Cours : La mole et ses formules

La masse molaire

La masse molaire et le nombre d’Avogadro

Rappel

Une mole est un ensemble de $\mathcal{N}_\text{A}\approx6,022\times10^{23}$ entités identiques.

• $\mathcal{N}_\text{A}$ est la constante ou le nombre d’Avogadro.

Or la masse d’un ensemble d’entités est égale à la somme des masses de ces entités.

Définition

Masse molaire :

La masse molaire $M$ d’une espèce chimique $X$ est la masse d’une mole d’entités $X$.
Elle est égale au produit du nombre d’Avogadro par la masse de l’entité $X$ et s’exprime en $\text{g}\cdot \text{mol}^{-1}$.

Exemple

Considérons une mole de protons (ou de neutrons) : la masse d’un nucléon, aussi appelée unité de masse atomique, vaut : $u\approx1,67\times10^{-27}\ \text{kg}$.

La masse d’une mole de nucléons vaut donc :

$$\begin{aligned} M(n) &= u \times \mathcal{N}_\text{A} \\ &\approx 1,67\times6,022\times10^{-4}\ \text{kg}\cdot\text{mol}^{-1} \\ &\approx 1\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} \end{aligned}$$

La masse molaire atomique d’un élément

Rappel

Un atome contient $A$ nucléons, dont $Z$ protons et $Z$ électrons : $A$ est son nombre de masse et $Z$ est son numéro atomique.

La masse d’une mole d’atomes identiques est sensiblement égale à celle d’une mole de noyaux de ces atomes, donc à la masse de $A$ moles de nucléons. La masse des électrons vaut environ $1/2\,000^e$ de la masse des protons, et est donc négligée dans ce calcul.

À retenir

La masse molaire atomique d’un élément chimique $X$ de nombre de masse $A$ vaut : $M(X) = A\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$.

Exemple

• La masse molaire atomique de l’uranium $238$, isotope stable et majoritaire dans la nature, vaut : $M(^{238}\text{U})=238\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$.
• La masse molaire atomique de l’uranium $235$, isotope fissile, vaut : $M(^{235}\text{U})=235\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$.

La fission d’atome d’uranium produit une énergie :

$$\begin{aligned} E_{1}&\approx 202,8\times 10^{6}\ \text{eV} \\ &\approx3,24\times10^{-11}\ \text{J} \end{aligned}$$

• Donc une mole, soit $235\ \text{g}$, d’uranium $235$ représente une réserve d’énergie de :

$$\begin{aligned} E &= E_1\times N_A \\ &\approx 3,24\times6,022\times10^{12}\ \text{J} \\ &\approx 19,5\ \text{TJ} \end{aligned}$$

Cet isotope est rare : un échantillon d’uranium naturel pur de $33\ \text{kg}$ contient environ $235\ \text{g}$ d’uranium $235$.
Le minerai d’uranium le plus courant est la pechblende, essentiellement composée d’oxyde $\text{UO}_2$. Un échantillon de pechblende de $37\ \text{kg}$ contient environ $33\ \text{kg}$ d'uranium.

Attention

La masse molaire d’une espèce ionisée est donc sensiblement égale à celle de l’espèce neutre. Par exemple, la masse molaire de l’ion calcium $\text{Ca}^{2+}$ est égale à celle du calcium atomique $\text{Ca}$, soit $40\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$.

La masse molaire moléculaire

Une molécule est un assemblage d’atomes. Sa masse est donc égale à la somme des masses de ses constituants. Une mole de ces assemblages contient une mole de chacun de ses constituants.

• On en déduit la masse d’une mole de ces molécules.

À retenir

La masse molaire d’une molécule est égale à la somme des masses molaires de ses constituants.

Exemple

Considérons la molécule d’eau de formule $\text{H}_2 \text{O}$.

• La masse molaire d’une mole de molécule d’eau est égale à la somme des masses molaires de ses constituants :

$$\begin{aligned} M(\text{H}_2\text{O}) &= N_A \times m(\text{H}_2 \text{O}) \\ &= \mathcal{N}_\text{A} \times \big(2\times m(\text{H}) + m(\text{O})\big) \\ &= 2\times \mathcal{N}_\text{A}\times m(\text{H}) + \mathcal{N}_\text{A}\times m(\text{O}) \\ &= 2\times M(\text{H}) + M(\text{O}) \\ \\ M(\text{H}_2\text{O})&=2\times1 + 16 \\ &= 18\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned}$$

Attention

L’équation précédente semble présenter : « 1 mole à gauche et 3 moles à droite ». C’est bien le cas, mais il n’y a pas de contradiction. En effet :

• le nombre d’atomes d’hydrogène est le même à gauche qu’à droite ;
• le nombre d’atomes d’oxygène est le même à gauche qu’à droite.

