Le second degré

Fonction polynôme du second degré

Définition

Définition

Fonction polynôme du second degré :

• Une fonction polynôme de degré $2$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont l’expression algébrique peut être mise sous la forme : $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$.
• Les réels $a$, $b$ et $c$ sont appelés coefficients de la fonction polynôme.
• L’expression $ax^2+bx+c$ est la forme développée de $f(x)$, appelée aussi trinôme du second degré.

Exemple :

• La fonction $f(x)=-2x^2+3x+1$ est un polynôme du second degré. Elle est définie sur $\mathbb{R}$. Ses coefficients sont : $a=-2$ ; $b=3$ ; $c=1$.
• La fonction $g(x)=(x-1)(2x+3)$ est également un polynôme du second degré, mais elle est plus difficile à repérer car elle n’est pas sous sa forme développée.

En utilisant la double distributivité, on transforme :
$\begin{aligned} g(x)&=(x-1)(2x+3) \ &=2x^2+3x-2x-3 \ &=2x^2+x-3 \end{aligned}$.
Les coefficients sont donc : $a=2$ ; $b=1$ ; $c=-3$.

Forme canonique

Propriété

Toute fonction polynôme de degré $2$ (de forme développée $ax^2+bx+c$) admet une écriture de la forme : $a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=-\dfrac{b} {2a}$ et $\beta=f (\alpha)$. Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.

Exemple :
$f(x)=2x^2+4x-3$

$\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\times2}=-\dfrac{4}{4}=-1$

$\begin{aligned} \beta=f(\alpha)&=f(-1) \ &=2\times(-1)^2+4\times(-1)-3 \ &=2-4-3 \ &=-5\end{aligned}$

$\begin{aligned}f(x)&=2\big(x-(-1)\big)^2+(-5) \ &=2(x+1)^2-5\end{aligned}$

• La forme canonique est donc : $f(x) = 2(x + 1)^2-5$.

Variations d’un polynôme du second degré

Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$ :

• Si $a>0$, $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$, puis strictement croissante sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ :

$f$ admet un minimum $\beta$, atteint en $x=\alpha$.

La courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S$ de coordonnées $(\alpha\ ;\ \beta)$ et avec les branches tournées vers le haut.

• Si $a<0$, $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$, puis strictement décroissante sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ :

$f$ admet un maximum $\beta$, atteint en $x=\alpha$.

La courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S$ de coordonnées $(\alpha\ ;\ \beta)$ et avec les branches tournées vers le bas.

Astuce

Pour trouver le minimum et le maximum d’une fonction, on peut appliquer un algorithme sur une calculatrice (Casio ou TI).

Équation du second degré

Résolution d’une équation du second degré

Définition

Équation du second degré :

• Une équation du second degré, d’inconnue $x$, est une équation qui peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels donnés, avec $a\neq0$.
• Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme $ax^2+bx+c$.

Propriété

Pour résoudre une équation du type $ax^2+bx+c=0$, on calcule tout d’abord le discriminant $\Delta$ du trinôme $ax^2+bx+c$.

$\Delta=b^2-4ac$

• Si $\Delta>0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions distinctes :
  $x$1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}} {2a}x1​=2a−b−Δ​​ et $x$2=\dfrac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}
• Si $\Delta=0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution :
  $x_0=-\dfrac{b}{2a}$
• Si $\Delta<0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution.

Démonstration

$f(x)=ax^2+bx+c$ admet une écriture de la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ (forme canonique), où $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f (\alpha)$.

$\begin{aligned} \beta=f(\alpha)&=f(-\dfrac{b}{2a}) \ &=a{(-\dfrac{b}{2a})}^2+b\times(-\dfrac{b}{2a})+c \ &=\dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2}{2a})+c \ &=c-\dfrac{b^2}{4a} \ &=\dfrac{4ac-b^2}{4a} \ &=\dfrac{b^2-4 ac}{4a} \end{aligned}$

Donc :
$\begin{aligned} f(x)&=a\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a} \ &=a\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{\Delta}{4a} \ &=a\bigg(\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{\Delta} {4a^2}\bigg) \end{aligned}$.

• Si $\Delta<0$

$\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$, car c’est la somme d’un terme positif et d’un terme strictement positif.

$a\neq0$, donc l’équation $f(x)=ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution.

• Si $\Delta=0$

$f(x)=a\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2$, donc l’équation $f(x) = ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution :

$x_0=-\dfrac{b}{2a}$.

