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Généralités sur les fonctions

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Introduction :

Une fonction est un procédé de calcul qui, à un nombre, fait correspondre un seul autre nombre.

Nous allons débuter cette leçon en expliquant la notion de fonction et, pour cela, nous parlerons d’intervalles.
Puis, nous étudierons la représentation graphique d’une fonction et nous verrons comment résoudre graphiquement des équations et inéquations.
Enfin, nous parlerons des variations d’une fonction et de ses éventuels extrema.

Notion de fonction

Ensemble R\mathbb{R} et intervalles de R\mathbb{R}

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Définition

Ensemble des nombres réels :

L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé ensemble des nombres réels. On le note R\mathbb{R}.

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Astuce

Il existe plusieurs ensembles en mathématiques. Il est important de les connaître, ainsi que de connaître leurs relations.

L’ensemble des nombres réels comprend tous les nombres connus, peu importe leur écriture mathématique : 0 ; 3 ; 5,1 ; 43 ; 50\ ;\ 3\ ;\ -5,1\ ;\ \dfrac{4}{3}\ ;\ \sqrt{5}

Soit aa et bb deux nombres réels. On définit les intervalles [a ;b] ,[a ;b[ ,]a ;b][a\ ;\,b]\ , [a\ ;\,b[\ , ]a\ ;\,b] et ]a ;b[]a\ ;\,b[ de la manière suivante :

Intervalle Ensemble des réels xx tels que : Représentation graphique
[a ;b][a\ ;\,b] a x ba\leq\ x\leq\ b

[a ;b[[a\ ;\,b[ a x< ba\leq\ x<\ b

]a ;b]]a\ ;\,b] a< x ba<\ x\leq\ b

]a ;b[]a\ ;\,b[ a< x< ba<\ x<\ b

Ici, aa et bb sont appelés bornes de l’intervalle. On dit des intervalles ci-dessus qu’ils sont bornés.

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Définition

Intervalle borné :

Un intervalle est borné lorsque les valeurs qui l’encadrent sont des réels : [a ;b][a\ ;\, b].

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Définition

Intervalle non borné :

Un intervalle est non borné lorsqu’il contient le signe ++ \infty ou - \infty à la place d'un réel : ] ;a]]-\infty\ ;\,a] ou [b ;+[[b\ ;\,+\infty[.

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Définition

Intervalle fermé :

Un intervalle est fermé lorsque les valeurs qui l’encadrent sont incluses dans l’intervalle. Il se présente avec les crochets vers l’intérieur.

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Définition

Intervalle ouvert :

Un intervalle est ouvert lorsque les valeurs qui l’encadrent ne sont pas incluses dans l’intervalle. Il se présente avec les crochets vers l’extérieur.

Par exemple, l’intervalle ouvert ]a ;b[]a\ ;\,b[ est l’ensemble des réels strictement compris entre aa et bb. Dans ce cas, les bornes aa et bb n’appartiennent pas à l’intervalle.

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Attention

Un intervalle peut être semi-fermé à gauche et semi-ouvert à droite : [a ; b[[a\ ;\ b[ ou bien être semi-ouvert à gauche et semi-fermé à droite : ]a ; b]]a\ ;\ b].
Par convention, on dira qu’ils sont semi-ouverts.

On définit de même les intervalles non bornés [a ;+[ ,] ;a] ,]a ;+[[a\ ;\,+\infty[\ , ]-\infty\ ;\, a]\ , ]a\ ;\, +\infty[ et ] ;a[]-\infty\ ;\, a[ :

Intervalle Ensemble des réels xx tels que : Représentation graphique
[a ;+[[a\ ;\, +\infty[ x ax\geq\ a

] ;a]]-\infty\ ;\, a] x ax\leq\ a

]a ;+[]a\ ;\, +\infty[ x > ax\ >\ a

] ;a[]-\infty\ ;\, a[ x < ax\ <\ a

Par exemple, dans la deuxième ligne de ce tableau, l’intervalle ] ;a]]-\infty\ ;\,a] est l’ensemble des réels inférieurs ou égal à aa. Dans ce cas, la borne aa appartient à l’intervalle.

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Astuce

Le sens des crochets indique si la borne appartient ou non à l’intervalle. Lorsque le crochet est tourné vers l’intérieur, la borne appartient à l’intervalle.

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Définition

Intersection de deux intervalles :

L’intersection de deux intervalles I et JI\ \text{et}\ J est l’ensemble des éléments qui appartiennent à I I\ et à J J\ , on le note : IJI \cap J (ce qui se lit I I\ inter JJ).

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Définition

Réunion de deux intervalles :

La réunion de deux intervalles I et JI\ \text{et}\ J est l’ensemble des éléments qui appartiennent à I I\ ou à J J\ , on le note : IJI \cup J (ce qui se lit I I\ union J J\ ).

