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Programme Collège 5eCours MathématiquesPourcentages : définition et applicationundefined : Pourcentages : définition et applicationPourcentages : définition et application
Introduction :
Les pourcentages sont utilisés dans de nombreuses situations de la vie courante pour exprimer une proportion.
En mathématiques, une même proportion peut être exprimée sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage. Nous verrons le lien entre ces différentes écritures.
Dans un premier temps, nous allons étudier la notion de pourcentage et son lien avec la proportionnalité. Puis nous apprendrons à appliquer un pourcentage à une quantité et à déterminer un pourcentage. Enfin, nous utiliserons les pourcentages pour calculer des augmentations et des diminutions, notamment dans des situations de réduction de prix.
Le pourcentage et la proportionnalité
Vocabulaire
Rappel
Définition
Situation de proportionnalité :
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité. On dit alors qu’il y a situation de proportionnalité.
Définition
Pourcentage :
Un pourcentage représente la proportion d’une quantité comparée à $100$.
Il s’exprime sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est $100$ et se note avec le symbole « $\%$ », qui se lit « pour cent ».
Exemple
Par exemple, $54\ \%$ se lit « $54$ pour cent », et on a :
$$54\ \%=\dfrac {54}{100}$$
Exemple
Exemple
Pour une bonne conservation, une confiture doit contenir $60\ \%$ de sucre.
- Cela signifie que la masse de sucre est proportionnelle à la masse de confiture et que, pour $100$ grammes de confiture, il y a $60$ grammes de sucre.
Quelle masse de sucre y a-t-il dans $110\text{ g}$, $200\text{ g}$, $50\text{ g}$ et $250\text{ g}$ de confiture ?
Nous pouvons consigner ces données dans un tableau de proportionnalité.
Masse de confiture (en grammes) |
$100$ |
$110$ |
$200$ |
$50$ |
$250$ |
Masse de sucre (en grammes) |
$60$ |
On cherche tout d’abord à calculer $60\ \%$ de $110$.
On est ici dans une situation de proportionnalité.
On peut donc chercher le coefficient de proportionnalité en effectuant la division de $60$ par $100$ :
$$60 \div 100 = 0,6$$
- Le coefficient de proportionnalité est de $0,6$.
Pour compléter ce tableau, on peut donc multiplier les nombres de la première ligne par $0,6$ pour obtenir les valeurs de la deuxième ligne.
Masse de confiture (en grammes) |
$100$ |
$110$ |
$200$ |
$50$ |
$250$ |
Masse de sucre (en grammes) |
$60$ |
$66$ |
$120$ |
$30$ |
$150$ |
Cette situation pourrait aussi être représentée par un graphique. Comme c’est une situation de proportionnalité, il s’agira d’une droite passant par l’origine du repère.
Pourcentages particuliers
Pourcentage |
Fraction en centième |
Fraction simplifiée |
Nombre décimal |
Nom d’usage |
$10\ \%$ |
$\frac{10}{100}$ |
$\frac{1}{10}$ |
$0,1$ |
le dixième |
$25\ \%$ |
$\frac{25}{100}$ |
$\frac{1}{4}$ |
$0,25$ |
le quart |
$50\ \%$ |
$\frac{50}{100}$ |
$\frac{1}{2}$ |
$0,50$ |
le demi |
$75\ \%$ |
$\frac{75}{100}$ |
$\frac{3}{4}$ |
$0,75$ |
les trois quarts |
Appliquer et déterminer un taux de pourcentage
Appliquer un taux de pourcentage
Propriété
Pour calculer $\text{x}\ \%$ d’une quantité, il faut multiplier cette quantité par $\dfrac{\text{x}}{100}$.
Exemple
Dans un sac de $80$ jetons, $35\ \%$ des jetons sont rouges.
Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac ?
On doit ici calculer $35\ \%$ de $80$.
$$\begin{aligned}80\times35\ \% &=80\times\frac{35}{100} \\&=80\times 0,35\\ &=28\end{aligned}$$
- Le sac contient donc $28$ jetons rouges.
En France, la masse moyenne des déchets ménagers est de $375\text{ kg}$ par habitant et par an. $14\ \%$ de ces déchets sont des papiers.
Quelle est la masse de papiers jetés en une année dans les déchets ménagers par habitant ?
