Le second degré

Fonction polynôme du second degré

Définition

Définition

Fonction polynôme du second degré :

• Une fonction polynôme de degré $2$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont l’expression algébrique peut être mise sous la forme : $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$.
• Les réels $a$, $b$ et $c$ sont appelés coefficients de la fonction polynôme.
• L’expression $ax^2+bx+c$ est la forme développée de $f(x)$.

Exemple :

• La fonction $f:x\mapsto f(x)=-2x^2+3x+1$ est une fonction polynôme du second degré. Elle est définie sur $\mathbb{R}$. Ses coefficients sont : $a=-2$ ; $b=3$ ; $c=1$.
• La fonction $g:x\mapsto g(x)=(x-1)(2x+3)$ est également une fonction polynôme du second degré, mais elle est plus difficile à repérer car elle n’est pas sous sa forme développée.

En utilisant la double distributivité, on transforme :
$\begin{aligned} g(x)&=(x-1)(2x+3) \\ &=2x^2+3x-2x-3 \\ &=2x^2+x-3 \end{aligned}$.
Les coefficients sont donc : $a=2$ ; $b=1$ ; $c=-3$.

Forme canonique

Propriété

Toute fonction polynôme de degré $2$ (de forme développée $ax^2+bx+c $) admet une écriture de la forme : $a(x-\alpha)^2+\beta $, où $\alpha=-\dfrac{b} {2a}$ et $\beta=f (\alpha)$. Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.

Exemple :
$f(x)=2x^2+4x-3$

$\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\times2}=-\dfrac{4}{4}=-1$

$\begin{aligned} \beta=f(\alpha)&=f(-1) \\ &=2\times(-1)^2+4\times(-1)-3 \\ &=2-4-3 \\ &=-5\end{aligned}$

$\begin{aligned}f(x)&=2\big(x-(-1)\big)^2+(-5) \\ &=2(x+1)^2-5\end{aligned}$

• La forme canonique est donc : $f(x) = 2(x + 1)^2-5$.

Variations d’une fonction polynôme du second degré

Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$ :

• Si $a>0$, $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$, puis strictement croissante sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ :

$f$ admet un minimum $\beta$, atteint en $x=\alpha$.

La courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S$ de coordonnées $(\alpha\ ;\ \beta)$ et avec les branches tournées vers le haut.

• Si $a<0$, $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$, puis strictement décroissante sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ :

$f$ admet un maximum $\beta$, atteint en $x=\alpha$.

La courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S$ de coordonnées $(\alpha\ ;\ \beta)$ et avec les branches tournées vers le bas.

Racines d’une fonction polynôme du second degré

Dans cette partie, $f$ désigne une fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a$, $b$ et $c$ des réels, et $a\neq 0$.

Équation du second degré

Définition

Racine d’une fonction et équation du second degré :

On appelle racine de la fonction $f$ tout nombre réel $r$ tel que $f(r)=0$.
Autrement dit, une racine $r$ de $f$ est une solution de l’équation $ax^2+bx+c=0$, appelée équation du second degré.

Ainsi, rechercher les racines de $f$ revient à résoudre l’équation $f(x)=0$. Nous allons donc voir comment résoudre de telles équations du second degré.

Définition

Discriminant :

On appelle discriminant de la fonction $f$ le nombre : $\Delta=b^2-4ac$.

Propriété

Pour résoudre une équation du type $ax^2+bx+c=0$, on calcule tout d’abord le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta>0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions distinctes :
  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}} {2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}$
• Si $\Delta=0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution :
  $x_0=-\dfrac{b}{2a}$
• Si $\Delta<0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution réelle.

Démonstration

$f(x)=ax^2+bx+c$ admet une écriture de la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ (forme canonique), où $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f (\alpha)$.

$\begin{aligned} \beta=f(\alpha)&=f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \\ &=a\times\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2+b\times\left (-\dfrac{b}{2a}\right)+c \\ &=\dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2}{2a}+c \\ &=c-\dfrac{b^2}{4a} \\ &=\dfrac{4ac-b^2}{4a} \\ &=-\dfrac{b^2-4 ac}{4a} \end{aligned}$

Donc :
$\begin{aligned} f(x)&=a\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a} \\ &=a\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{\Delta}{4a} \\ &=a\bigg(\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{\Delta} {4a^2}\bigg) \end{aligned}$.

• Si $\Delta<0$

$\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$, car c’est la somme d’un terme positif et d’un terme strictement positif.

$a\neq0$, donc l’équation $f(x)=ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution.

• Si $\Delta=0$

$f(x)=a\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2$, donc l’équation $f(x) = ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution :

$x_0=-\dfrac{b}{2a}$.

