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La mole, ses formules et la relation avec la masse volumique

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Introduction :

Plusieurs sources d’énergie sont utilisées à l’heure actuelle, pour le chauffage, les transports ou la production d’électricité. Les énergies dites fossiles reposent sur la combustion de charbon, de gaz ou de pétrole. L’énergie nucléaire, aussi non renouvelable, utilise la désintégration d’un isotope radioactif de l’uranium, par exemple.
La quantité d’énergie qu’il est possible de produire à partir d’un kilogramme de minerai dépend bien sûr du combustible qu’on en extrait, mais aussi du nombre de molécules ou d’atomes à disposition.

Mais séparer et compter autant d’atomes est impossible en général. Il est en revanche assez simple de peser des solides et des liquides, et de mesurer des volumes de gaz.

Ce chapitre présente les grandeurs permettant, à partir d’une mesure de masse ou de volume, de déterminer des quantités de matière. La masse molaire d’un matériau, le volume molaire d’un gaz et la concentration molaire d’un soluté seront notamment définis.

La masse molaire

La masse molaire et le nombre d’Avogadro

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Rappel

Une mole est un ensemble de NA6,022×1023N_A\approx6,022\times10^{23} entités identiques.

  • NAN_A est la constante ou le nombre d’Avogadro.

Or la masse d’un ensemble d’entités est égale à la somme des masses de ces entités.

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Définition

Masse molaire :

La masse molaire MM d’une espèce chimique XX est la masse d’une mole d’entités XX.
Elle est égale au produit du nombre d’Avogadro par la masse de l’entité XX et s’exprime en gmol1\text{g}\cdot \text{mol}^{-1}.

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Exemple

Considérons une mole de protons (ou de neutrons) : la masse d’un nucléon, aussi appelée unité de masse atomique, vaut : u1,67×1027 kgu\approx1,67\times10^{-27}\ \text{kg}.

La masse d’une mole de nucléons vaut donc :

M(n)=u×NA1,67×6,022×104 kgmol11 gmol1\begin{aligned} M(n) &= u \times N_A \ &\approx 1,67\times6,022\times10^{-4}\ \text{kg}\cdot\text{mol}^{-1} \ &\approx 1\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} \end{aligned}

La masse molaire atomique d’un élément

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Rappel

Un atome contient AA nucléons, dont ZZ protons et ZZ électrons : AA est son nombre de masse et ZZ est son numéro atomique.

La masse d’une mole d’atomes identiques est sensiblement égale à celle d’une mole de noyaux de ces atomes, donc à la masse de AA moles de nucléons. La masse des électrons vaut environ 1/2000e1/2\,000^e de la masse des protons, et est donc négligée dans ce calcul.

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À retenir

La masse molaire atomique d’un élément chimique XX de nombre de masse AA vaut : M(X)=A gmol1M(X) = A\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}.

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Exemple

  • La masse molaire de l’uranium 238238, isotope stable et majoritaire dans la nature, vaut : M(238U)=238 gmol1M(^{238}\text{U})=238\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}.
  • La masse molaire de l’uranium 235235, isotope fissile, vaut : M(235U)=235 gmol1M(^{235}\text{U})=235\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}.

La fission d’atome d’uranium produit une énergie :

E1202,8×106 eV3,24×1011 J\begin{aligned} E_{1}&\approx 202,8\times 10^{6}\ \text{eV} \ &\approx3,24\times10^{-11}\ \text{J} \end{aligned}

  • Donc une mole, soit 235 g235\ \text{g}, d’uranium 235235 représente une réserve d’énergie de :

E=E1×NA3,24×6,022×1012 J19,5 TJ\begin{aligned} E &= E1\times NA \ &\approx 3,24\times6,022\times10^{12}\ \text{J} \ &\approx 19,5\ \text{TJ} \end{aligned}

Cet isotope est rare : un échantillon d’uranium naturel pur de 33 kg33\ \text{kg} contient environ 235 g235\ \text{g} d’uranium 235235.
Le minerai d’uranium le plus courant est la pechblende, essentiellement composée d’oxyde UO2\text{UO}_2. Un échantillon de pechblende de 37 kg37\ \text{kg} contient environ 33 kg33\ \text{kg} d'uranium.

