Fiche de révision Le champ gravitationnel

La pesanteur

• La masse d’un système est la somme des masses de tous les atomes et molécules le composant. Elle ne dépend que de sa composition.
• Le poids d'un système est une force. Il dépend de l’astre à la surface duquel il se trouve.
• L’accélération de pesanteur, notée $\vec{g}$, est égale au poids du système divisé par sa masse :

$$\vec g=\dfrac{\vec P}{m}$$

• La norme de l’accélération de pesanteur s’exprime en $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ ou en $\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$.

La force gravitationnelle et l’énergie potentielle de gravitation

• La force gravitationnelle exercée par un point matériel $A$ de masse $m_A$ sur un point matériel $B$ de masse $m_B$ situé à une distance $r_{AB}$ s’écrit :

$$\begin{aligned} \vec F_{A/B}&=-G\cdot\dfrac{m_A\cdot m_B}{r_{AB}^2}\cdot\vec{u} \\ &=-\vec F_{B/A} \end{aligned}$$

• $\vec{u}$ est le vecteur unitaire dirigé de $A$ vers $B$ ;
• $G$ est la constante universelle de gravitation $\approx 6,67\times10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$ ;
• la force gravitationnelle est attractive :
• la force exercée par $A$ sur $B$ est dirigée vers $A$,
• l’action réciproque exercée par $B$ sur $A$ est dirigée vers $B$ ;
• la force de pesanteur est une expression particulière de la force gravitationnelle.
• L’énergie potentielle de gravitation d’un objet $B$, de masse $m_B$, situé à une distance $r_{AB}$ d’un objet $A$, de masse $m_A$, s’écrit :

$$E_{p,g}(B)=-G\cdot\dfrac{m_A\cdot m_B}{r_{AB}}$$

• l’énergie potentielle de gravitation s’exprime en joule ($\text{J}$) ;
• la force gravitationnelle exercée par $A$ sur $B$ et l’énergie potentielle gravitationnelle de $B$ sont liées par la relation :

$$\vec F_{A/B}=-\dfrac{dE_{p,g}}{dr_{AB}}\cdot\vec{u}$$

• quand $r_{AB}$ diminue, l’énergie potentielle $E_{p,g}$ diminue aussi.

Le champ gravitationnel

• Le champ gravitationnel représente l’action à distance exercée par tout objet massif, en tous les points de l’espace autour de lui.
• Le champ gravitationnel exercé par un point matériel $A$ de masse $m_A$, en un point $M$ quelconque situé à une distance $r$ de $A$, s’écrit :

$$\vec G_A(M)=-G\cdot\dfrac{m_A}{r^2}\cdot\vec u$$

• Le champ gravitationnel s’exprime en $\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ ou en $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$.
• Si en un point $M$ quelconque se trouve un objet de masse $m$, la force gravitationnelle exercée par A sur M est égale à :

$$\vec F_{A/M}=m\cdot\vec G_A(M)$$

• L’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet situé au point $M$ dans le champ gravitationnel de $A$ vérifie la relation :

$$\vec G_A(M)=-\dfrac{1}{m}\cdot\dfrac{d E_{p,g}(M)}{dr}\cdot\vec{u}$$

• Une ligne de champ gravitationnel est une courbe orientée, tangente en chacun de ses points aux vecteurs du champ gravitationnel. Elle décrit l’orientation et le sens du champ.
• Les lignes de champ gravitationnel sont orientées vers le centre de gravité du système.