• Si $\Delta>0$

$\begin{aligned} f(x)&=a\bigg(\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{{\sqrt{\Delta}}^2}{4a^2}\bigg) \\ &=a\bigg(\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\Big(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)^2\bigg) \\ &=a\Big(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)\Big(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big) \\ &= a\Big(x-\dfrac{-b+\sqrt{ \Delta}}{2a}\Big)\Big(x-\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\Big) \end{aligned}$

On obtient les deux solutions distinctes :
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Exemples :

• Résoudre l’équation : $-5x^2-9x+2=0$.

$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \\ &=(-9)^2-4\times(-5)\times2 \\ &=81+40 \\ &=121 \end{aligned}$

Comme $\Delta $ est strictement positif, l’équation admet deux solutions distinctes :

$\begin{aligned} x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}&=\dfrac{9-\sqrt{121}}{2\times(-5)} \\ &=\dfrac{9-11}{-10} \\ &=\dfrac{-2}{-10} \\ &=\dfrac{1}{5} \\ \\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}&=\dfrac{9+\sqrt{121}}{2\times(-5)} \\ &=\dfrac{9+11}{-10} \\ &=\dfrac{20}{-10} \\ &=-2\end{aligned}$

Donc : $S= \left\lbrace-2\ ;\ \dfrac{1}{5}\right\rbrace$.

• Résoudre l’équation : $\dfrac{1}{3}x^2-2x +3=0$.

$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \\ &=(-2)^2-4\times\dfrac{1}{3}\times3 \\ &=4-4 \\ &=0 \end{aligned}$

Comme $\Delta $ est nul, l’équation admet une unique solution :

$x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{(-2)}{2\times\frac{1}{3}}=\dfrac{2}{\frac{2}{3}}=2\times\dfrac{3}{2}=3$

Donc : $S=\lbrace3\rbrace$.

• Résoudre l’équation : $3x^2-x+2=0$.

$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \\ &=(-1)^2-4\times3\times2 \\ &=1-24 \\ &=-23 \end{aligned}$

Comme $\Delta$ est strictement négatif, l’équation n’admet pas de solution.
Donc : $S=\varnothing$.

Somme et produit des racines

Propriété

Si $\Delta > 0$, avec $x_1$ et $x_2$ les racines de la fonction $f$ :

• la somme $S$ des racines vaut :
  $S=x_1+x_2=-\dfrac ba$ ;
• le produit $P$ des racines vaut :
  $P=x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}$

Démonstration

Si $\Delta>0$, la fonction $f$ admet pour racines $\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. Donc :

$\begin{aligned} S&=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &=\dfrac{-2b}{2a} \\ &=-\dfrac{b}{a} \\ \\ P&=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\times\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} \\ &=\dfrac{b^2-\Delta}{4a^2} \\ &=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \\ &=\dfrac{4ac}{4a^2} \\ &=\dfrac{c}{a} \end{aligned}$

À retenir

Si on connaît une des deux racines de $f$, on peut, grâce à ces propriétés sur leur somme et leur produit, calculer rapidement l’autre.
Lorsque c’est possible, on cherchera donc si la fonction admet des racines, dites évidentes, parmi : $-2$ ; $-1$ ; $1$ ; $2$.

Exemple :
Soit $g$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=x^2+2x-3=0$.
Le discriminant vaut : $\Delta=2^2-4\times 1\times (-3)=16$, donc $\Delta > 0$ et $g$ admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$.
Or, on s’aperçoit que $x_1=1$ est une racine évidente de $g$, car $g(1)=1^2+2\times 1-3=0$.
En utilisant par exemple la propriété du produit, on a : $x_1\times x_2=-3$, soit $x_2=-3$.
$g$ admet pour racines $1$ et $-3$.

Forme factorisée

Propriété

• Si le discriminant de $f$ est strictement positif ($\Delta>0$), on a :
  $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $f$.
• Si le discriminant est nul ($\Delta=0$), on a :
  $f(x)=a(x-x_0)^2$, où $x_0$ est la racine de $f$.
• Si le discriminant est strictement négatif ($\Delta<0$), alors $f(x)$ ne se factorise pas.

Exemple :
On reprend les résultats de l’exemple de la partie 2.a.

• La fonction $g:x\mapsto -5x^2-9x+2$ admet pour racines $ -2$ et $\dfrac{1}{5}$.
  La forme factorisée est donc :
  $\begin{aligned} g(x)&=-5\big(x-(-2)\big)\left(x-\dfrac 15\right) \\ &=-5(x+2) \left(x-\dfrac 15\right) \end{aligned}$

• La fonction $h:x\mapsto \dfrac{1}{3}x^2-2x+3$ admet pour unique racine $3$.
  La forme factorisée est donc :
  $h(x) =\dfrac{1}{3}(x-3)^2$

• La fonction $x\mapsto 3x^2-x+2$ n’admet pas de racine réelle. Il n’existe donc pas de forme factorisée.

