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Marianne

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Géométrie repérée

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Introduction :

En première, la géométrie plane est étudiée en utilisant les vecteurs.

Nous commencerons par rappeler la notion de colinéarité de deux vecteurs.

Nous verrons ensuite les vecteurs directeurs d’une droite et les vecteurs normaux à une droite, puis les équations cartésiennes de droites.

Enfin, en application du produit scalaire, nous verrons les équations de cercles, puis celles de paraboles pour étudier leur axe de symétrie et leur sommet.

Colinéarité de deux vecteurs

Définition

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Définition

Colinéarité de deux vecteurs

On considère u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls.

Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si l’un est le produit de l’autre par un réel, c’est-à-dire s’il existe un réel kk tel que v=ku\vec v=k\vec u.

Le réel kk est le coefficient de colinéarité. Ainsi, deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction.

bannière à retenir

À retenir

Par convention, 0\vec 0 (le vecteur nul) est colinéaire à tout vecteur.

Condition de colinéarité

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Propriété

Condition de colinéarité

Soit u(xy)\vec u\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} et v(xy)\vec v\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix} deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé du plan.

Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire uniquement si xyyx=0xy'-yx'=0.

Applications de la colinéarité

Lien entre colinéarité et parallélisme Lien entre colinéarité et parallélisme

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Propriété

Deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Lien entre colinéarité et alignement Lien entre colinéarité et alignement

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Propriété

Trois points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC{\overrightarrow{AC}} sont colinéaires.

Vecteur directeur d’une droite et vecteur normal à une droite

Définitions

Vecteur directeur d’une droite Vecteur directeur d’une droite

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Définition

Vecteur directeur d’une droite

Soit D\mathscr D une droite et u\vec u un vecteur non nul du plan.

On dit que u\vec u est un vecteur directeur de D\mathscr D s’il existe deux points AA et BB de D\mathscr D tels que  u=AB\vec u={\overrightarrow{AB}}.

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Propriété

Soit u\vec u un vecteur directeur d’une droite D\mathscr D.

Le vecteur v\vec v est un vecteur directeur de la droite D\mathscr D si et seulement si le vecteur v\vec v est non nul et colinéaire au vecteur u\vec u.

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Définition

Vecteur normal à une droite

Soit n\vec n un vecteur non nul et D\mathscr D une droite.

On dit que n\vec n est un vecteur normal à D\mathscr D si n\vec n est orthogonal à un vecteur directeur de D\mathscr D (AM\overrightarrow{AM}, par exemple).

Image modifiée  https://images.schoolmouv.fr/maths-1re-cours09-img13.png

Parallélisme et vecteurs directeurs

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Propriété

Propriété 

Soit D\mathscr D et D\mathscr D' deux droites de vecteurs directeurs respectivement u\vec u et v\vec v.
D\mathscr D et D\mathscr D' sont parallèles si et seulement si u\vec u et v\vec v sont colinéaires.

Autrement dit, deux droites du plan sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs de l’une sont colinéaires aux vecteurs directeurs de l’autre.

Caractérisation de l’appartenance d’un point à une droite

Appartenance d’un point à une droite Appartenance d’un point à une droite

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Propriété

Soit AA un point du plan, u\vec u un vecteur non nul et D\mathscr D la droite passant par AA de vecteur directeur u\vec u.

Un point MM appartient à la droite D\mathscr D si et seulement si les vecteurs u\vec u et AM\overrightarrow{AM} sont colinéaires.

Dans les parties suivantes, le plan est muni d’un repère orthonormé (O ;ı ;ȷ)(O\ ;\,\vec\imath\ ;\,\vec\jmath\,).

Équations de droites

Équations cartésiennes de droites

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Propriété

Les coordonnées (x ;y)(x\ ;\,y) de tous les points MM d’une droite D\mathscr D vérifient une équation de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0, où aa, bb et cc sont des réels, avec (a ;b)(0 ;0)(a\ ;\,b)\neq(0\ ;\,0).
Une telle équation s’appelle une équation cartésienne de D\mathscr D.

  • Dans ce cas, le vecteur u(ba)\vec u \begin{pmatrix} -b \ a \end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite D\mathscr D et le vecteur n(ab)\vec n \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} est un vecteur normal à cette droite.
  • Réciproquement, pour aa et bb deux réels, (a ;b)(0 ;0)(a\ ;\,b)\neq(0\ ;\,0), si une droite D\mathscr D a pour vecteur directeur u(ba)\vec u \begin{pmatrix} -b \ a \end{pmatrix} ou pour vecteur normal n(ab)\vec n \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}, alors elle admet une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0, où cc est un nombre réel à déterminer.

