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Le champ gravitationnel

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Introduction :

La Lune tourne autour de la Terre. La Terre, les autres planètes et de nombreux petits astres tournent autour du Soleil. Ces mouvements orbitaux sont rendus possibles par l’attraction gravitationnelle.

Le 21 juillet 1969, des humains marchaient sur la Lune pour la première fois. Les vidéos de cette expédition et des suivantes montrent les spationautes se déplaçant par des bonds prodigieux. On dit même que, là-haut, un humain pourrait soulever une petite voiture. Tout est « plus léger » à la surface de la Lune car la gravité y est différente.

L’interaction gravitationnelle est une des quatre interactions fondamentales. Les trois autres sont :

  • l’interaction électromagnétique, dont certaines manifestations sont présentées dans le chapitre suivant ;
  • l’interaction forte, qui assure la cohésion du noyau atomique et intervient dans la radioactivité de type alpha ou gamma ;
  • l’interaction faible, qui intervient dans la radioactivité beta.

Ce chapitre présente les caractéristiques de l’attraction gravitationnelle. Nous verrons que plusieurs grandeurs permettent de la représenter : des forces (poids et force gravitationnelle), une énergie potentielle, un champ.

La pesanteur

La masse et le poids

Considérons le système constitué du spationaute mentionné plus haut.
Sa masse est la somme des masses de tous les atomes et molécules le composant. Elle est donc la même sur la Terre, sur la Lune, ou dans le vide interplanétaire.
Le poids est une force exercée sur le spationaute se trouvant à la surface d’un astre. D’après les images d’archives, le poids du spationaute est moindre sur la Lune que sur la Terre.

bannière à retenir

À retenir

La masse d’un objet ne dépend que de sa composition.
Son poids dépend de l’astre à la surface duquel il se trouve.

L’accélération de pesanteur

Comparons le poids P\vec P du spationaute sur la Lune à son poids P\vec P sur la Terre :
Pspationaute sur la Lune<Pspationaute sur la Terre\big\Vert\vec P\text{spationaute sur la Lune}\big\Vert < \big\Vert\vec P\text{spationaute sur la Terre}\big\Vert

En remplaçant chaque force par son expression :
mspationaute×g Lune<mspationaute×g Terrem\text{spationaute}\times\Vert\vec g\text{ Lune}\Vert < m\text{spationaute}\times\Vert\vec g\text{ Terre}\Vert

Et donc :
g Lune<g Terre\Vert\vec g\text{ Lune}\Vert < \Vert\vec g\text{ Terre}\Vert

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Définition

Accélération de pesanteur :

L’accélération de pesanteur, notée g\vec{g}, est égale au poids du système divisé par sa masse :

g=Pm\vec g=\dfrac{\vec P}{m}

Elle dépend de l’astre à la surface duquel se trouve le système.

  • La norme de l’accélération de pesanteur s’exprime en ms2\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.
    Elle peut aussi s’exprimer en Nkg1\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}.
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Exemple

Sur Terre, g9,81 ms2\Vert\vec g\Vert\approx9,81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}.

La force gravitationnelle et l’énergie potentielle de gravitation

La force de pesanteur est une expression particulière de la force gravitationnelle.

Expression de la force gravitationnelle

L’attraction gravitationnelle de la Terre s’exerce sur les êtres et objets se déplaçant à sa surface : c’est le poids.
Elle s’exerce aussi, par exemple, sur les spationautes de la station internationale. À nouveau, ceux-ci sont bien plus « légers » lors de leurs sorties extravéhiculaires qu’à la surface de la Terre.