• Si $\Delta>0$

$\begin{aligned} f(x)&=a\bigg(\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{{\sqrt{\Delta}}^2}{4a^2}\bigg) \ &=a\bigg(\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\Big(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)^2\bigg) \ &=a\Big(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)\Big(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big) \ &= a\Big(x-\dfrac{-b+\sqrt{ \Delta}}{2a}\Big)\Big(x-\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\Big) \end{aligned}$

On obtient les deux solutions distinctes :
$x$1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}x1​=2a−b−Δ​​ et $x$2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

Exemples :

• Résoudre l’équation : $-5x^2-9x+2=0$.

$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=(-9)^2-4\times(-5)\times2 \ &=81+40 \ \Delta&=121 \end{aligned}$

Comme $\Delta$ est strictement positif, l’équation admet deux solutions distinctes :

• $\begin{aligned} x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}&=\dfrac{9-\sqrt{121}}{2\times(-5)} \ &=\dfrac{9-11}{-10} \ &=\dfrac{-2}{-10} \ &=\dfrac{1}{5} \end{aligned}$
• $\begin{aligned} x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}&=\dfrac{9+\sqrt{121}}{2\times(-5)} \ &=\dfrac{9+11}{-10} \ &=\dfrac{20}{-10} \ &=-2\end{aligned}$

Donc : $S= \left\lbrace-2\ ;\ \dfrac{1}{5}\right\rbrace$.

• Résoudre l’équation : $\dfrac{1}{3}x^2-2x +3=0$.

$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=(-2)^2-4\times\dfrac{1}{3}\times3 \ &=4-4 \ \Delta&=0 \end{aligned}$

Comme $\Delta$ est nul, l’équation admet une unique solution :

• $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{(-2)}{2\times\frac{1}{3}}=\dfrac{2}{\frac{2}{3}}=2\times\dfrac{3}{2}=3$

Donc : $S=\lbrace3\rbrace$.

• Résoudre l’équation : $3x^2-x+2=0$.

$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=(-1)^2-4\times3\times2 \ &=1-24 \ \Delta&=-23 \end{aligned}$

• Comme $\Delta$ est strictement négatif, l’équation n’admet pas de solution.

Donc : $S=\varnothing$.

Astuce

Le symbole $\varnothing$ se lit « ensemble vide ».

Somme et produit des solutions d’une équation du second degré

Soit $ax^2+bx+c=0$ une équation du second degré, avec $a\neq0$ et $\Delta\geq0$ (c’est-à-dire qu’elle a deux solutions $x$1x1​ et $x$2, ou une solution double $x$1=x2).

On note $S=x$1+x2 la somme des deux solutions, et $P=x$1\times x2 leur produit.

Propriété

Pour une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq0$ et $\Delta\geq0$), la somme des deux solutions est $S=-\dfrac{b}{a}$, et leur produit $P=\dfrac{c}{a}$.

Démonstration

• Si $\Delta>0$

$\begin{aligned} S&=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ &=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ &=\dfrac{-2b}{2a} \ &=-\dfrac{b}{a} \end{aligned}$.

$\begin{aligned} P&=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\times\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ &= \dfrac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} \ &=\dfrac{b^2-\Delta}{4a^2} \ &=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \ &=\dfrac{4ac}{4a^2} \ &=\dfrac{c}{a} \end{aligned}$
en utilisant l’identité remarquable $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

• Si $\Delta = 0$

$\begin{aligned}S&=\dfrac{-b}{2a}+\dfrac{-b}{2a} \ &=\dfrac{-2b}{2a} \ &=-\dfrac{b}{a}\end{aligned}$

$\begin{aligned} P&=\dfrac{-b}{2a}\times\frac{-b}{2a} \ &=\dfrac{b^2}{4a^2} \ &=\dfrac{4ac}{4a^2} \ &=\frac{c}{a} \end{aligned}$
car $\Delta = b^2 - 4ac = 0$, donc $b^2 = 4ac$.

Exemple :
Pour l’équation du second degré $-5x^2-9x+2=0$, telle que $\Delta=121>0$, la somme des deux solutions est $S=-\frac{9}{5}$, et leur produit $P=-\frac{2}{5}$.

Astuce

Si on connaît une (évidente ou non) des deux solutions d’une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq0$), on peut déterminer la deuxième en utilisant leur somme $S=-\dfrac{b}{a}$, ou leur produit $P=\dfrac{c}{a}$.