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Attention

La masse molaire d’une espèce ionisée est donc sensiblement égale à celle de l’espèce neutre. Par exemple, la masse molaire de l’ion calcium Ca2+\text{Ca}^{2+} est égale à celle du calcium atomique Ca\text{Ca}, soit 40 gmol140\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}.

La masse molaire d’une espèce moléculaire

Une molécule est un assemblage d’atomes. Sa masse est donc égale à la somme des masses de ses constituants. Une mole de ces assemblages contient une mole de chacun de ses constituants.

  • On en déduit la masse d’une mole de ces molécules.
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À retenir

La masse molaire d’une molécule est égale à la somme des masses molaires de ses constituants.

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Exemple

Considérons la molécule d’eau de formule H2O\text{H}_2 \text{O}.

  • La masse d’une mole de molécules d’eau est égale à la somme des masses molaires de ses constituants :

M(H2O)=NA×m(H2O)=NA×(2×m(H)+m(O))=2×NA×m(H)+NA×m(O)=2×M(H)+M(O)M(H2O)=2×1+16=18 gmol1\begin{aligned} M(\text{H}2\text{O}) &= NA \times m(\text{H}2 \text{O}) \ &= NA \times \big(2\times m(\text{H}) + m(\text{O})\big) \ &= 2\times NA\times m(\text{H}) + NA\times m(\text{O}) \ &= 2\times M(\text{H}) + M(\text{O}) \ \ M(\text{H}_2\text{O})&=2\times1 + 16 \ &= 18\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned}

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Attention

L’équation précédente semble présenter : « 1 mole à gauche et 3 moles à droite ». C’est bien le cas, mais il n’y a pas de contradiction. En effet :

  • le nombre d’atomes d’hydrogène est le même à gauche qu’à droite ;
  • le nombre d’atomes d’oxygène est le même à gauche qu’à droite.

Détermination d’une quantité de matière

Considérons un verre d’eau qui contient :

V(eau)=18 cl=1,8×104 m3\begin{aligned} V(\text{eau}) &= 18\ \text{cl} \ &= 1,8\times10^{-4}\ \text{m}^{3} \end{aligned}

  • La masse d’eau correspondante est déterminée en utilisant la masse volumique de l’eau :

m(eau)=V(eau)×ρ(eau)=1,8×104×1×103=1,8×101 kg=180 g\begin{aligned} m(\text{eau}) &= V(\text{eau})\times\rho(\text{eau}) \ &= 1,8\times10^{-4}\times1\times 10^{3} \ &= 1,8\times 10^{-1}\ \text{kg} \ &= 180\ \text{g} \end{aligned}

La masse d’une mole d’eau est connue, c’est la masse molaire : M(eau)=18 gmol1M(\text{eau}) = 18\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}.
Pour déterminer le nombre nn de moles d’eau dans le verre, on divise la masse totale d’eau par la masse molaire :

n(eau)=m(eau)M(eau)=18018=10 mol\begin{aligned} n(\text{eau}) &= \dfrac{m(\text{eau})}{M(\text{eau})} \ &= \dfrac{180}{18} \ &= 10\ \text{mol} \end{aligned}

Les masses des ions présents dans l’eau sont négligées dans ce calcul.

Chaque molécule d’eau est composée de 22 atomes d’hydrogène et de 11 atome d’oxygène.

  • Le liquide contenu dans le verre contient donc :
  • 2020 moles d’hydrogène ;
  • 1010 moles d’oxygène.
  • Le principal constituant du verre (contenant) est la silice de formule SiO2\text{SiO}_{2}, de masse molaire :

M(SiO2)=M(Si)+2×M(O)=28+2×16=60 gmol1\begin{aligned} M(\text{SiO}_2) &= M(\text{Si}) + 2\times M(\text{O}) \ &= 28 + 2\times16 \ &= 60\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned}

La masse du verre est : m(verre)=120 gm(\text{verre}) = 120\ \text{g}.

