Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
La forme de la Terre
Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Introduction :
Nous le savons aujourd’hui, l’univers recèle une très grande quantité de planètes dont la forme, sphérique, est connue et ne suscite pas débat.
Pourtant, en ce qui concerne la Terre, cette connaissance est le résultat d’un long cheminement scientifique jalonné d’observations, de théorisations et de calculs de ses dimensions, de son âge ou encore de son mouvement.
On peut se demander comment est-il possible de déterminer les dimensions de la Terre et de calculer des distances à sa surface ?
Pour répondre à cette problématique nous verrons dans un premier temps comment, historiquement, les dimensions de la Terre ont été déterminées. Puis nous étudierons une méthode de calcul de distances à la surface du globe.
Les dimensions de la Terre : deux méthodes
L’idée même de rotondité de la Terre (c’est-à-dire son caractère sphérique) date de l’Antiquité, entre le VIe siècle et le IVe siècle avant J.-C.
C’est notamment Aristote qui a utilisé l’observation d’éclipses de Lune pour le démontrer.
Une fois la rotondité de la Terre établie, il appartenait alors aux savants d’en déterminer les dimensions.
Ceci a été possible grâce aux connaissances en trigonométrie (science qui associe les mesures d’angles et de distances dans un triangle). Les principes de cette science sont connus depuis plus de 4 000 ans en Égypte antique et Mésopotamie et ont ainsi pu être exploités par les astronomes.
Méthode d’Ératosthène
Au IIIe siècle avant J.-C, Ératosthène, mathématicien, géographe et astronome de l’Antiquité, s’est servi de l’ombre portée de deux objets au même instant dans deux villes différentes.
Il attendit que le Soleil éclaire le fond d’un puit dans la ville de Syène (au sud de l’Égypte, nommée Assouan de nos jours) et, au même moment dans ville d’Alexandrie (éloignée de environ), on mesura l’ombre portée d’un obélisque de hauteur connue pour déterminer l’angle entre les rayons lumineux et la verticale et, par la suite, la circonférence de la terre.
Calcul de l’angle entre les rayons solaires et l’obélisque :
Dans un triangle rectangle, on sait que :
Ainsi, l’angle entre l’obélisque et son ombre étant droit :
Après calcul, Ératosthène a trouvé .
Suivant la règle des angles alternes-internes (les rayons du Soleil atteignant Alexandrie et Syène étant parallèles), cet angle se retrouve au centre de la Terre entre la verticale passant par le puit et celle passant par l’obélisque.
À la surface de la Terre, la longueur de l’arc formé par cet angle est égale à la distance séparant ces deux villes, soit .
Par un calcul de proportionnalité, on va pouvoir passer de l’angle de à un angle de (tour de la Terre).
Angle (degré) | ||
Longueur d’arc (km) |
Ainsi, plus de deux siècles avant J.-C., la circonférence de la Terre, qui est donc d’environ , est connue avec une bonne précision grâce à la méthode d’Ératosthène.
Pour que cette méthode fonctionne, il faut que les deux villes se trouvent sur le même méridien (heure solaire synchrone), ce qui est le cas ici.
Méridien :
On appelle méridien un cercle fictif passant par les deux pôles (géographiques) et dont le plan est perpendiculaire à celui de l’équateur.
Méthode de triangulation plane
Grâce aux progrès des connaissances en trigonométrie effectués en Perse au XIe siècle et XIIIe siècle et avec l’invention du goniomètre en 1790, permettant de mesurer un angle entre deux points relativement éloignés (deux monuments par exemple), l’idée de la mesure de distances par triangulation se répand petit à petit et permet de vérifier les dimensions de la Terre.
Le principe de la triangulation plane est assez simple : pour remplacer la mesure directe de la longueur d’un arc difficile à faire, on procède à une mesure indirecte à l’aide d’une succession de triangles adjacents situés le long de l’arc à mesurer.
Dans un triangle, si on connait la mesure de deux angles et la longueur d’un des côtés alors, grâce à des formules trigonométriques simples, on peut connaitre la longueur des deux autres côtés.
Voyons donc comment déterminer la longueur de l’arc à la surface d’une sphère :
Cela donne la figure suivante (approximation de l’arc vu de face) :
Il s’agit ici d’une méthode expérimentale, les repères visés sont donc des « objets » réels identifiables dans le paysage.
Dans notre cas, la longueur de l’arc vaut :
Sachant que les point et se situent sur le même méridien, à partir du point la direction du point est connue. Pour le triangle , il est également possible de connaître l’angle (mesure ou calcul) et donc, grâce à la formule de sinus de calculer la longueur .
En appliquant la formule des sinus dans le triangle , on obtient :
Soit
La distance est la seule distance mesurée, elle est donc connue.
Dans le triangle , on a soit
Les angles et ont été mesuré pour et calculé pour , donc on connait l’angle . Le calcul de la distance est alors possible.
En utilisant la même méthode pour les autres triangles on pourra calculer les longueurs , et et, finalement, par addition, on trouvera la longueur de l’arc .
Entre 1792 et 1793, c’est par cette méthode que les deux astronomes et mathématiciens français Delambre et Méchain ont pu déterminer la longueur du méridien entre Dunkerque et Barcelone en mesurant une seule longueur (côté d’un triangle) et un très grand nombre d’angles. La mesure d’angles entre des repères définis est bien plus précise et aisée que la mesure de longueurs importante compte tenu du relief et des obstacles notamment.
La méthode de triangulation plane décrite ci-dessus n’est normalement pas adaptée pour des mesures de distances sur une sphère.