Exemples

  • Considérons une droite D\mathscr D passant par le point A(4 ;7)A\,(-4\ ;\,7) et qui admet pour vecteur normal le vecteur n(23)\vec n \begin{pmatrix} 2 \ 3 \end{pmatrix}.
  • On peut en déterminer une équation cartésienne.

n(23)\vec n \begin{pmatrix} 2 \ 3 \end{pmatrix}, alors {a=2b=3\begin{cases} a=2 \ b=3\end{cases}.

Donc, ax+by+c=0ax+by+c=0 devient  2x+3y+c=02x+3y+c=0, où cc est un nombre réel à déterminer.

  • On sait que A(4 ;7)DA(-4\ ;\,7)\in\mathscr D, ce qui permet de calculer cc.

2×(4)+3×7+c=08+21+c=013+c=0c=13\begin{aligned} 2\times(-4)+3\times7+c=0&\Leftrightarrow-8+21+c=0 \ &\Leftrightarrow13+c=0 \ &\Leftrightarrow c=-13 \end{aligned}

  • Une équation cartésienne de D\mathscr D est donc  2x+3y13=02x+3y-13=0.
  • On souhaite déterminer une équation de la droite D\mathscr D qui admet pour vecteur normal n(13)\vec n\begin{pmatrix} 1\3 \end{pmatrix} et passe par le point A(2 ;1)A\,(2\ ; -1).
  • On note M(x ;y)M\,(x\ ;\,y) un point de la droite D\mathscr D.

Le vecteur AM\overrightarrow{AM} est alors un vecteur directeur de D\mathscr D.

AM(xMxAyMyA)=AM(x2y+1)\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} xM-xA \ yM-yA \end{pmatrix} =\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-2 \ y+1 \end{pmatrix}

  • Comme n\vec n est un vecteur normal à D\mathscr D, n\vec n est orthogonal à un vecteur directeur de D\mathscr D.

AMn=0(x2)×1+(y+1)×3=0x2+3y+3=0x+3y+1=0\begin{aligned} \overrightarrow{AM} \cdot \vec n=0&\Leftrightarrow(x-2)×1+(y+1)×3=0 \ &\Leftrightarrow x-2+3y+3=0 \ &\Leftrightarrow x+3y+1=0 \end{aligned}

  • Ainsi, x+3y+1=0x+3y+1=0 est une équation cartésienne de D\mathscr D.
  • On considère le point A(1 ;2)A\,(1\ ;\,-2) et la droite D\mathscr D d’équation cartésienne x+2y7=0x+2y-7=0.

On souhaite déterminer les coordonnées du point HH, projeté orthogonal du point AA sur la droite D\mathscr D.

  • Le vecteur n(12)\vec{n} \begin{pmatrix}1 \ 2 \end{pmatrix} est un vecteur normal à la droite D\mathscr D, donc un vecteur directeur de la droite D\mathscr D' perpendiculaire à la droite D\mathscr D passant par le point AA.

La droite D\mathscr D' admet donc une équation cartésienne de la forme  2xy+c=02x-y+c=0 (cc un nombre réel).

  • ADA\in\mathscr D', donc ses coordonnées vérifient l’équation cartésienne de D\mathscr D'

2×1(2)+c=4+c=02\times 1 - (-2) + c = 4 + c = 0, donc c=4c = -4.

La droite D\mathscr D' admet donc pour équation cartésienne  2xy4=02x -y - 4 = 0.

  • Par définition, H(x ;y)H\,(x\ ;\,y) est l’intersection des droites D\mathscr D et D\mathscr D', donc ses coordonnées sont les solutions du système de 2 équations à 2 inconnues suivant 

{x+2y7=02xy4=0\begin{cases} x+2y-7&=&0 \ 2x-y-4&=&0 \end{cases}

Résolvons-le 

{x+2y7=02xy4=0{x=2y+72xy4=0{x=2y+72(2y+7)y4=0{x=2y+74y+14y4=0{x=2y+75y=10{x=2y+7y=105=2{x=2×2+7y=2{x=3y=2\begin{aligned} \begin{cases} x+2y-7&=&0 \ 2x-y-4&=&0 \end{cases} &\Leftrightarrow\begin{cases} x=-2y+7 \ 2x-y-4=0 \end{cases} \ &\Leftrightarrow\begin{cases} x=-2y+7 \ 2(-2y+7)-y-4=0 \end{cases} \ &\Leftrightarrow\begin{cases} x=-2y+7 \ -4y+14-y-4=0 \end{cases} \ &\Leftrightarrow\begin{cases} x=-2y+7 \ -5y=-10 \end{cases} \ &\Leftrightarrow\begin{cases} x=-2y+7 \ y=\frac{-10}{-5}=2 \end{cases} \ &\Leftrightarrow\begin{cases} x=-2\times2+7 \ y=2 \end{cases} \ &\Leftrightarrow\begin{cases} x=3 \ y=2 \end{cases} \end{aligned}

  • Le point HH, projeté orthogonal du point AA sur la droite D\mathscr D, a pour coordonnées H(3 ;2)H\,(3\ ;\,2).

