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Le second degré

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Introduction :

Les fonctions polynômes du second degré sont vues pour la première fois en seconde, avec le cas particulier de la fonction carrée. La première partie de ce cours permet de voir la définition d’une fonction polynôme de degré 22, ainsi que sa forme canonique et ses variations.

La deuxième partie de ce cours concerne la résolution d’équations du second degré et la factorisation d’un trinôme.

Enfin, la troisième partie porte sur le signe du trinôme et la résolution d’une inéquation du second degré.

Fonction polynôme du second degré

Définition

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Définition

Fonction polynôme du second degré :

  • Une fonction polynôme de degré 22 est une fonction définie sur R\mathbb{R} dont l’expression algébrique peut être mise sous la forme : f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a0a\neq0.
  • Les réels aa, bb et cc sont appelés coefficients de la fonction polynôme.
  • L’expression ax2+bx+cax^2+bx+c est la forme développée de f(x)f(x), appelée aussi trinôme du second degré.

Exemple :

  • La fonction f(x)=2x2+3x+1f(x)=-2x^2+3x+1 est un polynôme du second degré. Elle est définie sur R\mathbb{R}. Ses coefficients sont : a=2a=-2 ; b=3b=3 ; c=1c=1.
  • La fonction g(x)=(x1)(2x+3)g(x)=(x-1)(2x+3) est également un polynôme du second degré, mais elle est plus difficile à repérer car elle n’est pas sous sa forme développée.

En utilisant la double distributivité, on transforme :
g(x)=(x1)(2x+3)=2x2+3x2x3=2x2+x3\begin{aligned} g(x)&=(x-1)(2x+3) \ &=2x^2+3x-2x-3 \ &=2x^2+x-3 \end{aligned}.
Les coefficients sont donc : a=2a=2 ; b=1b=1 ; c=3c=-3.

Forme canonique

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Propriété

Toute fonction polynôme de degré 22 (de forme développée ax2+bx+cax^2+bx+c ) admet une écriture de la forme : a(xα)2+βa(x-\alpha)^2+\beta , où α=b2a\alpha=-\dfrac{b} {2a} et β=f(α)\beta=f (\alpha). Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.

Exemple :
f(x)=2x2+4x3f(x)=2x^2+4x-3

α=b2a=42×2=44=1\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\times2}=-\dfrac{4}{4}=-1

β=f(α)=f(1)=2×(1)2+4×(1)3=243=5\begin{aligned} \beta=f(\alpha)&=f(-1) \ &=2\times(-1)^2+4\times(-1)-3 \ &=2-4-3 \ &=-5\end{aligned}

f(x)=2(x(1))2+(5)=2(x+1)25\begin{aligned}f(x)&=2\big(x-(-1)\big)^2+(-5) \ &=2(x+1)^2-5\end{aligned}

  • La forme canonique est donc : f(x)=2(x+1)25f(x) = 2(x + 1)^2-5.

Variations d’un polynôme du second degré

Soit ff une fonction polynôme de degré 22, définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a0a\neq0 :

  • Si a>0a>0, ff est strictement décroissante sur ] ; α]]-\infty\ ;\ \alpha], puis strictement croissante sur [α ; +[[\alpha\ ;\ +\infty[ :

ff admet un minimum β\beta, atteint en x=αx=\alpha.

La courbe représentative de ff est une parabole de sommet SS de coordonnées (α ; β)(\alpha\ ;\ \beta) et avec les branches tournées vers le haut.

première réforme mathématiques polynômes second degré

  • Si a<0a<0, ff est strictement croissante sur ] ; α]]-\infty\ ;\ \alpha], puis strictement décroissante sur [α ; +[[\alpha\ ;\ +\infty[ :

ff admet un maximum β\beta, atteint en x=αx=\alpha.

La courbe représentative de ff est une parabole de sommet SS de coordonnées (α ; β)(\alpha\ ;\ \beta) et avec les branches tournées vers le bas.

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Astuce

Pour trouver le minimum et le maximum d’une fonction, on peut appliquer un algorithme sur une calculatrice (Casio ou TI).

Équation du second degré

Résolution d’une équation du second degré

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Définition

Équation du second degré :

  • Une équation du second degré, d’inconnue xx, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0aa, bb et cc sont des nombres réels donnés, avec a0a\neq0.
  • Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c.
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Propriété

Pour résoudre une équation du type ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, on calcule tout d’abord le discriminant Δ\Delta du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c .

