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Généralités sur les fonctions

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Notion de fonction

  • L’ensemble R\mathbb R des nombres réels :
  • L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé ensemble des nombres réels. On le note R\mathbb R.
  • On peut créer une infinité d’intervalles à l’intérieur de cet ensemble R\mathbb R ; des intervalles ouverts, des intervalles fermés et des intervalles semi-ouverts.
  • Intervalle :
  • Borné : un intervalle est borné lorsque les valeurs qui l’encadrent sont des réels : [a ;b][a\ ; b].
  • Non borné : un intervalle est non borné lorsqu’il contient le signe ++ \infty ou - \infty à la place d'un réel : ] ; a]]-\infty\ ;\ a] ou [b ; +[[b\ ;\ +\infty[.
  • Fermé : un intervalle est fermé lorsque les valeurs qui l’encadrent sont incluses dans l’intervalle. Il se présente avec les crochets vers l’intérieur.
  • Ouvert : un intervalle est ouvert lorsque les valeurs qui l’encadrent ne sont pas incluses dans l’intervalle. Il se présente avec les crochets vers l’extérieur.
  • L’intersection de deux intervalles II et JJ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à II et à JJ, on le note : IJI \cap J.
  • La réunion de deux intervalles II et JJ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à II ou à JJ , on le note : IJI \cup J.
  • Une fonction :
  • On définit une fonction ff sur un intervalle DD lorsque l’on associe à chaque réel xx de l’intervalle DD un réel yy et un seul. On note : f:xyf: x \rightarrow y ou f(x)=yf(x)=y.
  • DD est appelé l’ensemble de définition de ff.
  • Le nombre yy est appelé l’image de xx par la fonction ff.
  • Le nombre xx est appelé un antécédent de yy par la fonction ff.

Représentation graphique d’une fonction

  • Courbe représentative d’une fonction
  • Dans un repère, la courbe représentative C\mathscr C d’une fonction ff est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x))(x\ ;\ f(x)), où xx appartient à l’ensemble de définition DD.
  • L’axe horizontal s’appelle axe des abscisses et c’est sur cet axe qu’on lit les antécédents. L’axe vertical, quant à lui, s’appelle axe des ordonnées et c’est sur cet axe qu’on lit les images.
  • Résolution graphique d’équations et inéquations : une courbe représentative permet de résoudre graphiquement des équations et inéquations :
  • Les solutions de l’équation f(x)=kf(x)=k, avec kRk \in \mathbb R, sont les abscisses des points d’intersection de la droite horizontale y=ky=k avec la courbe représentative de ff.
  • Les solutions de l’équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de ff avec la courbe représentative de gg.
  • Les solutions de l’inéquation f(x)<kf(x) < k, avec kRk \in \mathbb R, sont les abscisses des points de la courbe Cf\mathscr C_f d’ordonnée strictement inférieure à kk.
  • Les solutions de l’inéquation f(x)<g(x)f(x) < g(x) sont les abscisses des points de la courbe Cf\mathscr Cf situés en dessous de la courbe Cg\mathscr Cg.

Variations et extrema

  • Sens de variation d'une fonction : soit ff une fonction et II un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de cette fonction.
  • Dire que ff est strictement croissante sur II signifie que pour tous nombres uu et vv de II, si u<vu < v, alors f(u)<f(v)f(u) < f(v). On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre.
  • Dire que ff est strictement décroissante sur II signifie que pour tous nombres uu et vv de II, si u<vu < v, alors f(u)>f(v)f(u) > f(v). On dit qu’une fonction décroissante inverse l’ordre.
  • Tableau de variation, minimum et maximum d’une fonction :
  • Pour synthétiser les données sur les variations et sur les extrema d’une fonction, on construit un tableau de variation.
  • Lorsque la fonction est croissante, dans le tableau la flèche monte.
  • Lorsque la fonction est décroissante, dans le tableau la flèche descend.
  • Les extrema d’une fonction sont le minimum et le maximum de cette fonction.
  • On peut les trouver grâce à la calculatrice (CASIO, TI).