Fiche de révision : L'énergie mécanique : énergies cinétique et potentielle

L'énergie mécanique : énergies cinétique et potentielle

Travail d’une force et théorème de l’énergie cinétique

Une force est une cause extérieure capable de :
modifier l’état de repos d’un corps (mettre en mouvement un corps préalablement au repos) ;
modifier l’état de mouvement d’un corps (modifier donc soit la trajectoire, soit la vitesse d’un corps, soit les deux à la fois) ;
déformer un corps (effet statique).
On étudiera ici des forces constantes.
Le travail d’une force $\vec F$ sur un objet le long d’un segment $[AB]$ mesure l’énergie fournie par cette force à l’objet et quantifie la variation d’énergie cinétique de ce corps (et donc de sa vitesse).
Ce travail, noté $W_{AB}(\vec F)$, s’exprime à l’aide du produit scalaire :

$W_{AB}(\vec F)=\vec F \cdot \overrightarrow{AB} =F\times AB \times \cos \alpha$, avec $\alpha=(\vec F,\ \overrightarrow{AB})$.

Cette grandeur est analogue à une énergie et s’exprime en joule.
Si $0\degree\leq\alpha<90\degree$, alors : $ W_{AB}(\vec F)>0$. Le travail est alors dit moteur.
Si $\alpha=90\degree$, alors : $W_{AB}(\vec F)=0$. Le travail est alors dit nul.
Si $90\degree<\alpha\leq 180\degree$, alors : $\cos \alpha<0$, et donc : $ W_{AB}(\vec F)<0$. Le travail est alors qualifié de résistant : la force contribue à s’opposer au mouvement de l’objet et à diminuer sa vitesse.
Théorème de l’énergie cinétique :
Soit un corps de masse $m$ constante, parcourant un segment $[AB]$ et soumis à une ou plusieurs forces, la variation d’énergie cinétique $\Delta E_{\text{c}AB}$ est déterminée par le travail des forces $\vec F$ s’appliquant sur cette masse :

$$\Delta E_{\text{c}AB}=\sum W_{AB}(\vec F)$$

Une force est dite conservative si le travail produit par cette force depuis un point $A$ jusqu’à un point $B$ est indépendant du chemin parcouru.
Une telle force dérive d’une énergie potentielle $E_p$ et le travail de cette force depuis $A$ jusqu’à $B$ s’exprime ainsi :

$$W_{AB}(\vec F)=E_\text{p}(B)-E_\text{p}(A)$$

Les forces conservatives incluent notamment la force gravitationnelle et la force électrostatique.
L’énergie potentielle est l’énergie que possède un objet en raison de sa position par rapport à d’autres objets (cas de l’énergie potentielle de pesanteur), des contraintes internes (cas de l’énergie potentielle élastique), de sa charge électrique (énergie potentielle électrostatique), etc.
L’énergie potentielle de pesanteur est l’énergie mise en œuvre lors d’une interaction gravitationnelle.
Soit un objet de masse $m$ situé à une altitude $z$, et $z_0$ une altitude de référence pour laquelle l’énergie potentielle de pesanteur est nulle. I est doté d’une énergie potentielle de pesanteur : $E_\text{pp}=mg(z-z_0)$, avec $g$ l’intensité de pesanteur.
La force de frottements est une force non conservative dirigée dans le sens contraire de celui du mouvement et dont la norme varie avec la vitesse : $F_\text{frottements}=\alpha v^2$, avec $\alpha$ un coefficient dépendant de la nature du milieu dans lequel se propage le corps et de sa géométrie.
Cette force s’oppose au mouvement. Son travail est donc toujours négatif.

L’énergie mécanique $E_\text{m}$ d’un système est la somme de son énergie cinétique $E_\text{c}$ et de ses énergies potentielles $E_\text{p}$ : $ E_\text{m}= E_\text{c}+ E_\text{p}$.
Un système soumis uniquement à des forces conservatives est caractérisé par une énergie mécanique constante.
Théorème de l’énergie mécanique :
Soit un corps de masse constante parcourant un segment $[AB]$ et soumis à une ou plusieurs forces $\vec F$, la variation d’énergie mécanique $\Delta_{\text{m}AB}$ est déterminée par le travail des forces non conservatives $\vec F_\text{nc}$ s’appliquant sur cette masse :

$$\Delta E_{\text{m}AB}=\sum W_{AB}(\vec F_\text{nc})$$