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L'énergie mécanique : énergies cinétique et potentielle
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Introduction :
Nous avons introduit précédemment les forces gravitationnelles et les forces électriques, qui s’exercent à distance.
Bien sûr, il existe d’autres forces qui peuvent avoir une action plus ou moins intense sur le mouvement. Pour les étudier, développons une nouvelle notion : le travail d’une force.
Nous allons pouvoir alors distinguer les forces en deux grandes catégories après avoir défini la notion d’énergie mécanique.
Travail d’une force et théorème de l’énergie cinétique
Nous allons ici définir une notion très importante, le travail d’une force, et introduire le théorème de l’énergie cinétique, très important pour l’étude du mouvement d’un corps.
Travail d’une force
Une force est une cause extérieure capable de :
Les notions abordées seront également applicables dans le cas des forces variables, mais nécessiteront, pour être appliquées, d’utiliser le calcul intégral, notion qui sera abordée en terminale.
Travail d’une force :
Le travail d’une force sur un objet le long d’un segment mesure l’énergie fournie (ou dissipée) par cette force à l’objet et quantifie la variation d’énergie cinétique de ce corps (et donc de sa vitesse).
Ce travail, noté , s’exprime à l’aide du produit scalaire :
Avec .
Le signe du travail dépend de la valeur de l’angle . En fonction de cet angle, le travail sera donc qualifié de différentes manières : moteur, nul ou résistant.
Le travail est alors dit moteur : la force contribue à amplifier le mouvement de l’objet et à augmenter sa vitesse.
Travail moteur
Prenons le cas d’un objet tombant en chute libre.
Si on néglige la force de frottements, cet objet n’est soumis qu’à la force de pesanteur dirigée du haut vers le bas. Cet objet, en chute libre, se déplace justement du haut vers le bas. La force de pesanteur étant dirigée dans le même sens que le mouvement, l’objet va tomber de plus en plus vite, son énergie cinétique, et donc sa vitesse, augmentant sous l’influence de la force de pesanteur.
Le travail est alors dit nul : la force n’a aucune influence sur la vitesse de l’objet.
Travail nul
Prenons le cas d’un pendule.
La masse est soumise à la force de pesanteur et à la tension du fil. La tension du fil étant dirigée le long du fil, depuis la masse jusqu’au point de pivot, cette force est toujours perpendiculaire au mouvement.
Le travail est alors qualifié de résistant : la force contribue à s’opposer au mouvement de l’objet et à diminuer sa vitesse.
Travail résistant
Prenons le cas d’une fusée décollant depuis la surface de la Terre.
Si on néglige la force de frottements, cet objet n’est soumis qu’à la force de pesanteur dirigée du haut vers le bas. Cette fusée se déplace du bas vers le haut et, pour ce faire, doit combattre la force de pesanteur dirigée dans l’autre sens. Si la fusée arrête ses moteurs, elle continuera sur sa lancée, mais sa vitesse décroîtra au fur et à mesure du temps, à cause de l’influence de la pesanteur.
Théorème de l’énergie cinétique
Une application importante du travail d’une force est la variation d’énergie cinétique.
Rappelons ici que l’énergie cinétique d’un objet de masse se déplaçant à la vitesse est une énergie liée au mouvement de cet objet et s’exprime ainsi :
Avec :
Théorème de l’énergie cinétique :
Soit un corps de masse constante, parcourant un segment et soumis à une ou plusieurs forces, la variation d’énergie cinétique est déterminée par le travail des forces s’appliquant sur cette masse :
Ce résultat très important ne peut être démontré avec les outils mathématiques d’un étudiant de première, car il fait appel à la notion d’intégrale qui sera au programme de terminale.
Imaginons un vaisseau spatial voyageant dans le vide, donc ne subissant aucun frottement.
Puissance d’une force
Nous l’avons vu plus haut, le travail d’une force sur un objet mesure l’énergie fournie par cette force à l’objet durant son mouvement de vers . Mais il ne tient pas compte de la durée de ce mouvement : il reste identique, que l’objet ait mis ou à parcourir le segment .
Puissance d’une force :
La puissance d’une force correspond à son travail par unité de temps.
Soit le travail, en joule (), fourni par une force sur un objet le long d’un segment .
Soit la durée de ce travail.
Alors, la puissance développée par est égale à :
Nous pouvons exprimer cette formule de la façon suivante, pour calculer le travail de si nous connaissons la puissance et la durée du travail :
Forces conservatives et non conservatives
Définissons maintenant ce qu’est une force conservative, ainsi que l’énergie potentielle qui y est liée. Nous aborderons ensuite un exemple de force non conservative : les forces de frottements.
Force conservative
Force conservative :
Une force est dite conservative si le travail produit par cette force depuis un point jusqu’à un point est indépendant du chemin parcouru. Une telle force dérive d’une énergie potentielle et le travail de cette force depuis jusqu’à s’exprime ainsi :
Les forces conservatives incluent notamment la force gravitationnelle et la force électrostatique.