Toutefois, sur des distances courtes (côté d’un triangle), on peut négliger la courbure de la Terre. Cette méthode est donc une méthode approximative mais elle permet, grâce aux triangles de petites dimensions, d’obtenir la longueur d’un arc avec une bonne précision.
Positionnement et calcul de distances
La circonférence de la Terre constitue ainsi une connaissance ancienne.
Cependant, avec l’essor du commerce mondial, il a rapidement fallu mettre au point un système de positionnement à la surface du globe.
Les coordonnées angulaires
En mathématiques, pour donner la position d’un point dans le plan, on donne ses coordonnées .
Pour donner une position d’un point à la surface de la Terre, on va utiliser deux coordonnées que l’on appelle la latitude et la longitude.
Longitude :
Angle entre le méridien de référence (Greenwich) et le méridien passant par le point étudié. Les valeurs des angles vont de à vers l’ouest et de à vers l’est.
Latitude :
Angle entre le plan de l’équateur et la perpendiculaire au sol au point étudié. Les valeurs des angles vont de à l’équateur à vers le nord ou vers le sud.
Pour localiser un point à la surface du globe, il faut donc donner le méridien auquel il appartient (longitude) et le parallèle sur lequel il se trouve (latitude).
On obtient ainsi deux cercles qui se croisent en ce point.
Ces deux cercles se croisent en réalité en deux points mais comme le méridien de Greenwich sert de référence pour la longitude, un seul des deux points aura les bonnes coordonnées.
Calculs de distances
Pour simplifier les calculs, nous modéliserons la Terre par une sphère – ce qu’elle n’est pas parfaitement – de rayon : , qui est le rayon moyen de la Terre.
Le calcul de la distance la plus courte séparant deux points quelconques à la surface du globe, appelée orthodromie, faisant appel à des notions qui ne sont pas au programme, nous nous contenterons d’admettre qu’elle correspond à la longueur de l’arc du grand cercle passant par ces deux points.
Le grand cercle d’une sphère est le cercle tracé à sa surface et qui a le même diamètre qu’elle.
Si nous considérons deux points appartenant à un même méridien (et donc de même longitude) et que nous connaissons leur latitude respective, la distance la plus courte entre ces deux points est l’arc du grand cercle les reliant.
Soit le point de latitude connue et le point de latitude connue , les deux points ayant la même longitude connue.
Soit la distance entre les points et (en ) et l’angle entre les latitudes de et (en ).
Pour déterminer la longueur de l’arc , on va utiliser une simple notion de proportionnalité.
En effet la longueur de cet arc correspond à une partie du périmètre du grand cercle passant par et .
Angle
(degré) |
|||
Longueur d’arc
(m) |
(périmètre) |
est le rayon de la Terre :
Soit
Estimons la distance entre Montpellier et Troyes :
\begin{aligned} \alpha&=\vert\alphaM-\alphaT\vert \ &=\vert43,6-48,3\vert \ &=\vert-4,7\vert \ &=4,7\degree \end{aligned}
\begin{aligned} d&=\dfrac{\pi R}{180}\times\alpha \ &=\dfrac{6\,371\pi}{180}\times4,7 \ &\approx 523 \end{aligned}
Ici, pour calculer la distance entre deux points et , de même latitude , nous nous contenterons de calculer la longueur de l’arc du parallèle, qui n’est pas un grand cercle.
Pour déterminer le périmètre de ce parallèle, on va calculer le rayon de celui-ci en fonction de celui de la Terre.
Grace à la notion d’angles alternes-internes et au théorème de Pythagore, on détermine que le rayon d’un parallèle vaut . représente l’angle en degré entre l’équateur et le parallèle étudié et le rayon de la Terre.
Le périmètre de ce parallèle est donc
Soit le point de longitude connue et le point de longitude connue , les deux points ayant la même latitude connue .
Soit la distance entre les points et (en ) et l’angle entre les longitudes de et (en ).
De la même manière que précédemment, un simple calcul de proportionnalité va nous permettre de calculer la longueur de l’arc .
Angle (degré) | |||
Longueur d’arc (m) | 2\pi\,(RT\,\text{cos}\,\alpha) | 2\pi\,(RT\,\text{cos}\,\alpha)/360 | 2\pi\,(R_T\,\text{cos}\,\alpha)/360\times\beta |
Soit
Nous cherchons à calculer la distance entre et , soit la longueur de l’arc du parallèle qui les sépare.
Si l’angle entre les longitudes des deux points considérés est supérieur à , il faut alors considérer .
Estimons la distance entre New York et Naples :
\begin{aligned} \beta&=\beta{NY}+\betaN \ &=74+14 \ &=88\degree \end{aligned}
\begin{aligned} d&=\dfrac{2\pi R_T\cos(\alpha)}{360}\times\beta \ &=\dfrac{2\pi\times 6\,371\ cos(40\degree)}{360}\times88\degree \ &\approx 7\,496 \end{aligned}
Conclusion :
Depuis Ératosthène et son estimation des dimensions de la Terre, bien des progrès ont été réalisés. Néanmoins, on s’aperçoit que son estimation s’est avérée proche de la réalité.
Toutefois, nous savons maintenant que la Terre n’est pas parfaitement sphérique comme l’ont supposé de nombreux scientifiques.
Les déplacements de plus en plus fréquents à la surface du globe ont également amené les scientifiques à améliorer les calculs de distances pour estimer correctement les durées des trajets mais également en minimiser les coûts.
La géolocalisation et les calculs de distances utilisés par les GPS de nos jours ne sont finalement qu’une évolution des techniques décrites ici.