Δ=b24ac\Delta=b^2-4ac

  • Si Δ>0\Delta>0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 admet deux solutions distinctes :
    x1=bΔ2ax1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}} {2a} et x2=b+Δ2ax2=\dfrac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}
  • Si Δ=0\Delta=0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 admet une unique solution :
    x0=b2ax_0=-\dfrac{b}{2a}
  • Si Δ<0\Delta<0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 n’a pas de solution.

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Démonstration

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c admet une écriture de la forme f(x)=a(xα)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta (forme canonique), où α=b2a\alpha=-\dfrac{b}{2a} et β=f(α)\beta=f (\alpha).

β=f(α)=f(b2a)=a(b2a)2+b×(b2a)+c=b24ab22a)+c=cb24a=4acb24a=b24ac4a\begin{aligned} \beta=f(\alpha)&=f(-\dfrac{b}{2a}) \ &=a{(-\dfrac{b}{2a})}^2+b\times(-\dfrac{b}{2a})+c \ &=\dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2}{2a})+c \ &=c-\dfrac{b^2}{4a} \ &=\dfrac{4ac-b^2}{4a} \ &=\dfrac{b^2-4 ac}{4a} \end{aligned}

Donc :
f(x)=a(x+b2a)2b24ac4a=a(x+b2a)2Δ4a=a((x+b2a)2Δ4a2)\begin{aligned} f(x)&=a\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a} \ &=a\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{\Delta}{4a} \ &=a\bigg(\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{\Delta} {4a^2}\bigg) \end{aligned}.

  • Si Δ<0\Delta<0

(x+b2a)2Δ4a2>0\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0, car c’est la somme d’un terme positif et d’un terme strictement positif.

a0a\neq0, donc l’équation f(x)=ax2+bx+c=0f(x)=ax^2+bx+c=0 n’a pas de solution.

  • Si Δ=0\Delta=0

f(x)=a(x+b2a)2f(x)=a\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2, donc l’équation f(x)=ax2+bx+c=0f(x) = ax^2+bx+c=0 admet une unique solution :

x0=b2ax_0=-\dfrac{b}{2a}.

  • Si Δ>0\Delta>0

f(x)=a((x+b2a)2Δ24a2)=a((x+b2a)2(Δ2a)2)=a(x+b2aΔ2a)(x+b2a+Δ2a)=a(xb+Δ2a)(xbΔ2a)\begin{aligned} f(x)&=a\bigg(\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\dfrac{{\sqrt{\Delta}}^2}{4a^2}\bigg) \ &=a\bigg(\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2-\Big(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)^2\bigg) \ &=a\Big(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)\Big(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big) \ &= a\Big(x-\dfrac{-b+\sqrt{ \Delta}}{2a}\Big)\Big(x-\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\Big) \end{aligned}

On obtient les deux solutions distinctes :
x1=bΔ2ax1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=b+Δ2ax2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

Exemples :

  • Résoudre l’équation : 5x29x+2=0-5x^2-9x+2=0.

Δ=b24ac=(9)24×(5)×2=81+40Δ=121\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=(-9)^2-4\times(-5)\times2 \ &=81+40 \ \Delta&=121 \end{aligned}

Comme Δ\Delta est strictement positif, l’équation admet deux solutions distinctes :

  • x1=bΔ2a=91212×(5)=91110=210=15\begin{aligned} x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}&=\dfrac{9-\sqrt{121}}{2\times(-5)} \ &=\dfrac{9-11}{-10} \ &=\dfrac{-2}{-10} \ &=\dfrac{1}{5} \end{aligned}
  • x2=b+Δ2a=9+1212×(5)=9+1110=2010=2\begin{aligned} x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}&=\dfrac{9+\sqrt{121}}{2\times(-5)} \ &=\dfrac{9+11}{-10} \ &=\dfrac{20}{-10} \ &=-2\end{aligned}

Donc : S={2 ; 15}S= \left\lbrace-2\ ;\ \dfrac{1}{5}\right\rbrace.

  • Résoudre l’équation : 13x22x+3=0\dfrac{1}{3}x^2-2x +3=0.