  • La force gravitationnelle exercée par l’astre autour duquel le système se déplace est donc d’autant plus faible que la distance à cet astre est élevée.
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Définition

Force gravitationnelle :

La force gravitationnelle exercée par un point matériel AA de masse mAmA sur un point matériel BB de masse mBmB situé à une distance rABr_{AB} s’écrit :

FA/B=GmAmBrAB2u=FB/A\begin{aligned} \vec F{A/B}&=-G\cdot\dfrac{mA\cdot mB}{r{AB}^2}\cdot\vec{u} \ &=-\vec F_{B/A} \end{aligned}

Avec :

  • u\vec{u} le vecteur unitaire dirigé de AA vers BB,
  • GG la constante universelle de gravitation :

G6,67×1011 SI6,67×1011 Nm2kg2\begin{aligned} G&\approx 6,67\times10^{-11}\ \text{SI} \ &\approx 6,67\times10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2} \end{aligned}

Img-01 Force gravitationnelle exercée entre les corps A et B (à commander – ajouter \vec F_{B/A})

  • La force gravitationnelle, comme toutes les forces, s’exprime en newton (N\text{N}).

Propriétés de la force gravitationnelle

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À retenir

La force gravitationnelle est attractive :

  • la force exercée par AA sur BB est dirigée vers AA ;
  • l’action réciproque exercée par BB sur AA est dirigée vers BB.
  • Cette force s’exerce entre deux points matériels de nature quelconque.

Par exemple, elle s’exerce aussi entre le noyau et les électrons d’un atome, ou encore entre le spationaute et la station internationale. Cependant, cette force est d’autant plus intense que les masses en jeu sont élevées. À la surface de la Terre ou à l’altitude de la station internationale, on ressent donc principalement l’attraction de la Terre.
La norme de cette force est d’autant plus faible que la distance entre les deux points matériels est importante. Elle est donc moins intense à l’altitude de la station spatiale qu’à la surface.

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Attention

Si plusieurs objets exercent sur le système des forces de normes comparables, il faut en calculer la somme vectorielle pour étudier le mouvement du système.
C’est le cas par exemple du phénomène des marées. Celles-ci sont un déplacement d’eau à la surface des océans, dû à l’attraction gravitationnelle exercée par la Lune et par le Soleil. La Lune est beaucoup plus légère que le Soleil mais aussi beaucoup plus proche, ainsi les deux effets sont comparables.

  • L’amplitude de la marée dépend donc de la configuration géométrique du système Soleil-Terre-Lune.

Img-02 Forces exercées par la Lune et le Soleil sur les marées (à commander – plutôt placer la Lune entre le Soleil et la Terre)

L’énergie potentielle de gravitation

Considérons un objet en chute libre. Au cours de sa chute, sa vitesse augmente. La hauteur à laquelle était placé cet objet lui conférait une énergie qui peut être transformée en mouvement : elle est donc appelée énergie potentielle. Comme elle est due à l’attraction gravitationnelle exercée sur l’objet, elle est appelée énergie potentielle de gravitation.

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Définition

Énergie potentielle de gravitation :

L’énergie potentielle de gravitation d’un objet BB, de masse mBmB, situé à une distance rABr{AB} d’un objet AA, de masse mAm_A, s’écrit :

Ep,g(B)=GmAmBrABE\text{p,g}(B)=-G\cdot\dfrac{mA\cdot mB}{r{AB}}

  • L’énergie potentielle de gravitation, comme toute énergie, s’exprime en joule (J\text{J}).
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À retenir

La force gravitationnelle exercée par AA sur BB et l’énergie potentielle gravitationnelle de BB sont liées par la relation :

FA/B=dEp,gdrABu\vec F{A/B}=-\dfrac{dE\text{p,g}}{dr_{AB}}\cdot\vec{u}

L’action exercée par AA sur BB est d’autant plus faible que la distance rABr{AB} est grande.
Ep,gE
{p,g} tend vers 00 à la limite où rABr_{AB} tend vers l’infini.

