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Les opérateurs logiques fondamentaux

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Introduction :

Nous avons appris à manipuler la base binaire, en disant qu’elle était importante en informatique et en électronique.
En effet, les fonctions logiques, qui reposent sur le langage binaire, sont notamment à la base du fonctionnement des puces électroniques.

Dans ce cours, nous découvrirons les fonctions logiques de base, qui nous permettront d’aborder certaines associations dans le cours suivant.

Vocabulaire et définitions

Variable, fonction, porte logique

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Définition

Variable logique :

Il s’agit d’une variable qui ne peut prendre que 22 valeurs : 00 et 11.

  • Généralement, 00 signifie « faux » et 11 « vrai ».
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Exemple

Un interrupteur simple peut être décrit par une variable logique :

  • « ouvert » : le courant ne passe pas, la variable a pour valeur 00 ;
  • « fermé » : le courant passe, la variable a pour valeur 11.
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Définition

Fonction logique et porte logique :

Une fonction logique permet de déterminer les états (00 ou 11) d'une variable de sortie (voyant, moteur, relais, etc.) en fonction de ses variables logiques en entrée (interrupteur, capteur de présence, etc.).

  • En électronique ou en automatisme, ces fonctions sont assurées par des portes logiques.
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Exemple

Si l’interrupteur évoqué plus haut commande une lampe, alors l’état de la lampe dépendra de la position dudit interrupteur :

  • interrupteur « ouvert », ou position 00 : la lampe est éteinte (valeur 00) ;
  • interrupteur « fermé », ou position 11 : la lampe est allumée (valeur 11).

Table de vérité et équation logique

Ce dernier exemple est simplissime. Mais, souvent, le nombre de variables est trop important pour pouvoir prévoir directement l’état de sortie.

  • On utilise alors une table de vérité.
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Définition

Table de vérité :

Une table de vérité donne, de manière exhaustive, l’état de la sortie (ou des sorties) en fonction de l’état de ses entrées, sous forme de combinaison binaire.

  • Cela veut dire que les combinaisons possibles sont à donner dans l’ordre des nombres binaires : le passage d’une ligne à celle du dessous revient à passer d’un nombre binaire à celui immédiatement supérieur.
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À retenir

On note les entrées en minuscule (ee , par exemple) et les sorties en majuscule (SS , par exemple).

  • S’il y a nn entrées, alors la table de vérité aura 2n2^n lignes.
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Exemple

Donnons la table de vérité pour l’exemple précédent, avec, pour l’entrée, l’état de l’interrupteur (ee ) et, pour la sortie, celui de la lampe (SS ).

  • Il y a 11 seule variable, on aura donc 21=22^1=2 lignes (outre celle des intitulés, évidemment !).

ee S\red {S }
00 0\red 0
11 1\red1

Comme souvent en mathématiques – puisqu’il s’agit bien ici d’algèbre binaire –, nous pouvons mettre les fonctions logiques sous forme d’équation, appelée équation logique.

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Définition

Équation logique :

Il s’agit d’une équation mathématique qui exprime l’état d’une sortie en fonction de l’état de ses entrées.

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Exemple

Nous remplacerons notre interrupteur par le terme contact. En effet, l'interrupteur ou le bouton poussoir est composé d'un contact mobile, qui peut s'ouvrir et se fermer.

  • Si un contact commande une lampe, l'équation logique est : S=eS =e .

Une première porte : OUI\text{OUI}

Peut-être vous en êtes-vous rendu compte : l’exemple du contact et de la lampe nous a décrit une première porte logique, la plus simple, la porte OUI\text{OUI} (BUFFER\text{BUFFER}, en anglais).

Voici un schéma correspondant à notre exemple :

sciences ingénieur première opérateurs logiques

  • Au repos, le contact est ouvert (e=0e =0) et la lampe est éteinte (S=0S =0).
  • Au travail, le contact est fermé (e=1e =1) et la lampe est allumée (S=1S =1).
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Attention

Le contact ci-dessus est un contact à fermeture (NO, normalement ouvert, ou normally open) :

  • au repos, il est ouvert (e=0e =0) ;
  • au travail, il est fermé (e=1e =1).

sciences ingénieur première opérateurs logiques contact interrupteur fermeture Contact à fermeture

Il ne faut pas le confondre avec un contact à ouverture (NF, normalement fermé, ou NC, normally closed), dont nous allons aussi nous servir comme exemple, plus loin dans ce cours :

  • au repos, il est fermé (e=0e =0) ;
  • au travail, il est ouvert (e=1e =1).

sciences ingénieur première opérateurs logiques contact interrupteur ouverture Contact à ouverture

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Définition

Porte logique OUI\text{OUI} :

Une porte OUI\text{OUI} donne en sortie une valeur égale à celle d’entrée :

  • 00 si la valeur d’entrée est 00 ;
  • 11 si la valeur d’entrée est 11.
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À retenir

  • Dans un circuit, la porte logique OUI\text{OUI} est représentée par le symbole :

sciences ingénieur première opérateurs logiques porte OUI Porte OUI

  • Nous ne donnons ici que le symbole dans la norme européenne.
  • Nous avons déjà vu sa table de vérité, nous la remettons ici :

ee S\red {S }
00 0\red 0
11 1\red1
  • Nous avons aussi vu son équation logique : S=eS =e .