Détermination d’une quantité de matière

Considérons un verre d’eau qui contient :

$$\begin{aligned} V_{\text{eau}} &= 18\ \text{cl} \\ &= 1,8\times10^{-4}\ \text{m}^{3} \end{aligned}$$

• La masse d’eau correspondante est déterminée en utilisant la masse volumique de l’eau :

$$\begin{aligned} m(\text{eau}) &= V_{\text{eau}}\times\rho_{\text{eau}} \\ &= 1,8\times10^{-4}\times1\times 10^{3} \\ &= 1,8\times 10^{-1}\ \text{kg} \\ &= 180\ \text{g} \end{aligned}$$

La masse d’une mole d’eau est connue, c’est la masse molaire : $M(\text{eau}) = 18\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}$.
Pour déterminer le nombre $n$ de moles d’eau dans le verre, on divise la masse totale d’eau par la masse molaire moléculaire :

$$\begin{aligned} N_{\text{eau}} &= \dfrac{m(\text{eau})}{M(\text{eau})} \\ &= \dfrac{180}{18} \\ &= 10\ \text{mol} \end{aligned}$$

Les masses des ions présents dans l’eau sont négligées dans ce calcul.

Chaque molécule d’eau est composée de $2$ atomes d’hydrogène et de $1$ atome d’oxygène.

• Le liquide contenu dans le verre contient donc :
• $20$ moles d’hydrogène ;
• $10$ moles d’oxygène.
• Le principal constituant du verre (contenant) est la silice de formule $\text{SiO}_{2}$, de masse molaire moléculaire :

$$\begin{aligned} M(\text{SiO}_2) &= M(\text{Si}) + 2\times M(\text{O}) \\ &= 28 + 2\times16 \\ &= 60\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned}$$

La masse du verre est : $m(\text{verre}) = 120\ \text{g}$.

La quantité de silice présente vaut donc :

$$\begin{aligned} n_{\text{SiO}_{2}} &= \dfrac{m(\text{SiO}_{2})}{M(\text{SiO}_{2})} \\ &= \dfrac{120}{60} \\ &= 2\ \text{mol} \end{aligned}$$

Au final, ce verre d’eau contient donc :

• $20$ moles d’hydrogène ;
• $2$ moles de silice ;
• $14$ moles d’oxygène (dont $10$ seulement sont « buvables »).
• La même méthode permet de retrouver le résultat cité plus haut concernant la quantité d’uranium dans un échantillon de pechblende (de formule $\text{UO}_2$).

À retenir

La quantité de matière $n$ contenue dans un échantillon de masse $m$ d’un corps pur est le rapport de cette masse par la masse molaire $M$ de ce corps pur :

$$n = \dfrac m M$$

Les quantités de matière de deux corps purs ou éléments $X$ et $\text{Y}$ dans un échantillon de masse $m$ d’un corps composé ou d’un mélange $X_{a}\text{Y}_{b}$ valent :

$$\begin{aligned} n(X) &= \dfrac{a\times m}{a\times M(X) + b\times M(\text{Y})} \\ n(\text{Y}) &= \dfrac{b\times m}{a\times M(X) + b\times M(\text{Y})} \end{aligned}$$

La concentration en quantité de matière d’une espèce en solution

De la concentration en masse à la concentration en quantité de matière

Rappel

La concentration en masse $C_m$ d’un soluté est le rapport de la masse de soluté $m_{\text{soluté}}$ contenue dans un volume $V_{\text{solution}}$ de solution, par le volume $V_{\text{solution}}$ :

$C_m=\dfrac{m_{\text{soluté}}}{V_{\text{solution}}}$

Elle est égale à la masse de l’espèce $X$ dans un litre de solution et est mesurée en gramme par litre ($\text{g}\cdot \text{L}^{-1}$).
Connaissant la masse d’une mole de l’espèce $X$, on peut en déduire la quantité de matière de l’espèce $X$ dans un litre de solution.

Définition

Concentration en quantité de matière :

La concentration en quantité de matière d’un soluté, notée $C$, est la quantité de matière de ce soluté contenue dans un litre de solution.

