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Introduction :
En première, la géométrie plane est étudiée en utilisant les vecteurs.
Nous commencerons par rappeler la notion de colinéarité de deux vecteurs.
Nous verrons ensuite les vecteurs directeurs d’une droite et les vecteurs normaux à une droite, puis les équations cartésiennes de droites.
Enfin, en application du produit scalaire, nous verrons les équations de cercles, puis celles de paraboles pour étudier leur axe de symétrie et leur sommet.
Colinéarité de deux vecteurs
Définition
Colinéarité de deux vecteurs
On considère et deux vecteurs non nuls.
Les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si l’un est le produit de l’autre par un réel, c’est-à-dire s’il existe un réel tel que .
Le réel est le coefficient de colinéarité. Ainsi, deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction.
Par convention, (le vecteur nul) est colinéaire à tout vecteur.
Condition de colinéarité
Condition de colinéarité
Soit et deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé du plan.
Les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire uniquement si .
Applications de la colinéarité
Lien entre colinéarité et parallélisme
Deux droites et sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
Lien entre colinéarité et alignement
Trois points , et sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
Vecteur directeur d’une droite et vecteur normal à une droite
Définitions
Vecteur directeur d’une droite
Soit une droite et un vecteur non nul du plan.
On dit que est un vecteur directeur de s’il existe deux points et de tels que .
Vecteur directeur d’une droite
Soit un vecteur directeur d’une droite .
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite si et seulement si le vecteur est non nul et colinéaire au vecteur .
Vecteur normal à une droite
Soit un vecteur non nul et une droite.
On dit que est un vecteur normal à si est orthogonal à un vecteur directeur de (, par exemple).
Vecteur normal à une droite
Parallélisme et vecteurs directeurs
Propriété
Soit et deux droites de vecteurs directeurs respectivement et .
et sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires.
Autrement dit, deux droites du plan sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs de l’une sont colinéaires aux vecteurs directeurs de l’autre.
Caractérisation de l’appartenance d’un point à une droite
Soit un point du plan, un vecteur non nul et la droite passant par de vecteur directeur .
Un point appartient à la droite si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
Appartenance d’un point à une droite
Équations de droites
Équations cartésiennes de droites
Les coordonnées de tous les points d’une droite vérifient une équation de la forme , où , et sont des réels, avec .
Une telle équation s’appelle une équation cartésienne de .
Exemples
, alors .
Donc, devient , où est un nombre réel à déterminer.
Le vecteur est alors un vecteur directeur de .
On souhaite déterminer les coordonnées du point , projeté orthogonal du point sur la droite .
La droite admet donc une équation cartésienne de la forme ( un nombre réel).
, donc .
La droite admet donc pour équation cartésienne .
Résolvons-le
Équation d’un cercle
Équation de cercle
Soit un cercle de centre et de rayon .
Une équation cartésienne du cercle est
Réciproquement, est l’équation d’un cercle de centre et de rayon .
Le caractère grec se lit oméga.
Comme nous l’avons vu dans la leçon sur le produit scalaire, il est possible de déterminer une équation cartésienne d’un cercle de diamètre grâce au produit scalaire.
Soit et deux points distincts.
L’ensemble des points tels que est le cercle de diamètre .
Exemples
On souhaite déterminer une équation cartésienne de ce cercle.
Méthode 1
Pour trouver une équation cartésienne de ce cercle, on peut utiliser la propriété précédente
appartient au cercle si et seulement si .
Les coordonnées du vecteur sont
Les coordonnées du vecteur sont
Méthode 2
Le cercle de diamètre , avec et , est aussi le cercle de centre , c’est-à-dire .
Il a pour rayon tel que
D’après la propriété, une équation cartésienne du cercle , de centre et de rayon , est
On souhaite démontrer que est un cercle, puis donner son centre et son rayon.
Équation cartésienne d’une parabole
Une parabole est la représentation graphique d’une fonction polynôme de degré définie sur par , avec , et trois nombres réels.
Une parabole a donc pour équation cartésienne avec , et trois nombres réels.
admet un minimum , atteint en .
La courbe représentative de est une parabole de sommet de coordonnées et avec les branches tournées vers le haut.
Elle admet la droite d’équation comme axe de symétrie.
admet un maximum , atteint en .
La courbe représentative de est une parabole de sommet de coordonnées et avec les branches tournées vers le bas.
Elle admet la droite d’équation comme axe de symétrie.