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Exemple

Soit I=[1 ;3]I=[-1\ ;\,3] et J=]1 ;4[J=]1\ ;\, 4[

  • L’ensemble des nombres qui appartiennent à II et à JJ est l’intervalle IJ=]1 ;3]I\cap J=]1\ ;\, 3]
  • L’ensemble des nombres qui appartiennent à II ou à JJ est l’intervalle IJ=[1 ;4[I\cup J=[-1\ ;\, 4[
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Astuce

Si tu as du mal à trouver l’intersection ou la réunion de deux intervalles, mieux vaut les représenter sur une droite graduée avec deux couleurs différentes (comme dans l’exemple précédent).

  • L’intersection est l’intervalle où tu vois les deux couleurs en même temps.
  • La réunion est le plus grand intervalle que tu peux construire avec au minimum une couleur.

Notions de fonction, image et antécédent

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Définition

Fonction :

On définit une fonction ff sur un ensemble DD lorsque l’on associe à chaque réel xx de l’ensemble DD un réel yy et un seul. On note :

f:xyf:x\mapsto y ou f:xf(x)=yf:x\mapsto f(x)=y

  • DD est appelé l’ensemble de définition de ff.
  • Le nombre yy est appelé l’image de xx par la fonction ff.
  • Le nombre xx est appelé un antécédent de yy par la fonction ff.

Il y a trois façons de présenter une fonction :

  • avec une formule explicite ;
  • avec un tableau de valeurs ;
  • avec une courbe tracée dans un repère.

Représentation d’une fonction : formule explicite

On considère par exemple la fonction ff définie par la formule f(x)=3x+1f(x)=-3x+1.

Pour calculer une image, on remplace simplement le xx par le nombre donné.

  • L’image de 22 est f(2)=3×2+1=6+1=5f(2)=-3×2+1=-6+1=-5.
  • L’image de 1-1 est f(1)=3×(1)+1=3+1=4f(-1)=-3×(-1)+1=3+1=4.

Pour calculer un antécédent, il faut résoudre une équation.

  • Pour l’antécédent de 1010 : 3x+1=10-3x+1=10 alors 3x=9-3x=9 et x=3x=-3
  • On dit que l’antécédent de 1010 est 3-3.
  • Pour l’antécédent de 5-5 : 3x+1=5-3x+1=-5 alors 3x=6-3x=-6 et x=2x=2
  • On dit que l’antécédent de 5-5 est 22.

Représentation d’une fonction : tableau

On considère par exemple la fonction définie par le tableau de valeurs suivant :

Longueur en mètres 7,967,96 7,977,97 7,987,98 7,997,99
Score 10501\,050 10531\,053 10551\,055 10581\,058

Par convention, dans un tableau, les antécédents sont toujours sur la première ligne (ou colonne) et les images sur la seconde ligne (ou colonne).

  • Ici par exemple, l’image de 7,987,98 est 10551\,055 ; on note f(7,98)=1055f(7,98)=1\,055.

Représentation d’une fonction : courbe

La troisième façon de présenter une fonction, c’est de tracer sa courbe dans un repère.

Représentation graphique d’une fonction

Courbe représentative d’une fonction

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Définition

Courbe représentative :

Dans un repère, la courbe représentative C\mathscr C (ou représentation graphique) d’une fonction ff est l’ensemble des points de coordonnées (x ;f(x))\big(x\ ;\,f(x)\big)xx appartient à l’ensemble de définition DD.

Cette figure montre la courbe représentative d’une fonction ff définie sur l’intervalle D=[4 ;5]D=[-4\ ;\, 5].

Alt texte Courbe représentative d’une fonction

  • On peut lire graphiquement que l’image de 4-4 est 11 : on écrit f(4)=1f(-4)=1.
  • On peut également dire que 4-4 est un antécédent de 11.
  • L’image de 55 est 1-1 : on écrit f(5)=1f(5)=-1.
  • On peut également dire que 55 est un antécédent de 1-1.
bannière à retenir

À retenir

L’axe horizontal s’appelle axe des abscisses, on y lit les antécédents.
L’axe vertical, quant à lui, s’appelle axe des ordonnées et on y lit les images.

Résolution graphique d’équations et inéquations

Résolution graphique de f(x)=kf(x)=k avec kRk \in \mathbb R<

Les solutions de l’équation f(x)=kf(x)=k, avec kRk \in \mathbb R, sont les abscisses des points d’intersection de la droite horizontale y=ky=k avec la courbe représentative de ff.

En pratique :

  • on place sur l’axe des ordonnées le réel kk ;
  • on trace la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par ce point ;
  • on lit les abscisses des points d’intersection de cette droite avec la courbe Cf\mathscr C_f.

Sur cette figure, les solutions de l’équation f(x)=kf(x)=k sont les nombres aa, bb et cc.

  • On note {a ;b ;c}\lbrace a\ ;\, b\ ;\, c \rbrace l’ensemble des solutions de l’équation f(x)=kf(x)=k, avec kRk \in \mathbb R.

Résolution graphique de f(x)=g(x)f(x)=g(x)<

Les solutions de l’équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de ff avec la courbe représentative de gg.

Sur cette figure, les solutions de l’équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) sont les nombres dd et ee.

  • On note S={d ;e}S=\lbrace d\ ;\, e\rbrace les solutions de l’équation f(x)=g(x)f(x)=g(x).