La quantité de silice présente vaut donc :

n(SiO2)=m(SiO2)M(SiO2)=12060=2 mol\begin{aligned} n(\text{SiO}{2}) &= \dfrac{m(\text{SiO}{2})}{M(\text{SiO}_{2})} \ &= \dfrac{120}{60} \ &= 2\ \text{mol} \end{aligned}

Au final, ce verre d’eau contient donc :

  • 2020 moles d’hydrogène ;
  • 22 moles de silice ;
  • 1414 moles d’oxygène (dont 1010 seulement sont « buvables »).
  • La même méthode permet de retrouver le résultat cité plus haut concernant la quantité d’uranium dans un échantillon de pechblende (de formule UO2\text{UO}_2).
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À retenir

La quantité de matière nn contenue dans un échantillon de masse mm d’un corps pur est le rapport de cette masse par la masse molaire MM de ce corps pur :

n=mMn = \dfrac m M

Les quantités de matière de deux corps purs ou éléments XX et Y\text{Y} dans un échantillon de masse mm d’un corps composé ou d’un mélange XaYbX{a}\text{Y}{b} valent :

n(X)=a×ma×M(X)+b×M(Y)n(Y)=b×ma×M(X)+b×M(Y)\begin{aligned} n(X) &= \dfrac{a\times m}{a\times M(X) + b\times M(\text{Y})} \ n(\text{Y}) &= \dfrac{b\times m}{a\times M(X) + b\times M(\text{Y})} \end{aligned}

La concentration molaire d’une espèce en solution

De la concentration massique à la concentration molaire

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Rappel

La concentration massique CM(X)C_\text{M}(X) d’un soluté XX est le rapport de la masse de soluté m(X)m(X) contenue dans un volume VV de solution, par le volume VV :

CM(X)=m(X)VC_\text{M}(X)=\dfrac{m(X)}{V}

Elle est égale à la masse de l’espèce XX dans un litre de solution et est mesurée en grammes par litre (gL1\text{g}\cdot \text{L}^{-1}).
Connaissant la masse d’une mole de l’espèce XX, on peut en déduire la quantité de matière de l’espèce XX dans un litre de solution.

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Définition

Concentration molaire :

La concentration molaire d’un soluté XX, notée [X][X], est la quantité de matière de ce soluté contenue dans un litre de solution.

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Exemple

Parmi les critères de qualité de l’eau courante, on définit sa dureté, ou son titre hydrotimétrique, à partir des concentrations molaires de deux cations :

TH=10×([Na+]+[Mg2+])\text{TH} = 10\times\big([\text{Na}^+] + [\text{Mg}^{2+}]\big)

Une eau dure (TH>30\text{TH}>30) est potable, mais son utilisation pour la lessive nécessite une plus grande quantité de détergent. En effet, les ions sodium et magnésium se combinent aux molécules de savon, les rendant inopérantes.

Détermination d’une concentration et d’une quantité de matière

L’étiquette d’une eau pétillante indique les concentrations massiques de plusieurs espèces, notamment de petites quantités de strontium et de fluorure :

C(Sr2+)=2,7 mgL1C(F)=0,5 mgL1\begin{aligned} C(\text{Sr}^{2+}) &= 2,7\ \text{mg}\cdot \text{L}^{-1} \ C(\text{F}^{-}) &= 0,5\ \text{mg}\cdot \text{L}^{-1} \end{aligned}

Les masses molaires de ces ions sont :

M(Sr2+)=87,6 gmol1M(F)=19 gmol1\begin{aligned} M(\text{Sr}^{2+}) &= 87,6\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1} \ M(\text{F}^-) &= 19\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned}

  • On peut alors déterminer le nombre de moles de chaque espèce par litre d’eau pétillante.

Les concentrations molaires de strontium et fluorure valent donc :

[Sr2+]=C(Sr2+)M(Sr2+)=2,7×10387,63,1×105 molL1[F]=C(F)M(F)=5×10419=2,6×105 molL1\begin{aligned} [\text{Sr}^{2+}] &= \dfrac{C(\text{Sr}^{2+})}{M(\text{Sr}^{2+})}\ &= \dfrac{2,7\times10^{-3}}{87,6} \ &\approx 3,1\times10^{-5}\ \text{mol}\cdot \text{L}^{-1} \ \ [\text{F}^-] &= \dfrac{C(\text{F}^-)}{ M(\text{F}^-)}\ &= \dfrac{5\times10^{-4}}{19} \ &= 2,6\times10^{-5}\ \text{mol}\cdot \text{L}^{-1} \end{aligned}

On remarque que les concentrations molaires de ces deux ions sont proches alors que leurs concentrations massiques sont différentes.

