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Généralités sur les fonctions

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Notion de fonction

Ensemble $\mathbb R$ et intervalles de $\mathbb R$

Définition : l’ensemble $\mathbb R$ des nombres réels

L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé ensemble des nombres réels. On le note $\mathbb R$.

On peut créer une infinité d’intervalles à l’intérieur de cet ensemble $\mathbb R$ ; des intervalles ouverts, des intervalles fermés et des intervalles semi-ouverts.

Définitions : l’intersection et la réunion de deux intervalles

L’intersection de deux intervalles $I$ et $J$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $I$ et à $J$ ; on le note $I \cap J$.

La réunion de deux intervalles $I$ et $J$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $I$ ou à $J$ ; on le note $I \cup J$.

Notion de fonction, images et antécédents

Définition: une fonction

On définit une fonction $f$ sur un intervalle $D$ lorsque l’on associe à chaque réel $x$ de l’intervalle $D$ un réel $y$ et un seul. On note :

$f: x \rightarrow y$ ou $f(x)=y$

$D$ est appelé l’ensemble de définition de $f$.
Le nombre $y$ est appelé image de $x$ par la fonction $f$.
Le nombre $x$ est appelé antécédent de $y$ par la fonction $f$.

Représentation graphique d’une fonction

Courbe représentative d’une fonction

  • Dans un repère, la courbe représentative $C$ d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x ;f(x))$, où $x$ appartient à l’ensemble de définition $D$.
  • L’axe horizontal s’appelle axe des abscisses et c’est sur cet axe qu’on lit les antécédents. L’axe vertical, quant à lui, s’appelle axe des ordonnées et c’est sur cet axe qu’on lit les images.

Résolution graphique d’équations et inéquations

Une courbe représentative permet de résoudre graphiquement des équations et inéquations :

  • Les solutions de l’équation $f(x)=k$ sont les abscisses des points d’intersection de la droite horizontale $y=k$ avec la courbe représentative de $f$.
  • Les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de f avec la courbe représentative de $g$.
  • Les solutions de l’inéquation $f(x) < k$ sont les abscisses des points de la courbe $C_f$ d’ordonnée strictement inférieure à $k$.
  • Les solutions de l’inéquation $f(x) < g(x)$ sont les abscisses des points de la courbe $C_f$ situés en dessous de la courbe $C_g$.

Variations et extrema

Sens de variation

Définition :

Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de cette fonction.

  • Dire que $f$ est strictement croissante sur $I$ signifie que pour tous nombres $u$ et $v$ de $I$, si $u < v$, alors $f(u) < f(v)$. On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre.
  • Dire que $f$ est strictement décroissante sur $I$ signifie que pour tous nombres $u$ et $v$ de $I$, si $u < v$, alors $f(u) > f(v)$. On dit qu’une fonction décroissante inverse l’ordre.

Tableau de variation, minimum, maximum

Pour synthétiser les données sur les variations et sur les extrema d’une fonction, on construit un tableau de variation.

  • Lorsque la fonction est croissante, dans le tableau la flèche monte.
  • Lorsque la fonction est décroissante, dans le tableau la flèche descend.
  • Les extrema d’une fonction sont le minimum et le maximum de cette fonction.
  • On peut les trouver grâce à la calculatrice (CASIO, TI).