Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Le second degré
Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Avant de commencer, regarde la vidéo
Introduction :
Les fonctions polynômes du second degré sont vues pour la première fois en seconde, avec le cas particulier de la fonction carrée. La première partie de ce cours permet de voir la définition d’une fonction polynôme de degré , ainsi que sa forme canonique et ses variations.
La deuxième partie de ce cours concerne la résolution d’équations du second degré et la factorisation d’un trinôme.
Enfin, la troisième partie porte sur le signe du trinôme et la résolution d’une inéquation du second degré.
Fonction polynôme du second degré
Définition
Fonction polynôme du second degré :
Exemple :
En utilisant la double distributivité, on transforme :
.
Les coefficients sont donc : ; ; .
Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré (de forme développée ) admet une écriture de la forme : , où et . Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.
Exemple :
Variations d’un polynôme du second degré
Soit une fonction polynôme de degré , définie sur par , avec :
admet un minimum , atteint en .
La courbe représentative de est une parabole de sommet de coordonnées et avec les branches tournées vers le haut.
admet un maximum , atteint en .
La courbe représentative de est une parabole de sommet de coordonnées et avec les branches tournées vers le bas.
Pour trouver le minimum et le maximum d’une fonction, on peut appliquer un algorithme sur une calculatrice (Casio ou TI).
Équation du second degré
Résolution d’une équation du second degré
Équation du second degré :
Pour résoudre une équation du type , on calcule tout d’abord le discriminant du trinôme .
admet une écriture de la forme (forme canonique), où et .
Donc :
.
, car c’est la somme d’un terme positif et d’un terme strictement positif.
, donc l’équation n’a pas de solution.
, donc l’équation admet une unique solution :
.
On obtient les deux solutions distinctes :
et .
Exemples :
Comme est strictement positif, l’équation admet deux solutions distinctes :
Donc : .
Comme est nul, l’équation admet une unique solution :
Donc : .
Donc : .
Le symbole se lit « ensemble vide ».
Somme et produit des solutions d’une équation du second degré
Soit une équation du second degré, avec et (c’est-à-dire qu’elle a deux solutions et , ou une solution double ).
On note la somme des deux solutions, et leur produit.
Pour une équation du second degré (avec et ), la somme des deux solutions est , et leur produit .
.
en utilisant l’identité remarquable .
car , donc .
Exemple :
Pour l’équation du second degré , telle que , la somme des deux solutions est , et leur produit .
Si on connaît une (évidente ou non) des deux solutions d’une équation du second degré (), on peut déterminer la deuxième en utilisant leur somme , ou leur produit .
Exemple :
Pour résoudre l’équation du second degré , on calcule .
L’équation a deux solutions distinctes et on s’aperçoit que est solution, car .
Étant donné que et , on en déduit facilement que la deuxième solution de cette équation est .
Factorisation du trinôme
Soit , avec , un trinôme du second degré :
Exemple :
La forme factorisée est donc :
La forme factorisée est donc :
Signe du trinôme et résolution d’une inéquation du second degré
Signe du trinôme
Veiller à bien ranger les racines dans l’ordre croissant dans la première ligne des tableaux de signes.
On considère le trinôme du second degré :
Exemple
Le trinôme admet pour racines , de plus, , donc le trinôme est négatif à l’extérieur des racines ; ce qui donne le tableau de signes suivant :
Le trinôme admet pour racine double , de plus, , donc le trinôme est positif pour tout ; ce qui donne le tableau de signes suivant :
Le trinôme n’a aucune racine, de plus donc le trinôme est positif pour tout réel ; ce qui donne le tableau de signes suivant :
Résolution d’inéquations du second degré
En construisant un tableau de signes, il est possible de résoudre n’importe quelle inéquation du second degré.
Pour résoudre cette inéquation, on utilise le tableau de signes correspondant, on regarde sur quel intervalle le trinôme est positif et on note l’ensemble solution : .
De même, pour résoudre , on utilise le tableau de signes correspondant : on voit qu’il n’existe aucun intervalle où le trinôme est négatif et on note l’ensemble de solution : .
Conclusion :