Équation d’un cercle

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Définition

Équation de cercle

Soit C\mathscr C un cercle de centre Ω(xΩ ;yΩ)\Omega\,(x\Omega\ ;\,y\Omega) et de rayon RR.

Une équation cartésienne du cercle C\mathscr C est 

(xxΩ)2+(yyΩ)2=R2(x-x\Omega)^2+(y-y\Omega)^2=R^2

Réciproquement, (xxΩ)2+(yyΩ)2=R2(x-x\Omega)^2+(y-y\Omega)^2=R^2 est l’équation d’un cercle de centre Ω (xΩ ;yΩ)\Omega\ (x\Omega\ ;\,y\Omega) et de rayon RR.

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Astuce

Le caractère grec Ω\Omega se lit oméga.

Comme nous l’avons vu dans la leçon sur le produit scalaire, il est possible de déterminer une équation cartésienne d’un cercle de diamètre [AB][AB] grâce au produit scalaire.

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Propriété

Soit AA et BB deux points distincts.

L’ensemble des points MM tels que MAMB=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB][AB].

Exemples

  • Soit le cercle C\mathscr C de diamètre [AB][AB] avec A(1 ;1)A\,(1\ ;\,1) et B(5 ;2)B\,(5\ ;\,-2).

On souhaite déterminer une équation cartésienne de ce cercle.

Méthode 1

Pour trouver une équation cartésienne de ce cercle, on peut utiliser la propriété précédente 

M(x ;y)M\,(x\ ;\,y) appartient au cercle C\mathscr C si et seulement si MAMB=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0.

Les coordonnées du vecteur MA\overrightarrow{MA} sont 

MA(xAxMyAyM)=MA(1x1y)\overrightarrow{MA} \begin{pmatrix} xA-xM \ yA-yM \end{pmatrix}=\overrightarrow{MA} \begin{pmatrix}1-x \ 1-y \end{pmatrix}

Les coordonnées du vecteur MB\overrightarrow{MB} sont 

MB(xBxMyByM)=MB(5x2y)\overrightarrow{MB} \begin{pmatrix} xB-xM \ yB-yM \end{pmatrix} =\overrightarrow{MB} \begin{pmatrix}5-x \ -2-y \end{pmatrix}

MAMB=0(1x)×(5x)+(1y)×(2y)=05x5x+x22y+2y+y2=0x26x+y2+y+3=0(x26x+9)9+(y2+y+14)14+3=0(x3)29+(y+12)214+3=0(x3)2+(y+12)2=254\begin{aligned} \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0&\Leftrightarrow(1-x)\times(5-x)+(1-y)\times(-2-y)=0 \ &\Leftrightarrow 5-x-5x+x^2-2-y+2y+y^2=0 \ &\Leftrightarrow x^2-6x+y^2+y+3=0 \ &\Leftrightarrow (x^2-6x+9)-9+\Big(y^2+y+\dfrac{1}{4}\Big)-\dfrac{1}{4}+3=0 \ &\Leftrightarrow (x-3)^2-9+\Big(y+\dfrac{1}{2}\Big)^2-\dfrac{1}{4}+3=0 \ &\Leftrightarrow(x-3)^2+\Big(y+\dfrac{1}{2}\Big)^2=\dfrac{25}{4} \end{aligned}

Méthode 2

Le cercle C\mathscr C de diamètre [AB][AB], avec A(1 ;1)A\,(1\ ;\,1) et B(5 ;2)B\,(5\ ;\,-2), est aussi le cercle de centre I=mil[AB](1+52 ;122)I=\text{mil}\,[AB](\frac{1+5}{2}\ ;\,\frac{1-2}{2}), c’est-à-dire  I(3 ;12)I\,(3\ ;\,-\frac{1}{2}).