Δ=b24ac=(2)24×13×3=44Δ=0\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=(-2)^2-4\times\dfrac{1}{3}\times3 \ &=4-4 \ \Delta&=0 \end{aligned}

Comme Δ\Delta est nul, l’équation admet une unique solution :

  • x0=b2a=(2)2×13=223=2×32=3x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{(-2)}{2\times\frac{1}{3}}=\dfrac{2}{\frac{2}{3}}=2\times\dfrac{3}{2}=3

Donc : S={3}S=\lbrace3\rbrace.

  • Résoudre l’équation : 3x2x+2=03x^2-x+2=0.

Δ=b24ac=(1)24×3×2=124Δ=23\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=(-1)^2-4\times3\times2 \ &=1-24 \ \Delta&=-23 \end{aligned}

  • Comme Δ\Delta est strictement négatif, l’équation n’admet pas de solution.

Donc : S=S=\varnothing.

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Astuce

Le symbole \varnothing se lit « ensemble vide ».

Somme et produit des solutions d’une équation du second degré

Soit ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 une équation du second degré, avec a0a\neq0 et Δ0\Delta\geq0 (c’est-à-dire qu’elle a deux solutions x1x1 et x2x2, ou une solution double x1=x2x1=x2).

On note S=x1+x2S=x1+x2 la somme des deux solutions, et P=x1×x2P=x1\times x2 leur produit.

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Propriété

Pour une équation du second degré ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 (avec a0a\neq0 et Δ0\Delta\geq0), la somme des deux solutions est S=baS=-\dfrac{b}{a}, et leur produit P=caP=\dfrac{c}{a}.

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Démonstration

  • Si Δ>0\Delta>0

S=bΔ2a+b+Δ2a=bΔb+Δ2a=2b2a=ba\begin{aligned} S&=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ &=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ &=\dfrac{-2b}{2a} \ &=-\dfrac{b}{a} \end{aligned}.

P=bΔ2a×b+Δ2a=(b)2(Δ)24a2=b2Δ4a2=b2(b24ac)4a2=4ac4a2=ca\begin{aligned} P&=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\times\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ &= \dfrac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} \ &=\dfrac{b^2-\Delta}{4a^2} \ &=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \ &=\dfrac{4ac}{4a^2} \ &=\dfrac{c}{a} \end{aligned}
en utilisant l’identité remarquable (ab)(a+b)=a2b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2.

  • Si Δ=0\Delta = 0

S=b2a+b2a=2b2a=ba\begin{aligned}S&=\dfrac{-b}{2a}+\dfrac{-b}{2a} \ &=\dfrac{-2b}{2a} \ &=-\dfrac{b}{a}\end{aligned}

P=b2a×b2a=b24a2=4ac4a2=ca\begin{aligned} P&=\dfrac{-b}{2a}\times\frac{-b}{2a} \ &=\dfrac{b^2}{4a^2} \ &=\dfrac{4ac}{4a^2} \ &=\frac{c}{a} \end{aligned}
car Δ=b24ac=0\Delta = b^2 - 4ac = 0, donc b2=4acb^2 = 4ac.

Exemple :
Pour l’équation du second degré 5x29x+2=0-5x^2-9x+2=0, telle que Δ=121>0\Delta=121>0, la somme des deux solutions est S=95S=-\frac{9}{5}, et leur produit P=25P=-\frac{2}{5}.

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Astuce

Si on connaît une (évidente ou non) des deux solutions d’une équation du second degré ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 (a0a\neq0), on peut déterminer la deuxième en utilisant leur somme S=baS=-\dfrac{b}{a}, ou leur produit P=caP=\dfrac{c}{a}.

Exemple :
Pour résoudre l’équation du second degré x2+2x3=0x^2+2x-3=0, on calcule Δ=224×1×(3)=4+12=16>0\Delta=2^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0.
L’équation a deux solutions distinctes et on s’aperçoit que 11 est solution, car 12+23=01^2+2-3=0.
Étant donné que S=ba=2S=-\dfrac{b}{a}=-2 et P=ca=3P=\dfrac{c}{a}=-3, on en déduit facilement que la deuxième solution de cette équation est 3-3.