Exemple

Parmi les critères de qualité de l’eau courante, on définit sa dureté, ou son titre hydrotimétrique, à partir des concentrations en quantité de matière de deux cations :

$$\text{TH} = 10\times\big([\text{Na}^+] + [\text{Mg}^{2+}]\big)$$

Une eau dure ($\text{TH}>30$) est potable, mais son utilisation pour la lessive nécessite une plus grande quantité de détergent. En effet, les ions sodium et magnésium se combinent aux molécules de savon, les rendant inopérantes.

Détermination d’une concentration et d’une quantité de matière

L’étiquette d’une eau pétillante indique les concentrations en masses de plusieurs espèces, notamment de petites quantités de strontium et de fluorure :

$$\begin{aligned} C_m(\text{Sr}^{2+}) &= 2,7\ \text{mg}\cdot \text{L}^{-1} \\ C_m(\text{F}^{-}) &= 0,5\ \text{mg}\cdot \text{L}^{-1} \end{aligned}$$

Les masses molaires de ces ions sont :

$$\begin{aligned} M(\text{Sr}^{2+}) &= 87,6\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1} \\ M(\text{F}^-) &= 19\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned}$$

• On peut alors déterminer le nombre de moles de chaque espèce par litre d’eau pétillante.

Les concentrations en quantité de matière de strontium et fluorure valent donc :

$$\begin{aligned} C(\text{Sr}^{2+}) &= \dfrac{C_m(\text{Sr}^{2+})}{M(\text{Sr}^{2+})}\\ &= \dfrac{2,7\times10^{-3}}{87,6} \\ &\approx 3,1\times10^{-5}\ \text{mol}\cdot \text{L}^{-1} \\ \\ C(\text{F}^-) &= \dfrac{C_m(\text{F}^-)}{ M(\text{F}^-)}\\ &= \dfrac{5\times10^{-4}}{19} \\ &= 2,6\times10^{-5}\ \text{mol}\cdot \text{L}^{-1} \end{aligned}$$

On remarque que les concentrations en quantité de matière de ces deux ions sont proches alors que leurs concentrations en masses sont différentes.

On peut en déduire les quantités de matière de chaque espèce dans un verre d’eau de volume $V = 20\ \text{cl}$ :

$$\begin{aligned} n_{\text{Sr}^{2+}} &= C(\text{Sr}^{2+}) \times V \\ &\approx3,1\times10^{-5}\times0,2 \\ &\approx 6\times10^{-6}\ \text{mol} \\ \\ n_{\text{F}^{-}} &= C(\text{F}^{-}) \times V \\ &\approx2,6\times10^{-5}\times0,2 \\ &\approx5\times10^{-6}\ \text{mol} \end{aligned}$$

À retenir

La concentration en quantité de matière d’un soluté est égale au rapport de la quantité de matière $n$ contenue dans un échantillon de solution de volume $V_{\text{solution}}$, par le volume $V_{\text{solution}}$.

• Si la concentration en masse est connue, la concentration en quantité de matière est déterminée par le rapport de sa concentration en masse $C_m$ sur sa masse molaire $M$ :

$$\begin{aligned} C &= \dfrac{n}{V_{\text{solution}}}\\ &= \dfrac{C_m}{M} \end{aligned}$$

Le volume molaire

De la masse volumique au volume molaire

Considérons de l’eau liquide. Les molécules d’eau ne peuvent pas se superposer.

• On peut donc définir le volume occupé par une molécule d’eau.

En multipliant celui-ci par le nombre d’Avogadro, on obtient le volume occupé par une mole d’eau.
Cependant, l’arrangement des molécules et les distances qui les séparent dépendent de l’état physique dans lequel se trouve l’eau. Celui-ci dépend des conditions de pression et de température.

Définition

Volume molaire :

Le volume molaire d’un corps, noté $V_m$, est le volume occupé par une mole de ce corps. Il dépend de l’état physique dans lequel celui-ci se trouve, et des conditions de température et de pression. Son unité est le litre par mole ($\text{L}\cdot \text{mol}^{-1}$).