Nous pouvons également donner une représentation de la porte par un chronogramme.

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Définition

Chronogramme :

Il s’agit d’une représentation graphique de l’état des entrées et sorties en fonction du temps.

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À retenir

Voici un chronogramme possible pour la porte OUI\text{OUI} :

sciences ingénieur première opérateurs logiques porte OUI chronogramme

Pour toutes les portes que nous présenterons dans la suite de ce cours, nous donnerons les mêmes informations :

  • un schéma électrique équivalent ;
  • le symbole dans la norme européenne ;
  • la table de vérité ;
  • l’équation logique ;
  • un chronogramme.

Les portes fondamentales

Porte logique NON\text{NON}

Nous avons découvert, dans la première partie, la fonction OUI\text{OUI}. Vous vous en doutez, il existe une porte logique NON\text{NON} (aussi appelée inverseur, NOT\text{NOT} ou INV\text{INV} en anglais).

Considérons le circuit électrique suivant, avec un contact, cette fois à ouverture (i.e. il est normalement fermé) :

sciences ingénieur première opérateurs logiques

  • Au repos, le contact est fermé (e=0e =0) et la lampe est allumée (S=1S =1).
  • Au travail, le contact est ouvert (e=1e =1) et la lampe est éteinte (S=0S =0).
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Définition

Porte logique NON\text{NON} :

Comme son nom l’indique, cette porte inverse la valeur d’entrée :

  • elle donne en sortie 00 si la valeur d’entrée est 11 ;
  • elle donne en sortie 11 si la valeur d’entrée est 00.
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À retenir

  • Symbole :

Il s’agit du symbole de la porte OUI\text{OUI}, auquel on adjoint un disque ou un triangle.

sciences ingénieur première opérateurs logiques porte NON Porte NON

  • Table de vérité :

ee S\red {S }
00 1\red 1
11 0\red0
  • Équation logique :

S=eˉS =\bar e

  • On dit : « e barre ».
  • Chronogramme :

sciences ingénieur première opérateurs logiques porte NON chronogramme

Porte logique ET\text{ET}

Compliquons maintenant un peu les choses (guère, ne vous tracassez pas) et considérons 22 entrées, e1e _{\tiny 1} et e2e _{\tiny 2}, dont dépend une sortie SS .

Regardons le schéma électrique suivant, avec deux contacts (à fermeture) montés en série et une lampe :

sciences ingénieur première opérateurs logiques

  • Au repos, les deux contacts sont ouverts (e1=0e _{\tiny 1}=0 et e2=0e _{\tiny 2}=0) et la lampe est éteinte (S=0S =0).
  • Au travail, les deux interrupteurs sont fermés (e1=1e _{\tiny 1}=1 et e2=1e _{\tiny 2}=1) et la lampe est allumée (S=1S =1).
  • Si un seul contact est fermé, le courant ne passe pas et la lampe ne s’allume pas.
  • Il faut que le premier ET le second contact soient fermés pour que la lampe soit allumée.
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Définition

Porte logique ET\text{ET} :

La sortie d’une porte ET\text{ET} (AND\text{AND} en anglais) est 11 uniquement si l’ensemble des entrées ont pour valeur 11.

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À retenir

  • Symbole :

sciences ingénieur première opérateurs logiques porte ET Porte ET

  • Table de vérité :

Nous avons 22 entrées, notre table de vérité aura donc 22=42^2=4 lignes.

e1e{\tiny 1} e2e{\tiny 2} S\red {S }
00 00 0\red 0
00 11 0\red0
11 00 0\red0
11 11 1\red1
  • Équation logique :

S=e1e2S =e _{\tiny 1}\cdot e _{\tiny 2}

  • On dit : « e1 et e2 ».
  • Chronogramme :

sciences ingénieur première opérateurs logiques porte ET chronogramme

Bien sûr, nous pouvons avoir une multitude d’entrées. Nous représentons alors la fonction ainsi (avec 77 entrées) :

sciences ingénieur première opérateurs logiques porte ET Porte ET (7 entrées)

  • S=1S =1 uniquement si l’ensemble des entrées ont pour valeur 11.

