L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé ensemble des nombres réels. On le note R.
On peut créer une infinité d’intervalles à l’intérieur de cet ensemble R ; des intervalles ouverts, des intervalles fermés et des intervalles semi-ouverts.
Intervalle :
Borné : un intervalle est borné lorsque les valeurs qui l’encadrent sont des réels : [a;b].
Non borné : un intervalle est non borné lorsqu’il contient le signe +∞ ou −∞ à la place d'un réel : ]−∞;a] ou [b;+∞[.
Fermé : un intervalle est fermé lorsque les valeurs qui l’encadrent sont incluses dans l’intervalle. Il se présente avec les crochets vers l’intérieur.
Ouvert : un intervalle est ouvert lorsque les valeurs qui l’encadrent ne sont pas incluses dans l’intervalle. Il se présente avec les crochets vers l’extérieur.
L’intersection de deux intervalles I et J est l’ensemble des éléments qui appartiennent à I et à J, on le note : I∩J.
La réunion de deux intervalles I et J est l’ensemble des éléments qui appartiennent à I ou à J , on le note : I∪J.
Une fonction :
On définit une fonction f sur un intervalle D lorsque l’on associe à chaque réel x de l’intervalle D un réel y et un seul.
On note : f:x→y ou f(x)=y.
D est appelé l’ensemble de définition de f.
Le nombre y est appelé l’image de x par la fonction f.
Le nombre x est appelé un antécédent de y par la fonction f.
Représentation graphique d’une fonction
Courbe représentative d’une fonction
Dans un repère, la courbe représentative C d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x;f(x)), où x appartient à l’ensemble de définition D.
L’axe horizontal s’appelle axe des abscisses et c’est sur cet axe qu’on lit les antécédents. L’axe vertical, quant à lui, s’appelle axe des ordonnées et c’est sur cet axe qu’on lit les images.
Résolution graphique d’équations et inéquations : une courbe représentative permet de résoudre graphiquement des équations et inéquations :
Les solutions de l’équation f(x)=k, avec k∈R, sont les abscisses des points d’intersection de la droite horizontale y=k avec la courbe représentative de f.
Les solutions de l’équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de f avec la courbe représentative de g.
Les solutions de l’inéquation f(x)<k, avec k∈R, sont les abscisses des points de la courbe Cf d’ordonnée strictement inférieure à k.
Les solutions de l’inéquation f(x)<g(x) sont les abscisses des points de la courbe Cf situés en dessous de la courbe Cg.
Variations et extrema
Sens de variation d'une fonction : soit f une fonction et I un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de cette fonction.
Dire que f est strictement croissante sur I signifie que pour tous nombres u et v de I, si u<v, alors f(u)<f(v). On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre.
Dire que f est strictement décroissante sur I signifie que pour tous nombres u et v de I, si u<v, alors f(u)>f(v). On dit qu’une fonction décroissante inverse l’ordre.
Tableau de variation, minimum et maximum d’une fonction :
Pour synthétiser les données sur les variations et sur les extrema d’une fonction, on construit un tableau de variation.
Lorsque la fonction est croissante, dans le tableau la flèche monte.
Lorsque la fonction est décroissante, dans le tableau la flèche descend.
Les extrema d’une fonction sont le minimum et le maximum de cette fonction.
On peut les trouver grâce à la calculatrice (CASIO, TI).
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