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Marianne

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Généralités sur les fonctions

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Notion de fonction

Ensemble R\mathbb R et intervalles de R\mathbb R

Définition : l’ensemble R\mathbb R des nombres réels

L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé ensemble des nombres réels. On le note R\mathbb R.

On peut créer une infinité d’intervalles à l’intérieur de cet ensemble R\mathbb R ; des intervalles ouverts, des intervalles fermés et des intervalles semi-ouverts.

Définitions : l’intersection et la réunion de deux intervalles

L’intersection de deux intervalles II et JJ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à II et à JJ ; on le note IJI \cap J.

La réunion de deux intervalles II et JJ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à II ou à JJ ; on le note IJI \cup J.

Notion de fonction, images et antécédents

Définition: une fonction

On définit une fonction ff sur un intervalle DD lorsque l’on associe à chaque réel xx de l’intervalle DD un réel yy et un seul. On note :

f:xyf: x \rightarrow y ou f(x)=yf(x)=y

DD est appelé l’ensemble de définition de ff.
Le nombre yy est appelé image de xx par la fonction ff.
Le nombre xx est appelé antécédent de yy par la fonction ff.

Représentation graphique d’une fonction

Courbe représentative d’une fonction

  • Dans un repère, la courbe représentative CC d’une fonction ff est l’ensemble des points de coordonnées (x;f(x))(x ;f(x)), où xx appartient à l’ensemble de définition DD.
  • L’axe horizontal s’appelle axe des abscisses et c’est sur cet axe qu’on lit les antécédents. L’axe vertical, quant à lui, s’appelle axe des ordonnées et c’est sur cet axe qu’on lit les images.

Résolution graphique d’équations et inéquations

Une courbe représentative permet de résoudre graphiquement des équations et inéquations :

  • Les solutions de l’équation f(x)=kf(x)=k sont les abscisses des points d’intersection de la droite horizontale y=ky=k avec la courbe représentative de ff.
  • Les solutions de l’équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de f avec la courbe représentative de gg.
  • Les solutions de l’inéquation f(x)<kf(x) < k sont les abscisses des points de la courbe CfC_f d’ordonnée strictement inférieure à kk.
  • Les solutions de l’inéquation f(x)<g(x)f(x) < g(x) sont les abscisses des points de la courbe CfCf situés en dessous de la courbe CgCg.

Variations et extrema

Sens de variation

Définition :

Soit ff une fonction et II un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de cette fonction.

  • Dire que ff est strictement croissante sur II signifie que pour tous nombres uu et vv de II, si u<vu < v, alors f(u)<f(v)f(u) < f(v). On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre.
  • Dire que ff est strictement décroissante sur II signifie que pour tous nombres uu et vv de II, si u<vu < v, alors f(u)>f(v)f(u) > f(v). On dit qu’une fonction décroissante inverse l’ordre.

Tableau de variation, minimum, maximum

Pour synthétiser les données sur les variations et sur les extrema d’une fonction, on construit un tableau de variation.

  • Lorsque la fonction est croissante, dans le tableau la flèche monte.
  • Lorsque la fonction est décroissante, dans le tableau la flèche descend.
  • Les extrema d’une fonction sont le minimum et le maximum de cette fonction.
  • On peut les trouver grâce à la calculatrice (CASIO, TI).