L'énergie mécanique : énergies cinétique et potentielle

Travail d’une force et théorème de l’énergie cinétique

• Une force est une cause extérieure capable de :
• modifier l’état de repos d’un corps (mettre en mouvement un corps préalablement au repos) ;
• modifier l’état de mouvement d’un corps (modifier donc soit la trajectoire, soit la vitesse d’un corps, soit les deux à la fois) ;
• déformer un corps (effet statique).
• On étudiera ici des forces constantes.
• Le travail d’une force $\vec F$ sur un objet le long d’un segment $[AB]$ mesure l’énergie fournie par cette force à l’objet et quantifie la variation d’énergie cinétique de ce corps (et donc de sa vitesse).
• Ce travail, noté $W_{AB}(\vec F)$, s’exprime à l’aide du produit scalaire :

$W_{AB}(\vec F)=\vec F \cdot \overrightarrow{AB} =F\times AB \times \cos \alpha$, avec $\alpha=(\vec F,\ \overrightarrow{AB})$.

• Cette grandeur est analogue à une énergie et s’exprime en joule.
• Si $0\degree\leq\alpha<90\degree$, alors : $ W_{AB}(\vec F)>0$. Le travail est alors dit moteur.
• Si $\alpha=90\degree$, alors : $W_{AB}(\vec F)=0$. Le travail est alors dit nul.
• Si $90\degree<\alpha\leq 180\degree$, alors : $\cos \alpha<0$, et donc : $ W_{AB}(\vec F)<0$. Le travail est alors qualifié de résistant : la force contribue à s’opposer au mouvement de l’objet et à diminuer sa vitesse.
• Théorème de l’énergie cinétique :
• Soit un corps de masse $m$ constante, parcourant un segment $[AB]$ et soumis à une ou plusieurs forces, la variation d’énergie cinétique $\Delta E_{\text{c}AB}$ est déterminée par le travail des forces $\vec F$ s’appliquant sur cette masse :

$$\Delta E_{\text{c}AB}=\sum W_{AB}(\vec F)$$

Forces conservatives et non conservatives

• Une force est dite conservative si le travail produit par cette force depuis un point $A$ jusqu’à un point $B$ est indépendant du chemin parcouru.
• Une telle force dérive d’une énergie potentielle $E_p$ et le travail de cette force depuis $A$ jusqu’à $B$ s’exprime ainsi :

$$W_{AB}(\vec F)=E_\text{p}(B)-E_\text{p}(A)$$

• Les forces conservatives incluent notamment la force gravitationnelle et la force électrostatique.
• L’énergie potentielle est l’énergie que possède un objet en raison de sa position par rapport à d’autres objets (cas de l’énergie potentielle de pesanteur), des contraintes internes (cas de l’énergie potentielle élastique), de sa charge électrique (énergie potentielle électrostatique), etc.
• L’énergie potentielle de pesanteur est l’énergie mise en œuvre lors d’une interaction gravitationnelle.
• Soit un objet de masse $m$ situé à une altitude $z$, et $z_0$ une altitude de référence pour laquelle l’énergie potentielle de pesanteur est nulle. I est doté d’une énergie potentielle de pesanteur : $E_\text{pp}=mg(z-z_0)$, avec $g$ l’intensité de pesanteur.
• La force de frottements est une force non conservative dirigée dans le sens contraire de celui du mouvement et dont la norme varie avec la vitesse : $F_\text{frottements}=\alpha v^2$, avec $\alpha$ un coefficient dépendant de la nature du milieu dans lequel se propage le corps et de sa géométrie.
• Cette force s’oppose au mouvement. Son travail est donc toujours négatif.

Énergie mécanique

• L’énergie mécanique $E_\text{m}$ d’un système est la somme de son énergie cinétique $E_\text{c}$ et de ses énergies potentielles $E_\text{p}$ : $ E_\text{m}= E_\text{c}+ E_\text{p}$.
• Un système soumis uniquement à des forces conservatives est caractérisé par une énergie mécanique constante.
• Théorème de l’énergie mécanique :
• Soit un corps de masse constante parcourant un segment $[AB]$ et soumis à une ou plusieurs forces $\vec F$, la variation d’énergie mécanique $\Delta_{\text{m}AB}$ est déterminée par le travail des forces non conservatives $\vec F_\text{nc}$ s’appliquant sur cette masse :

$$\Delta E_{\text{m}AB}=\sum W_{AB}(\vec F_\text{nc})$$