À retenir

Pour déterminer la forme factorisée d’une fonction polynôme du second degré :

• on regardera si on reconnaît une identité remarquable, qui permet de factoriser rapidement l’expression algébrique (c’est le cas quand le discriminant est nul) ;
• on cherchera, lorsque c’est possible, si la fonction admet une racine évidente, dont on déduira la seconde, en utilisant la propriété sur la somme et le produit des racines, comme expliqué dans la partie 2.b ; on pourra alors factoriser ;
• on résoudra sinon, comme indiqué dans la partie 2.a., l’équation du second degré correspondante, afin de déterminer les racines ; on pourra alors factoriser.

Exemple :
La fonction $g$ est définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=\dfrac 14x^2-3x+9$. On cherche la forme factorisée.

• Méthode 1

On reconnaît une identité remarquable :
$\begin{aligned} g(x)&=\dfrac 14x^2-3x+9 \\ &=\dfrac14\left(x^2-12x+36\right) \\ &=\dfrac 14(\purple x^2-2\times \purple x\times \blue 6+\blue 6^2) \\ &=\dfrac 14(x-6)^2 \end{aligned}$

• Méthode 2

On résout l’équation $\dfrac 14x^2-3x+9=0$. Le discriminant vaut :

$\begin{aligned} \Delta&=(-3)^2-4\times \dfrac 14\times 9 \\ &=9-9 \\ &=0 \end{aligned}$

L’équation admet donc une unique solution, qui vaut :
$x_0=-\dfrac {-3}{2\times \frac 14}=6$

$g$ admet pour unique racine $6$. Sa forme factorisée est donc :
$g(x)=\dfrac 14(x-6)^2$

Signe d’un polynôme du second degré et résolution d’une inéquation du second degré

Dans cette partie :

• $f$ désigne une fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a$, $b$ et $c$ des réels, et $a\neq 0$ ;
• $\Delta=b^2-4ac$ désigne le discriminant.

Signe d’un polynôme du second degré

Propriété

• Dans le cas où $\Delta>0$, $f$ admet deux racines réelles distinctes, que l’on note $x_1$ et $x_2$, avec $x_1 < x_2$.
  Et $f(x)$ est du signe de $a$ pour $x\in\ ]-\infty\ ;\ x_1[\ \cup\ ]x_2\ ;\ +\infty[$, et de signe opposé à celui de $a$ sur $]x_1\ ;\ x_2[$.

• Dans le cas où $\Delta=0$, $f$ admet une unique racine réelle, que l’on note $x_0$.
  Et $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x\ne x_0$.

• Dans le cas où $\Delta<0$, pour tout réel $x$, $f(x)$ est du signe de $a$.

Exemple
On se sert des résultats de l’exemple de la partie 2.a.

• Étudier le signe de $-5x^2-9x+2$ sur $\mathbb{R}$.

$-5x^2-9x+2$ s’annule pour $x=-2$ et $x=\dfrac{1}{5}$. De plus, $a=-5$ est strictement négatif, donc $-5x^2-9x+2$ est strictement négatif pour $x\in\ ]-\infty\ ;\,-2[\ \cup\left]\dfrac15\ ;\,+\infty\right[$ et strictement positif pour $x\in\ \left]-2\ ;\, \dfrac 15\right[$ ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

• Étudier le signe de $\dfrac{1}{3}x^2-2x+3$ sur $\mathbb{R}$.

$\dfrac{1}{3}x^2-2x+3$ s’annule pour $x=3$. De plus, $a=\dfrac{1}{3}$ est strictement positif, donc $\dfrac{1}{3}x^2-2x+3$ est strictement positif pour tout $x\neq3$ ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

• Étudier le signe de $3x^2-x+2$ sur $\mathbb{R}$.

Le discriminant est ici strictement négatif. Et $a=3$ est strictement positif, donc $3x^2-x+2$ est strictement positif pour tout réel $x$ ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

Résolution d’inéquations du second degré

À retenir

En construisant un tableau de signes, il est possible de résoudre n’importe quelle inéquation du second degré.

Exemple

• Résoudre l’inéquation : $-5x^2-9x+2\geq0$.

Pour résoudre cette inéquation, on utilise le tableau de signes correspondant, on regarde sur quel intervalle $-5x^2-9x+2$ est positif ou nul et on note l’ensemble solution : $S=\Big[-2\ ;\dfrac{1}{5}\Big]$.

• Résoudre l’inéquation $3x^2-x+2<0$.

De même, pour résoudre $3x^2-x+2<0$, on utilise le tableau de signes correspondant : on voit qu’il n’existe aucun intervalle où le trinôme est négatif et on note l’ensemble de solution : $S=\varnothing$.