  • Quand rABr{AB} diminue, l’énergie potentielle Ep,gE\text{p,g} diminue aussi.
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Attention

La valeur absolue de Ep,gE\text{p,g} et la norme de la force semblent devenir infinies à la limite où rABr{AB} tend vers 00.
Physiquement, cela n’arrive pas. En effet, les deux points matériels représentent des objets solides ayant des dimensions finies.

  • Par exemple, si AA est la Terre et que BB est un ballon, rABr{AB} ne peut pas être inférieure à la somme de leurs rayons : rA+rBrA+r_B.

Img-03 // (à commander)

Le champ gravitationnel

Notion de champ gravitationnel

Considérons un objet massif AA, par exemple la Terre, et deux points matériels BB et CC situés à la même distance rr de AA, par exemple deux satellites en orbite à la même altitude. Les forces exercées sur BB et CC diffèrent si leurs masses diffèrent. Cependant, l’action est exercée par le même objet, et de la même distance.

  • Ce point commun s’écrit sous la forme d’un champ.
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Définition

Champ gravitationnel :

Le champ gravitationnel représente l’action à distance exercée par tout objet massif, en tous les points de l’espace autour de lui.

  • Le champ gravitationnel exercé par un point matériel AA de masse mAm_A, en un point MM quelconque situé à une distance rr de AA, s’écrit :

GA(M)=GmAr2u\vec GA(M)=-G\cdot\dfrac{mA}{r^2}\cdot\vec u

Avec u\vec{u} le vecteur unitaire dirigé de AA vers MM.

  • Le champ gravitationnel s’exprime en Nkg1\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}.
    Il peut aussi s’exprimer dans une unité équivalente, le ms2\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.
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À retenir

Si en un point MM quelconque se trouve un objet de masse mm, la force gravitationnelle exercée par A sur M est égale à :

FA/M=mGA(M)\vec F{A/M}=m\cdot\vec GA(M)

L’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet situé au point MM dans le champ gravitationnel de AA vérifie la relation :

GA(M)=1mdEp,g(M)dru\vec GA(M)=-\dfrac{1}{m}\cdot\dfrac{d E\text{p,g}(M)}{dr}\cdot\vec{u}

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Attention

Le champ gravitationnel est une grandeur vectorielle, de même orientation que le vecteur AM\overrightarrow{AM\,} et de sens opposé. Sa norme peut avoir la même valeur en plusieurs points sans que le vecteur GA\vec G_A soit le même.

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Attention

Dans le cas de plusieurs points matériels, il faut considérer la somme vectorielle des champs gravitationnels exercés en chaque point.

  • Dans l’exemple des marées, le champ gravitationnel total exercé au niveau de la surface de l’océan est la somme des champs dus au Soleil et à la Lune.

Les lignes de champ gravitationnel

D’après l’écriture ci-dessus, la norme du champ gravitationnel au point MM ne dépend que de la masse de l’objet AA et de la distance r=AMr=AM.

  • Le champ gravitationnel a la même norme en tous les points situés à une même distance rr de AA.
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Définition

Ligne de champ gravitationnel :

Une ligne de champ gravitationnel est un ensemble des points où la norme du champ gravitationnel a la même valeur.

  • Si un seul point matériel exerce une attraction gravitationnelle, les lignes de champ dans le plan de l’étude sont des cercles, dont le centre est ce point matériel.

Img-04 Lignes de champ gravitationnel (à commander)

Conclusion :

L’interaction gravitationnelle s’exerce entre points matériels et peut être décrite à l’aide de différentes grandeurs :

  • une force attractive, la force de gravitation ;
  • l’énergie potentielle de gravitation, conférée à tout point matériel par la présence d’un point matériel AA ; si BB est en chute libre vers AA, cette énergie est convertie en mouvement ;
  • le champ gravitationnel représente l’action à distance exercée par un point matériel, définie en tous les points de l’espace autour de lui, qu’ils soient ou non la position de points matériels ; une ligne de champ est un ensemble de points de l’espace où la norme du champ gravitationnel a la même valeur.