On peut en déduire les quantités de matière de chaque espèce dans un verre d’eau de volume V=20 clV = 20\ \text{cl} :

n(Sr2+)=[Sr2+]×V3,1×105×0,26×106 moln(F)=[F]×V2,6×105×0,25×106 mol\begin{aligned} n(\text{Sr}^{2+}) &= [\text{Sr}^{2+}] \times V \ &\approx3,1\times10^{-5}\times0,2 \ &\approx 6\times10^{-6}\ \text{mol} \ \ n(\text{F}^{-}) &= [\text{F}^{-}] \times V \ &\approx2,6\times10^{-5}\times0,2 \ &\approx5\times10^{-6}\ \text{mol} \end{aligned}

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À retenir

La concentration molaire d’un soluté XX est égale au rapport de la quantité de matière n(X)n(X) contenue dans un échantillon de solution de volume VV, par le volume VV.

  • Si la concentration massique est connue, la concentration molaire est déterminée par le rapport de sa concentration massique CM(X)C_\text{M}(X) sur sa masse molaire M(X)M(X) :

[X]=n(X)V=CM(X)M(X)\begin{aligned} [X] &= \dfrac{n(X)}{V}\ &= \dfrac{C_\text{M}(X)}{M(X)} \end{aligned}

Le volume molaire

De la masse volumique au volume molaire

Considérons de l’eau liquide. Les molécules d’eau ne peuvent pas se superposer.

  • On peut donc définir le volume occupé par une molécule d’eau.

En multipliant celui-ci par le nombre d’Avogadro, on obtient le volume occupé par une mole d’eau.
Cependant, l’arrangement des molécules et les distances qui les séparent dépendent de l’état physique dans lequel se trouve l’eau. Celui-ci dépend des conditions de pression et de température.

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Définition

Volume molaire :

Le volume molaire d’un corps, noté VmV_\text{m}, est le volume occupé par une mole de ce corps. Il dépend de l’état physique dans lequel celui-ci se trouve, et des conditions de température et de pression. Son unité est le litre par mole (Lmol1\text{L}\cdot \text{mol}^{-1}).

Connaissant la masse volumique de l’eau liquide, c’est-à-dire la masse d’un mètre cube d’eau (ρ(eau)1000 kgm3\rho(\text{eau})\approx 1\,000\ \text{kg} \cdot\text{m}^{-3}), on peut déduire le volume vv occupé par 1 kg1\ \text{kg} d’eau :

v(eau)=1ρ(eau)=103 m3kg1=103 Lg1\begin{aligned} v(\text{eau}) &= \dfrac{1}{\rho(\text{eau})} \ &= 10^{-3}\ \text{m}^{3}\cdot \text{kg}^{-1} \ &= 10^{-3}\ \text{L}\cdot \text{g}^{-1} \end{aligned}

Dans les conditions usuelles de température et de pression. Connaissant la masse molaire de l’eau (18 gmol118\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}), on en déduit le volume occupé par une mole d’eau :

Vm(eau)=M(eau)×v(eau)=M(eau)ρ(eau)=18×103 Lmol1\begin{aligned} V_\text{m} (\text{eau}) &= M(\text{eau})\times v(\text{eau}) \ &= \dfrac{ M(\text{eau}) }{ \rho(\text{eau})} \ &= 18\times10^{-3}\ \text{L}\cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned}

Le volume molaire des gaz

Un gaz tend à occuper tout l’espace disponible. D’après la loi de Mariotte, le volume occupé par une quantité donnée de gaz dépend de sa pression, égale à la pression extérieure exercée sur le gaz.
Or la pression, c’est-à-dire la quantité de chocs entre particules du gaz, dépend de la vitesse d’agitation thermique de ces particules, c’est-à-dire la température.

  • L’hypothèse formulée par le physicien italien Amedeo Avogadro en 1811 est que le volume occupé par une mole de gaz dépend uniquement de ces deux paramètres physiques.

