Cours : Les opérateurs logiques fondamentaux

Vocabulaire et définitions

Variable, fonction, porte logique

Définition

Variable logique :

Il s’agit d’une variable qui ne peut prendre que $2$ valeurs : $0$ et $1$.

• Généralement, $0$ signifie « faux » et $1$ « vrai ».

Exemple

Un interrupteur simple peut être décrit par une variable logique :

• « ouvert » : le courant ne passe pas, la variable a pour valeur $0$ ;
• « fermé » : le courant passe, la variable a pour valeur $1$.

Définition

Fonction logique et porte logique :

Une fonction logique permet de déterminer les états ($0$ ou $1$) d'une variable de sortie (voyant, moteur, relais, etc.) en fonction de ses variables logiques en entrée (interrupteur, capteur de présence, etc.).

• En électronique ou en automatisme, ces fonctions sont assurées par des portes logiques.

Exemple

Si l’interrupteur évoqué plus haut commande une lampe, alors l’état de la lampe dépendra de la position dudit interrupteur :

• interrupteur « ouvert », ou position $0$ : la lampe est éteinte (valeur $0$) ;
• interrupteur « fermé », ou position $1$ : la lampe est allumée (valeur $1$).

Table de vérité et équation logique

Ce dernier exemple est simplissime. Mais, souvent, le nombre de variables est trop important pour pouvoir prévoir directement l’état de sortie.

• On utilise alors une table de vérité.

Définition

Table de vérité :

Une table de vérité donne, de manière exhaustive, l’état de la sortie (ou des sorties) en fonction de l’état de ses entrées, sous forme de combinaison binaire.

• Cela veut dire que les combinaisons possibles sont à donner dans l’ordre des nombres binaires : le passage d’une ligne à celle du dessous revient à passer d’un nombre binaire à celui immédiatement supérieur.

À retenir

On note les entrées en minuscule ($e $, par exemple) et les sorties en majuscule ($S $, par exemple).

• S’il y a $n$ entrées, alors la table de vérité aura $2^n$ lignes.

Exemple

Donnons la table de vérité pour l’exemple précédent, avec, pour l’entrée, l’état de l’interrupteur ($e $) et, pour la sortie, celui de la lampe ($S $).

• Il y a $1$ seule variable, on aura donc $2^1=2$ lignes (outre celle des intitulés, évidemment !).

$e $	$\red {S }$
$0$	$\red 0$
$1$	$\red1$

Comme souvent en mathématiques – puisqu’il s’agit bien ici d’algèbre binaire –, nous pouvons mettre les fonctions logiques sous forme d’équation, appelée équation logique.

Définition

Équation logique :

Il s’agit d’une équation mathématique qui exprime l’état d’une sortie en fonction de l’état de ses entrées.

Exemple

Nous remplacerons notre interrupteur par le terme contact. En effet, l'interrupteur ou le bouton poussoir est composé d'un contact mobile, qui peut s'ouvrir et se fermer.

• Si un contact commande une lampe, l'équation logique est : $S =e $.

Une première porte : $\text{OUI}$

Peut-être vous en êtes-vous rendu compte : l’exemple du contact et de la lampe nous a décrit une première porte logique, la plus simple, la porte $\text{OUI}$ ($\text{BUFFER}$, en anglais).

Voici un schéma correspondant à notre exemple :

• Au repos, le contact est ouvert ($e =0$) et la lampe est éteinte ($S =0$).
• Au travail, le contact est fermé ($e =1$) et la lampe est allumée ($S =1$).

Attention

Le contact ci-dessus est un contact à fermeture (NO, normalement ouvert, ou normally open) :

• au repos, il est ouvert ($e =0$) ;
• au travail, il est fermé ($e =1$).

Contact à fermeture

Il ne faut pas le confondre avec un contact à ouverture (NF, normalement fermé, ou NC, normally closed), dont nous allons aussi nous servir comme exemple, plus loin dans ce cours :

• au repos, il est fermé ($e =0$) ;
• au travail, il est ouvert ($e =1$).

