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Le second degré

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Fonction polynôme du second degré

  • Une fonction polynôme de degré 22 est une fonction définie sur R\mathbb{R} dont l’expression algébrique peut être mise sous la forme : f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a0a\neq0.
  • Les réels aa, bb et cc sont appelés coefficients de la fonction polynôme.
  • L’expression ax2+bx+cax^2+bx+c est la forme développée de f(x)f(x), appelée aussi trinôme du second degré.
  • Toute fonction polynôme de degré 22 (de forme développée ax2+bx+cax^2+bx+c ) admet une écriture de la forme : a(xα)2+βa(x-\alpha)^2+\beta
  • α=b2a\alpha=-\dfrac{b} {2a}
  • β=f(α)\beta=f (\alpha)
  • Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.
  • Soit ff une fonction polynôme de degré 22, définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a0a\neq0.
  • Si a>0a>0
  • ff est strictement décroissante sur ] ; α]]-\infty\ ;\ \alpha], puis strictement croissante sur [α ; +[[\alpha\ ;\ +\infty[ :
  • ff admet un minimum β\beta, atteint en x=αx=\alpha.
  • La courbe représentative de ff est une parabole de sommet SS de coordonnées (α ; β)(\alpha\ ;\ \beta) et avec les branches tournées vers le haut.
  • Si a<0a<0
  • ff est strictement croissante sur ] ; α]]-\infty\ ;\ \alpha], puis strictement décroissante sur [α ; +[[\alpha\ ;\ +\infty[ :
  • ff admet un maximum β\beta, atteint en x=αx=\alpha.
  • La courbe représentative de ff est une parabole de sommet SS de coordonnées (α ; β)(\alpha\ ;\ \beta) et avec les branches tournées vers le bas.

Équation du second degré

  • Une équation du second degré, d’inconnue xx, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0.
  • aa, bb et cc sont des nombres réels donnés, avec a0a\neq0.
  • Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c.
  • Pour résoudre une équation du second degré, on calcule tout d’abord le discriminant Δ\Delta du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c .
  • Δ=b24ac\Delta=b^2-4ac
  • Si Δ>0\Delta>0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 admet deux solutions distinctes :
  • x1=bΔ2ax_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}} {2a}
  • x2=b+Δ2ax_2=\dfrac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}
  • Si Δ=0\Delta=0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 admet une unique solution :
  • x0=b2ax_0=-\dfrac{b}{2a}
  • Si Δ<0\Delta<0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 n’a pas de solution.
  • Soit ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 une équation du second degré, avec a0a\neq0 et Δ0\Delta\geq0.
  • Somme des deux racines x1x1 et x2x2 : S=x1+x2=baS=x1+x2=-\dfrac{b}{a}.
  • Produit des deux racines x1x1 et x2x2 : P=x1×x2=caP=x1\times x2=\dfrac{c}{a}.
  • Ainsi, si on connaît une (évidente ou non) des deux solutions d’une équation du second degré, on peut déterminer la deuxième en utilisant leur somme ou leur produit.
  • Soit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a0a\neq0, un trinôme du second degré.
  • Si Δ>0\Delta>0, f(x)=a(xx1)(xx2)f(x)=a(x-x1)(x-x2), où x1x1 et x2x2 sont les racines du trinôme.
  • Si Δ=0\Delta=0, f(x)=a(xx0)2f(x)=a(x-x0)^2, où x0x0 est la racine du trinôme.
  • Si Δ<0\Delta<0, alors f(x)f(x) ne se factorise pas.

Inéquation du second degré

  • On considère le trinôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+c.
  • Si Δ>0\Delta>0, le trinôme est :
  • du signe de aa sur ] ; x1[]-\infty\ ;\ x1[ et sur ]x2 ; +[]x2\ ;\ +\infty[, où x1x1 et x2x2 sont les racines du trinôme,
  • du signe contraire de aa sur ]x1 ; x2[]x1\ ;\ x2[, où x0x_0 est la racine du trinôme.
  • Si Δ=0\Delta=0, le trinôme :
  • est du signe de aa pour tout réel xx0x\neq x_0,
  • s’annule pour x=x0x=x_0.
  • Si Δ<0\Delta<0, pour tout réel xx, le trinôme est du signe de aa.
  • En construisant un tableau de signes, il est possible de résoudre n’importe quelle inéquation du second degré.