Cette hypothèse a priori étonnante est vérifiée lors de la décomposition de l’eau. Cette réaction chimique produit du dioxygène et du dihydrogène selon l’équation :

2H2O2H2+O22 \text{H}2 \text{O} \to 2 \text{H}2+ \text{O}_2

Les deux gaz sont récupérés séparément et leurs volumes sont mesurés :

  • le volume de dihydrogène obtenu est le double de celui de dioxygène ;
  • lors de la recomposition, le volume de vapeur d’eau obtenu est égal au volume du dihydrogène produit.
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À retenir

Le volume molaire des gaz ne dépend que de la température et de la pression, pas de sa composition. Dans les conditions usuelles, il vaut :

Vm22,4 Lmol1V_\text{m} \approx 22,4\ \text{L}\cdot \text{mol}^{-1}

Détermination d’une quantité de matière et d’une masse volumique

Dans les conditions usuelles de température et pression, le volume molaire de l’air est : Vm22,4 Lmol1V_\text{m} \approx 22,4\ \text{L}\cdot \text{mol}^{-1}.

  • Une respiration « normale », calme, fait entrer dans les poumons un volume V0,5 LV\approx0,5\ \text{L} d’air frais.

La quantité d’air frais entrant est :

n(air)=VVm0,522,42,2×102 mol\begin{aligned} n(\text{air}) &= \dfrac{ V}{V_\text{m}}\ &\approx \dfrac{0,5}{22,4} \ &\approx 2,2\times10^{-2}\ \text{mol} \end{aligned}

L’air inspiré contient 20 %20\ \% de dioxygène en quantité de matière. La quantité de ce gaz apporté par une inspiration profonde vaut donc :

n(O2)=0,2×n(air)4,5×103 mol\begin{aligned} n(\text{O}_2) &= 0,2\times n(\text{air}) \ &\approx 4,5\times10^{-3}\ \text{mol} \end{aligned}

Dans les mêmes conditions, l’air et l’hélium ont le même volume molaire. Leurs masses volumiques peuvent être déterminées d’après leurs masses molaires :

ρ(He)=M(He)Vmρ(air)=M(air)Vm\begin{aligned} \rho(\text{He}) = \dfrac{ M(\text{He})}{V\text{m}} \ \rho(\text{air}) = \dfrac{ M(\text{air})}{V\text{m}} \end{aligned}

Or l’hélium a pour masse molaire : M(He)4 gmol1M(\text{He}) \approx 4\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}.

L’air est principalement constitué de diazote (80 %80\ \% en quantité de matière) et de dioxygène (20 %20\ \% en quantité de matière), sa masse molaire vaut donc :

M(air)=0,8×M(N2)+0,2×M(O2)0,8×2×14+0,2×2×1629 gmol1\begin{aligned} M(\text{air}) &= 0,8\times M(\text{N}2) + 0,2\times M(\text{O}2) \ &\approx 0,8\times2\times14 + 0,2\times2\times16 \ &\approx 29\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned}

Donc les masses volumiques valent :

ρ(He)422,40,18g L10,18kg m3ρ(air)2922,41,29 gL11,29 kgm3\begin{aligned} \rho(\text{He}) &\approx \dfrac{4}{22,4} \ &\approx 0,18 \text{g}\cdot\ \text{L}^{-1} \ &\approx 0,18 \text{kg}\cdot\ \text{m}^{-3} \ \ \rho(\text{air}) &\approx \dfrac{29}{22,4} \ &\approx 1,29\ \text{g}\cdot \text{L}^{-1} \ &\approx 1,29\ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3} \end{aligned}

  • L’hélium est beaucoup moins dense que l’air, c’est pourquoi un ballon d’hélium peut s’élever en altitude.

Conclusion :

On définit donc la masse d’une mole d’entités (atomes ou molécules d’une espèce chimique) et le volume qu’ils occupent : la masse molaire et le volume molaire.
On définit également la concentration molaire d’une espèce en solution comme la quantité de matière de cette espèce présente par unité de volume de solution.

Ces grandeurs permettent de déterminer la quantité de matière d’une espèce chimique présente dans un échantillon de matière ou de solution, connaissant sa masse totale ou son volume total et sa composition, et inversement.