Exemple :
Pour résoudre l’équation du second degré $x^2+2x-3=0$, on calcule $\Delta=2^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0$.
L’équation a deux solutions distinctes et on s’aperçoit que $1$ est solution, car $1^2+2-3=0$.
Étant donné que $S=-\dfrac{b}{a}=-2$ et $P=\dfrac{c}{a}=-3$, on en déduit facilement que la deuxième solution de cette équation est $-3$.

Factorisation du trinôme

Propriété

Soit $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$, un trinôme du second degré :

• Si le discriminant du trinôme est strictement positif ($\Delta>0$), $f(x)=a(x-x$1)(x-x2), où $x$1x1​ et $x$2 sont les racines du trinôme.
• Si le discriminant du trinôme est strictement nul ($\Delta=0$), $f(x)=a(x-x$0)^2f(x)=a(x−x0​)2, où $x$0 est la racine du trinôme.
• Si le discriminant du trinôme est strictement négatif ($\Delta<0$), alors $f(x)$ ne se factorise pas.

Exemple :

• Le trinôme $-5x^2-9x+2$ admet pour racines $S=\left\lbrace-2\ ;\ \dfrac{1}{5}\right\rbrace$.

La forme factorisée est donc :
$\begin{aligned}a(x-x$1)(x-x2)&=-5\Big(x-\big(-2\big)\Big)\Big(x-\dfrac{1}{5}\Big)\&=-5(x+2)\Big(x-\dfrac{1}{5}\Big)\end{aligned}

• Le trinôme $\dfrac{1}{3}x^2-2x+3$ avait une unique racine $S=\lbrace3\rbrace$.

La forme factorisée est donc :
$a(x-x_0)^2=\dfrac{1}{3}(x-3)^2$

• Le trinôme $3x^2-x+2$ n’a aucune racine. Il n’existe donc pas de forme factorisée.

Signe du trinôme et résolution d’une inéquation du second degré

Signe du trinôme

Astuce

Veiller à bien ranger les racines dans l’ordre croissant dans la première ligne des tableaux de signes.

Propriété

On considère le trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ :

• Dans le cas où $\Delta>0$, le trinôme est du signe de $a$ sur $]-\infty\ ;\ x$1[]−∞ ; x1​[ et sur $]x$2\ ;\ +\infty[, et du signe contraire de $a$ sur $]x$1\ ;\ x2[.

• Dans le cas où $\Delta=0$, le trinôme est du signe de $a$ pour tout réel $x\ne x$0x​=x0​ et le trinôme s’annule pour $x=x$0.

• Dans le cas où $\Delta<0$, pour tout réel $x$, le trinôme est du signe de $a$.

Exemple

• Étudier le signe de $-5x^2-9x+2$ sur $\mathbb{R}$.

Le trinôme $-5x^2-9x+2$ admet pour racines $S=\left\lbrace-2\ ;\ \dfrac{1}{5}\right\rbrace$, de plus, $a=-5<0$, donc le trinôme est négatif à l’extérieur des racines ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

• Étudier le signe de $\dfrac{1}{3}x^2-2x+3$ sur $\mathbb{R}$.

Le trinôme $\dfrac{1}{3}x^2-2x+3$ admet pour racine unique $S=\lbrace3\rbrace$, de plus, $a=\dfrac{1}{3}>0$, donc le trinôme est positif pour tout $x\neq3$ ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

• Étudier le signe de $3x^2-x+2$ sur $\mathbb{R}$.

Le trinôme $3x^2-x+2$ n’a aucune racine, de plus $a=3>0$ donc le trinôme est positif pour tout réel $x$ ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

Résolution d’inéquations du second degré

À retenir

En construisant un tableau de signes, il est possible de résoudre n’importe quelle inéquation du second degré.

Exemple

• Résoudre l’inéquation : $-5x^2-9x+2\geq0$.

Pour résoudre cette inéquation, on utilise le tableau de signes correspondant, on regarde sur quel intervalle le trinôme est positif et on note l’ensemble solution : $S=\Big[-2\ ;\dfrac{1}{5}\Big]$.

• Résoudre l’inéquation $3x^2-x+2<0$.

De même, pour résoudre $3x^2-x+2<0$, on utilise le tableau de signes correspondant : on voit qu’il n’existe aucun intervalle où le trinôme est négatif et on note l’ensemble de solution : $S=\varnothing$.