Énergie potentielle
Il convient maintenant d’expliciter la notion d’énergie potentielle.
Énergie potentielle :
L’énergie potentielle est l’énergie que possède un objet en raison de sa position par rapport à d’autres objets (cas de l’énergie potentielle de pesanteur), des contraintes internes (cas de l’énergie potentielle élastique), de sa charge électrique (énergie potentielle électrostatique), etc.
Étudions cette notion avec un exemple concret.
Si nous posons un objet quelconque sur une trappe au cœur d’une table horizontale sans y toucher, nous n’observons aucun mouvement. L’objet ne bouge pas et n’a donc aucune énergie cinétique.
Néanmoins, si on ouvre la trappe, l’objet se met instantanément en mouvement et se dote d’une énergie cinétique.
Nous considérons donc que l’objet disposait d’une certaine forme d’énergie due à son interaction de gravitation avec la Terre, imperceptible de prime abord, qui ne demande qu’à s’exprimer en étant convertie en énergie cinétique.
L’énergie potentielle mise en œuvre ci-dessus est l’énergie potentielle de pesanteur.
Énergie potentielle de pesanteur :
L’énergie potentielle de pesanteur est l’énergie mise en œuvre lors d’une interaction gravitationnelle.
Si nous considérons un axe vertical dirigé vers le haut et une altitude de référence pour laquelle l’énergie potentielle de pesanteur est nulle, un objet de masse situé à une altitude est doté d’une énergie potentielle de pesanteur :
Avec l’intensité de pesanteur ( sur Terre, à l’altitude de la mer).
Force de frottements
La force de frottements, souvent négligée en première approche dans les problèmes, est un phénomène très important dans la vie de tous les jours. C’est elle, par exemple, qui impose de maintenir une poussée constante pour permettre une vitesse uniforme.
Force de frottements :
La force de frottements est une force non conservative dirigée dans le sens contraire de celui du mouvement et dont la norme varie avec la vitesse :
Avec un coefficient dépendant de la nature du milieu dans lequel se propage le corps et de sa géométrie.
Prenons le cas d’un palet de curling de se déplaçant à une vitesse de .
Énergie mécanique
Le théorème de l’énergie cinétique vu ci-dessus peut être généralisé à l’énergie mécanique.
Théorème de l’énergie mécanique
Énergie mécanique :
L’énergie mécanique d’un système est la somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles :
Un système soumis uniquement à des forces conservatives est caractérisé par une énergie mécanique constante, ce qui nous amène au théorème de l’énergie mécanique.
Théorème de l’énergie mécanique :
Soit un corps de masse constante parcourant un segment et soumis à une ou plusieurs forces , la variation d’énergie mécanique est déterminée par le travail des forces non conservatives s’appliquant sur cette masse :
Exemple de problème
Étudions par exemple un corps en chute libre tombant sans vitesse initiale d’une hauteur .
Considérons ainsi un surfeur de masse descendant du haut d’une rampe de hauteur , sur longueur sans frottements.
Le principe de conservation de l’énergie mécanique impose alors que la différence d’énergie potentielle de pesanteur, égale à , est opposée à la variation d’énergie cinétique du corps, , où est la vitesse acquise par l’objet à la fin de sa chute.
On considère alors que la surface de la rampe descendante n’est pas parfaitement lisse, et que le surfeur y est soumis à une force de frottements d’une intensité de . Cette force a la même direction que le mouvement, mais est de sens opposé.
Il s’agit alors de déterminer à quelle hauteur pourrait remonter le surfeur, en considérant que la rampe remontée est, elle, parfaitement lisse – on néglige donc, cette fois, les frottements.
Calculons le travail de la force de frottements :
Le surfeur aura alors, en bas de la rampe, l'énergie égale à son énergie potentielle de pesanteur initiale amputée de :
Le surfeur pourra alors remonter une rampe d’une hauteur maximale telle que son énergie potentielle de pesanteur finale sera égale à son énergie au bas de la rampe, soit .
Conclusion :
Nous avons dans ce chapitre vu plusieurs notions très importantes.
Nous avons d’abord défini le travail d’une force sur un trajet et vu ses conséquences sur l’énergie cinétique d’un corps en mouvement en différenciant les trois types de travail.
Nous avons de plus défini l’énergie potentielle de pesanteur et l’énergie mécanique, et vu que les forces peuvent se différencier en deux types : conservatives ou non conservatives.
Nous avons enfin généralisé les conséquences du travail d’une force à l’énergie mécanique.
Les théorèmes associés, théorème de l’énergie cinétique et théorème de l’énergie mécanique, sont très importants à connaître afin de réaliser une étude énergétique du mouvement.