Il a pour rayon IAIA tel que 

IA2=(13)2+(1(12))2=(2)2+(1+12)2=4+(32)2=4+94=254=(52)2\begin{aligned} IA^2&=(1-3)^2+\bigg(1-\Big(-\frac{1}{2}\Big)\bigg)^2 \ &= {(-2)}^2 + \Big(1+\frac{1}{2}\Big)^2 \ &= 4 + \Big(\frac{3}{2}\Big)^2 \ &= 4 + \frac{9}{4} \ &= \frac{25}{4} \ &= \Big(\frac{5}{2}\Big)^2 \end{aligned}

D’après la propriété, une équation cartésienne du cercle C\mathscr C, de centre I(3 ;12)I\,(3\ ;\,-\frac{1}{2}) et de rayon IA=52IA=\frac{5}{2}, est 

(x3)2+(y(12))2=(52)2=254(x3)2+(y+12)2=254\begin{aligned} (x-3)^2+\bigg(y-\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)\bigg)^2&=\Big(\dfrac{5}{2}\Big)^2=\dfrac{25}{4} \ (x-3)^2+\Big(y+\dfrac{1}{2}\Big)^2&=\dfrac{25}{4} \end{aligned}

  • On désigne par C\mathscr C l’ensemble des points M(x ;y)M\,(x\ ;\,y) tels que 

x2+y2+2xy474=0x^2+y^2+2x-y -\dfrac{47}{4}=0

On souhaite démontrer que C\mathscr C est un cercle, puis donner son centre et son rayon.

M(x ;y)Cx2+y2+2xy474=0x2+2x+y2y474=0(x2+2x+1)1+(y2y+14)14474=0(x+1)21+(y12)214474=0(x+1)2+(y12)2=524=13ΩM2=13=132 avec Ω(1 ;12)\begin{aligned} M\,(x\ ;\,y)\in\mathscr C&\Leftrightarrow x^2+y^2+2x-y-\dfrac{47}{4}=0 \ &\Leftrightarrow x^2+2x+y^2-y-\dfrac{47}{4}=0 \ &\Leftrightarrow (x^2+2x+1)-1+\Big(y^2-y+\dfrac{1}{4}\Big)-\dfrac{1}{4}-\dfrac{47}{4}=0 \ &\Leftrightarrow (x+1)^2-1+\Big(y-\dfrac{1}{2}\Big)^2-\dfrac{1}{4}-\dfrac{47}{4}=0 \ &\Leftrightarrow (x+1)^2+\Big(y-\dfrac{1}{2}\Big)^2=\dfrac{52}{4}=13 \ &\Leftrightarrow \Omega M^2 = 13 = \sqrt{13}^2\ \text{avec}\ \Omega\,\Big(-1\ ;\,\dfrac{1}{2}\Big) \end{aligned}

  • C\mathscr C est donc le cercle de centre Ω(1 ;12)\Omega\,(-1\ ;\,\frac{1}{2}) et de rayon R=13R=\sqrt{13}.

Équation cartésienne d’une parabole

Une parabole est la représentation graphique d’une fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a0a\neq0, bb et cc trois nombres réels.
Une parabole a donc pour équation cartésienne y=ax2+bx+cy = ax^2+bx+c avec a0a\neq 0, bb et cc trois nombres réels.

  • Si a>0a>0, ff est strictement décroissante sur ] ;b2a]]-\infty\ ;\,-\frac{b}{2a}], puis strictement croissante sur [b2a ;+[[-\frac{b}{2a}\ ;\,+\infty[

ff admet un minimum β\beta, atteint en x=b2ax= -\dfrac{b}{2a}.

La courbe représentative de ff est une parabole de sommet SS de coordonnées (α=b2a ; β=f(b2a))\big(\alpha = -\frac{b}{2a} \ ;\ \beta = f(-\frac{b}{2a})\big) et avec les branches tournées vers le haut.

Elle admet la droite d’équation x=b2ax = -\dfrac{b}{2a} comme axe de symétrie.

 

  • Si a<0a<0, ff est strictement croissante sur ] ;b2a]]-\infty\ ;\,-\frac{b}{2a}], puis strictement décroissante sur [b2a ;+[[-\frac{b}{2a}\ ;\,+\infty[

ff admet un maximum β\beta, atteint en x=b2ax=-\dfrac{b}{2a}.

La courbe représentative de ff est une parabole de sommet SS de coordonnées (α=b2a ; β=f(b2a))\big(\alpha = -\frac{b}{2a}\ ;\ \beta = f(-\frac{b}{2a})\big) et avec les branches tournées vers le bas.

Elle admet la droite d’équation x=b2ax = -\dfrac{b}{2a} comme axe de symétrie.