Résolution graphique de l’inéquation f(x)<kf(x) < k avec kRk \in \mathbb R<

Les solutions de l’inéquation f(x)<kf(x) < k, avec kRk \in \mathbb R, sont les abscisses des points de la courbe Cf\mathscr C_f d’ordonnée strictement inférieure à kk.

En pratique :

  • on place sur l’axe des ordonnées le réel kk ;
  • on trace la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par ce point ;
  • on s’intéresse à tous les points de la courbe situés en dessous de cette droite ;
  • on donne leurs abscisses en utilisant les intervalles.

  • On note S=] ;a[]b ;+[S=]-\infty\ ;\, a[\cup]b\ ;\, +\infty[, l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x)<kf(x) < k.

Résolution graphique de l’inéquation f(x)<g(x)f(x) < g(x)<

Les solutions de l’inéquation f(x)<g(x)f(x) < g(x) sont les abscisses des points de la courbe Cf\mathscr Cf situés en dessous de la courbe Cg\mathscr Cg.

  • On note S=] ;c[S=]-\infty\ ;\,c[, les solutions de l’inéquation f(x)<g(x)f(x) < g(x).
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À retenir

En cas d’inégalité stricte (<< ou >>), les crochets seront tournés vers l’extérieur de l’intervalle alors que, dans le cas d’inégalité large (\leq ou \geq), les crochets seront tournés vers l’intérieur de l’intervalle.

Variations et extrema

Sens de variation

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Définition

Sens de variation d’une fonction :

Donner le sens de variation d’une fonction, c’est dire si elle est croissante ou décroissante dans un intervalle donné.

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Définition

Fonction croissante :

Soit ff une fonction et II un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de cette fonction.

  • Dire que ff est croissante sur II, c’est dire que, pour tous réels aa et bb appartenant à II, si a<ba, alors f(a)f(b)f(a)\leq f(b).
  • Dire que ff est strictement croissante sur II, c’est dire que, pour tous réels aa et bb appartenant à II, si a<ba, alors f(a)<f(b)f(a).
  • On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre.
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Définition

Fonction décroissante :

Soit ff une fonction et II un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de cette fonction.

  • Dire que ff est décroissante sur II, c’est dire que, pour tous réels aa et bb appartenant à II, si a<ba, alors f(a)f(b)f(a)\geq f(b).
  • Dire que ff est strictement décroissante sur II, c’est dire que, pour tous réels aa et bb appartenant à II, si a<ba, alors f(a)f(b)f(a) > f(b).
  • On dit qu’une fonction croissante inverse l’ordre.

Remarquons qu'une fonction constante peut être considérée comme à la fois croissante et décroissante.

Tableau de variations, minimum, maximum

Une fois que l’on connaît les variations d’une fonction, on peut les « résumer » dans un tableau de variations.

  • La première ligne contient les bornes des intervalles sur lesquels ff est croissante ou décroissante : il s’agit des valeurs de xx (antécédents), que l’on peut lire sur l’axe des abscisses.
  • La deuxième ligne contient les flèches qui symbolisent les variations de ff et les images des valeurs de xx notées dans la première ligne.
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À retenir

Lorsque la fonction est croissante, la flèche monte, et lorsque la fonction est décroissante, la flèche descend.

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Exemple

  • La fonction est définie sur [4 ;5][-4\ ;\, 5].
  • La fonction est croissante sur [4 ;1][-4\ ;\, -1] et sur [2 ;5][2\ ;\, 5].
  • La fonction est décroissante sur [1 ;2][-1\ ;\, 2].

  • Le maximum de la fonction est 44 et il est atteint pour x=1x=-1.
  • Le minimum de la fonction est 11 et il est atteint pour x=2x=2.

En regardant cet exemple, on voit bien la correspondance entre le graphique et le tableau.

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À retenir

Si l’on demande dans un exercice de donner les éventuels extrema, il s’agit de donner le minimum et le maximum (s’ils existent bien sûr).

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Astuce

Il est possible de calculer ces extrema à l’aide d'une calculatrice (CASIO, TI).

Conclusion :

Ce cours a permis d’aborder la notion d’intervalles sur R\mathbb{R}.

  • L’intersection de deux intervalles II et JJ se note IJI\cap J.
  • La réunion de deux intervalles II et JJ se note IJI\cup J.

Cette fiche a aussi fait un rappel sur les fonctions, qui avaient déjà été abordées au collège. Une fonction ff consiste à associer à chaque réel xx un réel yy et un seul. On note : f:xyf:\,x\mapsto y ou f:xf(x)=yf:\,x\mapsto f(x)=y.

On peut présenter de trois façons différentes une fonction :

  • sous forme d’une formule explicite,
  • sous forme d’un tableau de valeurs,
  • ou en traçant sa représentation graphique.
  • Les représentations graphiques offrent, en outre, l’avantage de permettre de résoudre graphiquement des équations et inéquations.

Enfin, nous avons découvert le sens de variation d’une fonction et son tableau, ainsi que la notion d’extrema : ce sont le minimum et le maximum de cette fonction, si ils existent.