Contact à ouverture

Définition

Porte logique $\text{OUI}$ :

Une porte $\text{OUI}$ donne en sortie une valeur égale à celle d’entrée :

• $0$ si la valeur d’entrée est $0$ ;
• $1$ si la valeur d’entrée est $1$.

À retenir

• Dans un circuit, la porte logique $\text{OUI}$ est représentée par le symbole :

Porte OUI

• Nous ne donnons ici que le symbole dans la norme européenne.
• Nous avons déjà vu sa table de vérité, nous la remettons ici :

$e $	$\red {S }$
$0$	$\red 0$
$1$	$\red1$

• Nous avons aussi vu son équation logique : $S =e $.

Nous pouvons également donner une représentation de la porte par un chronogramme.

Définition

Chronogramme :

Il s’agit d’une représentation graphique de l’état des entrées et sorties en fonction du temps.

À retenir

Voici un chronogramme possible pour la porte $\text{OUI}$ :

Pour toutes les portes que nous présenterons dans la suite de ce cours, nous donnerons les mêmes informations :

• un schéma électrique équivalent ;
• le symbole dans la norme européenne ;
• la table de vérité ;
• l’équation logique ;
• un chronogramme.

Les portes fondamentales

Porte logique $\text{NON}$

Nous avons découvert, dans la première partie, la fonction $\text{OUI}$. Vous vous en doutez, il existe une porte logique $\text{NON}$ (aussi appelée inverseur, $\text{NOT}$ ou $\text{INV}$ en anglais).

Considérons le circuit électrique suivant, avec un contact, cette fois à ouverture (i.e. il est normalement fermé) :

• Au repos, le contact est fermé ($e =0$) et la lampe est allumée ($S =1$).
• Au travail, le contact est ouvert ($e =1$) et la lampe est éteinte ($S =0$).

Définition

Porte logique $\text{NON}$ :

Comme son nom l’indique, cette porte inverse la valeur d’entrée :

• elle donne en sortie $0$ si la valeur d’entrée est $1$ ;
• elle donne en sortie $1$ si la valeur d’entrée est $0$.

À retenir

• Symbole :

Il s’agit du symbole de la porte $\text{OUI}$, auquel on adjoint un disque ou un triangle.

Porte NON

• Table de vérité :

$e $	$\red {S }$
$0$	$\red 1$
$1$	$\red0$

• Équation logique :

$$S =\bar e $$

• On dit : « e barre ».
• Chronogramme :

Porte logique $\text{ET}$

Compliquons maintenant un peu les choses (guère, ne vous tracassez pas) et considérons $2$ entrées, $e _{\tiny 1}$ et $e _{\tiny 2}$, dont dépend une sortie $S $.

Regardons le schéma électrique suivant, avec deux contacts (à fermeture) montés en série et une lampe :

• Au repos, les deux contacts sont ouverts ($e _{\tiny 1}=0$ et $e _{\tiny 2}=0$) et la lampe est éteinte ($S =0$).
• Au travail, les deux interrupteurs sont fermés ($e _{\tiny 1}=1$ et $e _{\tiny 2}=1$) et la lampe est allumée ($S =1$).
• Si un seul contact est fermé, le courant ne passe pas et la lampe ne s’allume pas.
• Il faut que le premier ET le second contact soient fermés pour que la lampe soit allumée.

Définition

Porte logique $\text{ET}$ :

La sortie d’une porte $\text{ET}$ ($\text{AND}$ en anglais) est $1$ uniquement si l’ensemble des entrées ont pour valeur $1$.

À retenir

• Symbole :

Porte ET

• Table de vérité :

Nous avons $2$ entrées, notre table de vérité aura donc $2^2=4$ lignes.

$e_{\tiny 1}$	$e_{\tiny 2}$	$\red {S }$
$0$	$0$	$\red 0$
$0$	$1$	$\red0$
$1$	$0$	$\red0$
$1$	$1$	$\red1$

• Équation logique :

$$S =e _{\tiny 1}\cdot e _{\tiny 2}$$

• On dit : « e1 et e2 ».
• Chronogramme :

Bien sûr, nous pouvons avoir une multitude d’entrées. Nous représentons alors la fonction ainsi (avec $7$ entrées) :

• $S =1$ uniquement si l’ensemble des entrées ont pour valeur $1$.