Factorisation du trinôme

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Propriété

Soit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a0a\neq0, un trinôme du second degré :

  • Si le discriminant du trinôme est strictement positif (Δ>0\Delta>0), f(x)=a(xx1)(xx2)f(x)=a(x-x1)(x-x2), où x1x1 et x2x2 sont les racines du trinôme.
  • Si le discriminant du trinôme est strictement nul (Δ=0\Delta=0), f(x)=a(xx0)2f(x)=a(x-x0)^2, où x0x0 est la racine du trinôme.
  • Si le discriminant du trinôme est strictement négatif (Δ<0\Delta<0), alors f(x)f(x) ne se factorise pas.

Exemple :

  • Le trinôme 5x29x+2-5x^2-9x+2 admet pour racines S={2 ; 15}S=\left\lbrace-2\ ;\ \dfrac{1}{5}\right\rbrace.

La forme factorisée est donc :
a(xx1)(xx2)=5(x(2))(x15)=5(x+2)(x15)\begin{aligned}a(x-x1)(x-x2)&=-5\Big(x-\big(-2\big)\Big)\Big(x-\dfrac{1}{5}\Big)\&=-5(x+2)\Big(x-\dfrac{1}{5}\Big)\end{aligned}

  • Le trinôme 13x2x+3\dfrac{1}{3}x^2-x+3 avait une unique racine S={3}S=\lbrace3\rbrace.

La forme factorisée est donc :
a(xx0)2=13(x3)2a(x-x_0)^2=\dfrac{1}{3}(x-3)^2

  • Le trinôme 3x2x+23x^2-x+2 n’a aucune racine. Il n’existe donc pas de forme factorisée.

Signe du trinôme et résolution d’une inéquation du second degré

Signe du trinôme

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Astuce

Veiller à bien ranger les racines dans l’ordre croissant dans la première ligne des tableaux de signes.

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Propriété

On considère le trinôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+c :

  • Dans le cas où Δ>0\Delta>0, le trinôme est du signe de aa sur ] ; x1[]-\infty\ ;\ x1[ et sur ]x2 ; +[]x2\ ;\ +\infty[, et du signe contraire de aa sur ]x1 ; x2[]x1\ ;\ x2[.

première réforme mathématiques polynômes second degré

  • Dans le cas où Δ=0\Delta=0, le trinôme est du signe de aa pour tout réel xx0x\ne x0 et le trinôme s’annule pour x=x0x=x0.

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  • Dans le cas où Δ<0\Delta<0, pour tout réel xx, le trinôme est du signe de aa.

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Exemple

  • Étudier le signe de 5x29x+2-5x^2-9x+2 sur R\mathbb{R}.

Le trinôme 5x29x+2-5x^2-9x+2 admet pour racines S={2 ; 15}S=\left\lbrace-2\ ;\ \dfrac{1}{5}\right\rbrace, de plus, a=5<0a=-5<0, donc le trinôme est négatif à l’extérieur des racines ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

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  • Étudier le signe de 13x2x+3\dfrac{1}{3}x^2-x+3 sur R\mathbb{R}.

Le trinôme 13x2x+3\dfrac{1}{3}x^2-x+3 admet pour racine unique S={3}S=\lbrace3\rbrace, de plus, a=13>0a=\dfrac{1}{3}>0, donc le trinôme est positif pour tout x3x\neq3 ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

Alt texte

  • Étudier le signe de 3x2x+23x^2-x+2 sur R\mathbb{R}.

Le trinôme 3x2x+23x^2-x+2 n’a aucune racine, de plus a=3>0a=3>0 donc le trinôme est positif pour tout réel xx ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

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Résolution d’inéquations du second degré

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À retenir

En construisant un tableau de signes, il est possible de résoudre n’importe quelle inéquation du second degré.

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Exemple

  • Résoudre l’inéquation : 5x29x+20-5x^2-9x+2\geq0.

Pour résoudre cette inéquation, on utilise le tableau de signes correspondant, on regarde sur quel intervalle le trinôme est positif et on note l’ensemble solution : S=[2 ;15]S=\Big[-2\ ;\dfrac{1}{5}\Big].

  • Résoudre l’inéquation 3x2x+2<03x^2-x+2<0.

De même, pour résoudre 3x2x+2<03x^2-x+2<0, on utilise le tableau de signes correspondant : on voit qu’il n’existe aucun intervalle où le trinôme est négatif et on note l’ensemble de solution : S=S=\varnothing.

Conclusion :

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