique valeur du cosinus et du sinus.
  • Quelques valeurs particulières :

xx 00 {π}6\dfrac{\pi}6 {π}4\dfrac{\pi}4 {π}3\dfrac{\pi}3 {π}2\dfrac{\pi}2 {2π}3\dfrac{2\pi}3 {3π}4\dfrac{3\pi}4 {5π}6\dfrac{5\pi}6 π\pi
cosx\cos x 11 \dfrac{\sqrt 3}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} {1}{2}\dfrac{1}{2} 00 12-\dfrac{1}{2} 22-\dfrac{\sqrt 2}{2} 32-\dfrac{\sqrt 3}{2} 1-1
sinx\sin x 00 {1}{2}\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} \dfrac{\sqrt 3}{2} 11 \dfrac{\sqrt 3}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} {1}{2}\dfrac{1}{2} 00
  • Pour tout nombre réel xx :
  • 1cosx1-1\leq\cos x\leq1
  • 1sinx1-1\leq\sin x\leq1
  • cos2 x+sin2 x=1\cos^2\ x +\sin^2\ x =1
  • Cosinus et sinus d’angles associés

cos (x)=cos x\cos\ (-x)=\cos\ x sin (x)=sin x\sin\ (-x)=-\sin\ x
cos (πx)=cos x\cos\ (\pi-x)=-\cos\ x sin (πx)=sin x\sin\ (\pi-x)=\sin\ x
cos (π+x)=cos x\cos\ (\pi+x)=-\cos\ x sin (π+x)=sin x\sin\ (\pi+x)=-\sin\ x
cos(π2x)=sinx\cos (\frac{\pi}{2}-x)=\sin x sin(π2x)=cosx\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x
cos(π2+x)=sinx\cos (\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x sin(π2+x)=cosx\sin(\frac{\pi}{2}+x)=\cos x

Fonctions cosinus et sinus

  • La fonction qui, à tout réel xx, associe le cosinus de xx est appelée fonction cosinus :
  • elle est définie sur R\mathbb{R} ;
  • elle est paire (cosx=cos(x))\big(\cos x=\cos (-x)\big) ;
  • elle est périodique de période 2π2\pi ;
  • la courbe représentative est donc :

 

  • La fonction qui, à tout réel xx, associe le sinus de xx est appelée fonction sinus :
  • elle est définie sur R\mathbb{R} ;
  • elle est impaire (sinx=sin(x))\big(\sin x=-\sin (-x)\big) ;
  • elle est périodique de période 2π2\pi ;
  • la courbe représentative est donc :

 

  • Les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont également appelées sinusoïdes.