Porte logique $\text{OU}$

Reprenons notre schéma électrique précédent, mais montons, cette fois, les deux contacts (à fermeture) en parallèle (dérivation), et non en série :

• Au repos, les deux contacts sont ouverts ($e _{\tiny 1}=0$ et $e _{\tiny 2}=0$) et la lampe est éteinte ($S =0$).
• Au travail, les deux contacts sont fermés ($e _{\tiny 1}=1$ et $e _{\tiny 2}=1$) et la lampe est allumée ($S =1$).
• Si un seul contact est fermé, le courant passe et la lampe s’éclaire.
• Il suffit que le premier OU le second contact soit fermé pour que la lampe s’allume.

Définition

Porte logique $\text{OU}$ :

La sortie d’une porte $\text{OU}$ ($\text{OR}$ en anglais) est égale à $1$ si au moins une des entrées a pour valeur $1$.

À retenir

• Symbole :

Porte OU

Img-14 Porte OU

• Table de vérité :

Nous avons $2$ entrées, notre table de vérité aura donc $2^2=4$ lignes.

$e_{\tiny 1}$	$e_{\tiny 2}$	$\red {S }$
$0$	$0$	$\red 0$
$0$	$1$	$\red1$
$1$	$0$	$\red1$
$1$	$1$	$\red1$

• Équation logique :

$$S =e _{\tiny 1}+e _{\tiny 2}$$

• On dit : « e1 ou e2 ».
• Chronogramme :

Ici aussi, nous pouvons avoir une multitude d’entrées, que nous représentons ainsi (avec $7$ entrées) :

• $S =1$ si au moins une des entrées a pour valeur $1$.

Porte logique $\text{OU\ EXCLUSIF}$

Il existe une porte $\text{OU}$ autrement plus restrictive que celle que nous venons de voir : la porte $\text{OU\ EXCLUSIF}$ ($\text{XOR}$ en anglais).

• Pour mieux la comprendre, regardons le schéma électrique suivant :

Il y a donc deux couples de contacts associés.
Chaque couple est composé d’un contact à ouverture et d’un contact à fermeture, qui sont liés mécaniquement.

• Si on appuie sur le premier, par exemple, ses deux contacts liés s'inversent, ce qui va entraîner l'allumage de la lampe.

Notons $e _{\tiny 1}$ le premier couple (en rouge sur le schéma) et $e _{\tiny 2}$ le second (en vert sur le schéma).
Nous considérons que les couples sont au repos ($e _{\tiny 1}=0$ et $e _{\tiny 2}=0$) lorsqu’ils sont dans la position indiquée sur le schéma.
Nous voyons tout de suite que la lampe s’allume uniquement si une seule entrée a pour valeur $1$.

• Il faut que la première entrée ait pour valeur $1$ ET la seconde $0$ OU que la première entrée ait pour valeur $0$ ET la seconde $1$ pour que la lampe soit allumée.

Définition

Porte logique $\text{OU\ EXCLUSIF}$ :

La sortie d’une porte $\text{OU\ EXCLUSIF}$ est $1$ uniquement si l’une des entrées a pour valeur $1$ quand l’autre a pour valeur $0$.

À retenir

• Symbole :

Porte OU EXCLUSIF

• Table de vérité :

Nous avons $2$ entrées, notre table de vérité aura donc $2^2=4$ lignes.

$e_{\tiny 1}$	$e_{\tiny 2}$	$\red {S }$
$0$	$0$	$\red 0$
$0$	$1$	$\red1$
$1$	$0$	$\red1$
$1$	$1$	$\red0$

• Équation logique :

$$S =e _{\tiny 1}\oplus e _{\tiny 2}$$

• On dit : « e1 ou exclusif e2 ».
• Chronogramme :