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La musique ou l'art de faire entendre les nombres

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La gamme de Pythagore

  • En musique, pour « comparer » les notes, on évalue l’intervalle qui les sépare.
  • Deux sons dont le rapport de leurs fréquences fondamentales est 21\dfrac{2}{1} (=2=2) correspondent à une même note. L’intervalle les séparant est appelé une octave.
  • L’octave permet ainsi de définir les gammes, c’est-à-dire le nombre de notes comprises dans une octave. Pour construire une gamme, dans l’Antiquité, on se basait sur la consonance des sons.
  • Pour construire la gamme de Pythagore, les pythagoriciens se sont basés sur la consonance des sons dans des rapports de 21\dfrac{2}{1} (octave) et 32\dfrac{3}{2} (quinte).
  • La méthode de composition de la gamme de Pythagore est la suivante :
  • on choisit une note de référence, do=1do = 1 par exemple ;
  • on applique le rapport choisi (32\dfrac{3}{2}) pour trouver la note consonante : note2=32\text{note}\,2 =\dfrac{3}{2} ;
  • on reproduit cette même technique pour trouver les notes suivantes. Ces notes doivent se trouver dans une même octave : si ce n’est pas le cas (résultat > 21\dfrac{2}{1}), on divise le résultat par 22 ;
  • il suffit ensuite de classer les rapports de façon croissante pour obtenir les notes de la gamme dans l’ordre.
  • La gamme la plus courante est la gamme diatonique : elle contient 7 notes (dodo, reˊ, mimi, fafa, solsol, lala, sisi).
  • La gamme chromatique contenant 12 notes (dont 5 notes altérées à l’aide du dièse et du bémol) permet de faciliter la transposition des mélodies.
  • Cependant, dans la gamme chromatique, la différence entre deux rapports successifs n’a pas une valeur constante, ce qui pose des problèmes lors des transpositions. De plus, la fréquence du sisi\sharp n’est pas égale à celle du dodo, alors qu’elle devrait l’être.
  • La légère différence entre ces deux notes, appelée le comma pythagoricien, est à l’origine de l’élaboration d’une nouvelle gamme dite « tempérée ».

La gamme tempérée

  • À la fin du XVIIe siècle, une gamme comportant 12 intervalles égaux est élaborée par le mathématicien Andreas Werckmeister.
  • L’idée de cette gamme est de répartir le comma pythagoricien pour obtenir des rapports entre les notes parfaitement égaux.

IMG1

  • En termes de fréquence, une octave correspond à une multiplication par 22. Ce qui peut s’écrire : fdo2fdo1=2=a12\dfrac{f\,do2}{f\,do1}=2=a^{12} On obtient alors :

a=122a=^{12}\sqrt 2 soit a=2112a=2^{\frac{1}{12}}

  • Dans la gamme tempérée, l’intervalle séparant deux notes successives, appelé demi-ton, est toujours le même et vaut 21122^{\frac{1}{12}}.
  • La connaissance des nombres irrationnels en mathématiques a permis une évolution dans le domaine musical.
  • Avantages de la gamme tempérée :
  • les intervalles entre toutes les notes étant égaux, on peut aisément transposer une mélodie ;
  • les notes sont les mêmes (en termes de fréquence) quel que soit l’instrument utilisé, permettant un essor de la musique d’orchestre.
  • Inconvénient de la gamme tempérée :
  • les intervalles basés sur des considérations mathématiques font perdre de la justesse aux notes.