On cherche ici à calculer $14\ \%$ de $375$.
$$\begin{aligned}375\times14\ \%&=375 \times \frac{14}{100}\\ &=375 \times 0,14\\&=52,5\end{aligned}$$
Un habitant jette en moyenne $52,5\text{ kg}$ de papiers par an.((fleche))
((bulle, 3))
Un pantalon coûte $80\ €$. Pendant les soldes, son prix bénéficie d’une réduction de $25\ \%$.
Quel est le montant de la réduction ?
On cherche ici à calculer $25\ \%$ de $80$. $$ \begin{aligned} 80\times25\ \% &=80\times\frac{25}{100}\\ &=80\times0,25\\ &=20 \end{aligned} $$ La réduction est donc de $20\ €$.
Le pantalon coûte alors : $$80-20=60$$
- Après la réduction, le pantalon coûte $60\ €$.
Déterminer un pourcentage
Propriété
Déterminer un pourcentage revient à calculer un coefficient de proportionnalité sous la forme $\frac{x}{100}$.
Exemple
Dans un club de sport de $250$ licenciés, il y a $110$ filles.
Quel est le pourcentage de filles dans ce club ?
Il y a $\frac{110}{250}$ filles dans ce club. On cherche ici à obtenir un pourcentage, donc une fraction dont le dénominateur est $100$.
$$\dfrac{110}{250}=\dfrac{110\times 4}{250\times 4}=\dfrac{440}{1\,000}=\dfrac{440\div 10}{1\,000\div 10}=\dfrac{44}{100}$$
- Il y a $44\ \%$ de filles dans ce club de sport.
Dans une classe de $28$ élèves, $7$ élèves sont gauchers.
Quel est le pourcentage de gauchers dans cette classe ?
Il y a $\frac{7}{28}$ élèves gauchers dans cette classe. On cherche ici à obtenir un pourcentage, donc une fraction dont le dénominateur est $100$.
$$\dfrac{7}{28}=\dfrac{7\div 7}{28\div 7}=\dfrac{1}{4}=0,25=\dfrac{25}{100}$$
- $25\ \%$ des élèves sont gauchers dans cette classe.
La classe de 5e B a voté pour l’élection des délégués de classe. La classe comporte $24$ élèves et Claire a obtenu $15$ voix.
Quel est le pourcentage de voix obtenu par Claire ?
Claire a obtenu $\frac{15}{24}$ voix. On cherche ici à obtenir un pourcentage, donc une fraction dont le dénominateur est $100$.
$$\dfrac{15}{24}=0,625=\dfrac{62,5}{100}$$
- $62,5\ \%$ des élèves de 5e B ont voté pour Claire.
Augmentations et diminutions
Calculer une augmentation ou une diminution
Lorsqu’une quantité augmente ou diminue d’un certain pourcentage, on commence par calculer la valeur de cette augmentation ou de cette diminution.
Exemple
Un abonnement coûte $50\ €$. Son prix augmente de $10\ \%$.
Calculons $10\ \%$ de $50$ :
$$50\times\frac{10}{100}=5$$
L’augmentation est de $5\ €$.
Le nouveau prix est donc :
$$50+5=55$$
- Après l’augmentation, l’abonnement coûte $55\ €$.
Exemple
Un article coûte $60\ €$ et bénéficie d’une réduction de $25\ \%$.
Le montant de la réduction est :
$$60\times\frac{25}{100}=15$$
Le nouveau prix est donc :
$$60-15=45$$
- Après la réduction, l’article coûte $45\ €$.
Retrouver une valeur avant une diminution
Exemple
Après une réduction de $20\ \%$, un article coûte $40\ €$.
Quel était son prix avant la réduction ?
Après une réduction de $20\ \%$, le nouveau prix représente :
$$100\ \%-20\ \%=80\ \%$$
du prix initial.
$40\ €$ représentent donc $80\ \%$ du prix initial.
Calculons la valeur correspondant à $1\ \%$ :
$$40\div80=0,5$$
Puis celle correspondant à $100\ \%$ :
$$0,5\times100=50$$
- Avant la réduction, l’article coûtait $50\ €$.
Conclusion :
Savoir appliquer un taux de pourcentage ou trouver un taux de pourcentage est utile dans des domaines très divers tels que les statistiques, la géographie, la physique, la chimie, le développement durable, la santé ou le commerce.
Les pourcentages permettent également de calculer des augmentations ou des diminutions, par exemple lors d’une évolution de prix ou d’une réduction pendant les soldes.
