Généralités sur les fonctions

Notion de fonction

• L’ensemble $\mathbb R$ des nombres réels :
• L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé ensemble des nombres réels. On le note $\mathbb R$.
• On peut créer une infinité d’intervalles à l’intérieur de cet ensemble $\mathbb R$ ; des intervalles ouverts, des intervalles fermés et des intervalles semi-ouverts.
• Intervalle :
• Borné : un intervalle est borné lorsque les valeurs qui l’encadrent sont des réels : $[a\ ; b]$.
• Non borné : un intervalle est non borné lorsqu’il contient le signe $+ \infty$ ou $- \infty$ à la place d'un réel : $]-\infty\ ;\ a]$ ou $[b\ ;\ +\infty[$.
• Fermé : un intervalle est fermé lorsque les valeurs qui l’encadrent sont incluses dans l’intervalle. Il se présente avec les crochets vers l’intérieur.
• Ouvert : un intervalle est ouvert lorsque les valeurs qui l’encadrent ne sont pas incluses dans l’intervalle. Il se présente avec les crochets vers l’extérieur.
• L’intersection et la réunion de deux intervalles :
• L’intersection de deux intervalles $I$ et $J$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $I$ et à $J$, on le note : $I \cap J$.
• La réunion de deux intervalles $I$ et $J$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $I$ ou à $J$ , on le note : $I \cup J$.
• Une fonction :
• On définit une fonction $f$ sur un intervalle $D$ lorsque l’on associe à chaque réel $x$ de l’intervalle $D$ un réel $y$ et un seul. On note : $f: x \rightarrow y$ ou $f(x)=y$.
• $D$ est appelé l’ensemble de définition de $f$.
• Le nombre $y$ est appelé l’image de $x$ par la fonction $f$.
• Le nombre $x$ est appelé un antécédent de $y$ par la fonction $f$.

Représentation graphique d’une fonction

• Courbe représentative d’une fonction
• Dans un repère, la courbe représentative $\mathscr C$ d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x\ ;\ f(x))$, où $x$ appartient à l’ensemble de définition $D$.
• L’axe horizontal s’appelle axe des abscisses et c’est sur cet axe qu’on lit les antécédents. L’axe vertical, quant à lui, s’appelle axe des ordonnées et c’est sur cet axe qu’on lit les images.
• Résolution graphique d’équations et inéquations : une courbe représentative permet de résoudre graphiquement des équations et inéquations :
• Les solutions de l’équation $f(x)=k$, avec $k \in \mathbb R$, sont les abscisses des points d’intersection de la droite horizontale $y=k$ avec la courbe représentative de $f$.
• Les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de $f$ avec la courbe représentative de $g$.
• Les solutions de l’inéquation $f(x) < k$, avec $k \in \mathbb R$, sont les abscisses des points de la courbe $\mathscr C_f$ d’ordonnée strictement inférieure à $k$.
• Les solutions de l’inéquation $f(x) < g(x)$ sont les abscisses des points de la courbe $\mathscr C_f$ situés en dessous de la courbe $\mathscr C_g$.

Variations et extrema

• Sens de variation d'une fonction : soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de cette fonction.
• Dire que $f$ est strictement croissante sur $I$ signifie que pour tous nombres $u$ et $v$ de $I$, si $u < v$, alors $f(u) < f(v)$. On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre.
• Dire que $f$ est strictement décroissante sur $I$ signifie que pour tous nombres $u$ et $v$ de $I$, si $u < v$, alors $f(u) > f(v)$. On dit qu’une fonction décroissante inverse l’ordre.
• Tableau de variation, minimum et maximum d’une fonction :
• Pour synthétiser les données sur les variations et sur les extrema d’une fonction, on construit un tableau de variation.
• Lorsque la fonction est croissante, dans le tableau la flèche monte.
• Lorsque la fonction est décroissante, dans le tableau la flèche descend.
• Les extrema d’une fonction sont le minimum et le maximum de cette fonction.
• On peut les trouver grâce à la calculatrice (CASIO, TI).