Porte logique OU\text{OU}

Reprenons notre schéma électrique précédent, mais montons, cette fois, les deux contacts (à fermeture) en parallèle (dérivation), et non en série :

sciences ingénieur première opérateurs logiques

  • Au repos, les deux contacts sont ouverts (e1=0e _{\tiny 1}=0 et e2=0e _{\tiny 2}=0) et la lampe est éteinte (S=0S =0).
  • Au travail, les deux contacts sont fermés (e1=1e _{\tiny 1}=1 et e2=1e _{\tiny 2}=1) et la lampe est allumée (S=1S =1).
  • Si un seul contact est fermé, le courant passe et la lampe s’éclaire.
  • Il suffit que le premier OU le second contact soit fermé pour que la lampe s’allume.
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Définition

Porte logique OU\text{OU} :

La sortie d’une porte OU\text{OU} (OR\text{OR} en anglais) est égale à 11 si au moins une des entrées a pour valeur 11.

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À retenir

  • Symbole :

sciences ingénieur première opérateurs logiques porte OU Porte OU

Img-14 Porte OU

  • Table de vérité :

Nous avons 22 entrées, notre table de vérité aura donc 22=42^2=4 lignes.

e1e{\tiny 1} e2e{\tiny 2} S\red {S }
00 00 0\red 0
00 11 1\red1
11 00 1\red1
11 11 1\red1
  • Équation logique :

S=e1+e2S =e _{\tiny 1}+e _{\tiny 2}

  • On dit : « e1 ou e2 ».
  • Chronogramme :

sciences ingénieur première opérateurs logiques porte OU chronogramme

Ici aussi, nous pouvons avoir une multitude d’entrées, que nous représentons ainsi (avec 77 entrées) :

sciences ingénieur première opérateurs logiques porte OU Porte OU (7 entrées)

  • S=1S =1 si au moins une des entrées a pour valeur 11.

Porte logique OU EXCLUSIF\text{OU\ EXCLUSIF}

Il existe une porte OU\text{OU} autrement plus restrictive que celle que nous venons de voir : la porte OU EXCLUSIF\text{OU\ EXCLUSIF} (XOR\text{XOR} en anglais).

  • Pour mieux la comprendre, regardons le schéma électrique suivant :

sciences ingénieur première opérateurs logiques

Il y a donc deux couples de contacts associés.
Chaque couple est composé d’un contact à ouverture et d’un contact à fermeture, qui sont liés mécaniquement.

  • Si on appuie sur le premier, par exemple, ses deux contacts liés s'inversent, ce qui va entraîner l'allumage de la lampe.

Notons e1e _{\tiny 1} le premier couple (en rouge sur le schéma) et e2e _{\tiny 2} le second (en vert sur le schéma).
Nous considérons que les couples sont au repos (e1=0e _{\tiny 1}=0 et e2=0e _{\tiny 2}=0) lorsqu’ils sont dans la position indiquée sur le schéma.
Nous voyons tout de suite que la lampe s’allume uniquement si une seule entrée a pour valeur 11.

  • Il faut que la première entrée ait pour valeur 11 ET la seconde 00 OU que la première entrée ait pour valeur 00 ET la seconde 11 pour que la lampe soit allumée.
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Définition

Porte logique OU EXCLUSIF\text{OU\ EXCLUSIF} :

La sortie d’une porte OU EXCLUSIF\text{OU\ EXCLUSIF} est 11 uniquement si l’une des entrées a pour valeur 11 quand l’autre a pour valeur 00.

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À retenir

  • Symbole :

sciences ingénieur première opérateurs logiques porte OU EXCLUSIF Porte OU EXCLUSIF

  • Table de vérité :

Nous avons 22 entrées, notre table de vérité aura donc 22=42^2=4 lignes.

e1e{\tiny 1} e2e{\tiny 2} S\red {S }
00 00 0\red 0
00 11 1\red1
11 00 1\red1
11 11 0\red0
  • Équation logique :

S=e1e2S =e _{\tiny 1}\oplus e _{\tiny 2}

  • On dit : « e1 ou exclusif e2 ».
  • Chronogramme :

sciences ingénieur première opérateurs logiques porte OU EXCLUSIF chronogramme

Conclusion :

Nous venons donc de découvrir les portes logiques fondamentales, ainsi que les notions qui y sont attachées, indispensables pour bien comprendre le fonctionnement, par exemple, d’une puce électronique.
Ces portes, nous pouvons aussi les associer. Et c’est ce que nous allons voir dans le prochain cours.