Connaissant la masse volumique de l’eau liquide, c’est-à-dire la masse d’un mètre cube d’eau ($\rho_{\text{eau}}\approx 1\,000\ \text{kg} \cdot\text{m}^{-3}$), on peut déduire le volume $V$ occupé par $1\ \text{kg}$ d’eau :

$$\begin{aligned} V(\text{eau}) &= \dfrac{1}{\rho_{\text{eau}}} \\ &= 10^{-3}\ \text{m}^{3}\cdot \text{kg}^{-1} \\ &= 10^{-3}\ \text{L}\cdot \text{g}^{-1} \end{aligned}$$

Dans les conditions usuelles de température et de pression. Connaissant la masse molaire de l’eau ($18\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}$), on en déduit le volume occupé par une mole d’eau :

$$\begin{aligned} V_m (\text{eau}) &= M(\text{eau})\times V(\text{eau}) \\ &= \dfrac{ M(\text{eau}) }{ \rho_{\text{eau}}} \\ &= 18\times10^{-3}\ \text{L}\cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned}$$

Le volume molaire des gaz

Un gaz tend à occuper tout l’espace disponible. D’après la loi de Mariotte, le volume occupé par une quantité donnée de gaz dépend de sa pression, égale à la pression extérieure exercée sur le gaz.
Or la pression, c’est-à-dire la quantité de chocs entre particules du gaz, dépend de la vitesse d’agitation thermique de ces particules, c’est-à-dire la température.

• L’hypothèse formulée par le physicien italien Amedeo Avogadro en 1811 est que le volume occupé par une mole de gaz dépend uniquement de ces deux paramètres physiques.

Cette hypothèse a priori étonnante est vérifiée lors de la décomposition de l’eau. Cette réaction chimique produit du dioxygène et du dihydrogène selon l’équation :

$$2 \text{H}_2 \text{O} \to 2 \text{H}_2+ \text{O}_2$$

Les deux gaz sont récupérés séparément et leurs volumes sont mesurés :

• le volume de dihydrogène obtenu est le double de celui de dioxygène ;
• lors de la recomposition, le volume de vapeur d’eau obtenu est égal au volume du dihydrogène produit.

À retenir

Le volume molaire des gaz ne dépend que de la température et de la pression, pas de sa composition. Dans les conditions usuelles, il vaut :

$$V_m \approx 22,4\ \text{L}\cdot \text{mol}^{-1}$$

Détermination d’une quantité de matière et d’une masse volumique

Dans les conditions usuelles de température et pression, le volume molaire de l’air est : $V_m \approx 22,4\ \text{L}\cdot \text{mol}^{-1}$.

• Une respiration « normale », calme, fait entrer dans les poumons un volume $V\approx0,5\ \text{L}$ d’air frais.

La quantité d’air frais entrant est :

$$\begin{aligned} n_{\text{air}} &= \dfrac{V}{V_m}\\ &\approx \dfrac{0,5}{22,4} \\ &\approx 2,2\times10^{-2}\ \text{mol} \end{aligned}$$

L’air inspiré contient $20\ \%$ de dioxygène en quantité de matière. La quantité de ce gaz apporté par une inspiration profonde vaut donc :

$$\begin{aligned} n_{\text{O}_2} &= 0,2\times n_{\text{air}} \\ &\approx 4,5\times10^{-3}\ \text{mol} \end{aligned}$$

Dans les mêmes conditions, l’air et l’hélium ont le même volume molaire. Leurs masses volumiques peuvent être déterminées d’après leurs masses molaires :

$$\begin{aligned} \rho_{\text{He}} = \dfrac{ M(\text{He})}{V_m} \\ \rho_{\text{air}} = \dfrac{ M(\text{air})}{V_m} \end{aligned}$$

Or l’hélium a pour masse molaire : $M(\text{He}) \approx 4\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}$.

L’air est principalement constitué de diazote ($80\ \%$ en quantité de matière) et de dioxygène ($20\ \%$ en quantité de matière), sa masse molaire vaut donc :

$$\begin{aligned} M(\text{air}) &= 0,8\times M(\text{N}_2) + 0,2\times M(\text{O}_2) \\ &\approx 0,8\times2\times14 + 0,2\times2\times16 \\ &\approx 29\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned}$$

Donc les masses volumiques valent :

$$\begin{aligned} \rho_{\text{He}} &\approx \dfrac{4}{22,4} \\ &\approx 0,18 \text{g}\cdot\ \text{L}^{-1} \\ &\approx 0,18 \text{kg}\cdot\ \text{m}^{-3} \\ \\ \rho_{\text{air}} &\approx \dfrac{29}{22,4} \\ &\approx 1,29\ \text{g}\cdot \text{L}^{-1} \\ &\approx 1,29\ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3} \end{aligned}$$

• L’hélium est beaucoup moins dense que l’air, c’est pourquoi un ballon d’hélium peut s’élever en altitude.