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Les suites arithmétiques et géométriques

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

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Introduction :

Nous avons déjà vu, dans un précédent cours, la définition d’une suite numérique et les différentes expressions possibles, ainsi que les méthodes pour déterminer leur sens de variation. Nous avons également introduit la notion de limite d’une suite.

Dans ce cours, nous allons poursuivre le travail sur les suites : nous parlerons tout d’abord des suites arithmétiques, puis nous aborderons les suites géométriques.

Suites arithmétiques

Définition et propriétés

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Définition

Suite arithmétique :

Une suite (un)(un) est arithmétique si et seulement si il existe un réel rr tel que, pour tout nNn\in\mathbb N : un+1=un+ru{n+1}=u_n+r.

Le nombre rr est appelé raison de la suite (un).(u_n).

première réforme mathématiques suites arithmétiques Suite arithmétique de raison r

  • Pour passer d’un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre rr.
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Propriété

On considère une suite (un)(un) de premier terme u0u0 et de raison rr.

Alors, pour tout entier naturel nn, on a : un=u0+nrun=u0+nr.

Exemple :
Soit une suite arithmétique de 1er terme u0=2u0=2 et de raison 33.
un=2+n×3=2+3nu
n=2+n×3=2+3n, pour tout entier naturel nn.

bannière attention

Attention

On ne connaît pas toujours le premier terme.

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Propriété

Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), pour tout nNn\in\mathbb N et pour tout pNp\in\mathbb N, on a :
un=up+(np)run=up+(n-p)r.

Exemple :
Soit une suite arithmétique de raison 55 et dont on connaît u2=3u2=3.
un=u2+(n2)×r=3+(n2)×5=3+5n10=7+5n\begin{aligned}u
n&=u_2+(n-2)×r\&=3+(n-2)×5\&=3+5n-10\&=-7+5n\end{aligned}

Sens de variation et représentation graphique

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Propriété

Soit (un)(u_n) une suite arithmétique de raison rr :

  • si r>0r>0, la suite (un)(u_n) est croissante :

première réforme mathématiques suites arithmétiques Représentation graphique d’une suite arithmétique croissante

  • si r<0r<0, la suite (un)(u_n) est décroissante :

première réforme mathématiques suites arithmétiques Représentation graphique d’une suite arithmétique décroissante

  • si r=0r=0, la suite (un)(u_n) est constante.

Cette propriété est une conséquence immédiate de la définition d’une suite arithmétique, puisque la raison représente la différence entre deux termes consécutifs de la suite : r=un+1unr=u{n+1}-un, pour tout entier naturel nn.

Ainsi, si r>0,r>0, cela signifie que un+1un>0u{n+1}-un>0 et donc que un+1>unu{n+1}>un. Dans ce cas, chaque terme est plus grand que le précédent, la suite est donc croissante.

bannière à retenir

À retenir

Une suite arithmétique de raison rr est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur rr (représentation graphique d’une fonction affine). On dit alors que la croissance, ou la décroissance, des termes d’une suite arithmétique est linéaire.

Somme de termes consécutifs

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Propriété

Soit (un)(u_n) une suite arithmétique. La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :

S=(nombre de termes)×(premier terme + dernier terme)2S=(\text{nombre de termes})\times\dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}{2}

Exemple :
On cherche à calculer : S=4+14+24+34++284S=4+14+24+34+…+284.
La première étape est de reconnaître les termes d’une suite arithmétique (ici de raison 1010) : u0=4 ; u1=14 ;  ; u28=284u0=4\ ;\ u1=14\ ;\ …\ ;\ u_{28}=284.
D’après la formule précédente :
S=(nombre de termes) ×(premier terme + dernier terme)2=29×(4+284)2=29×144 =4176\begin{aligned} S&=(\text{nombre de termes})\ \times \dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}{2} \ &=29×\dfrac{(4+284)}2 \ &=29×144\ \ &=4 176 \end{aligned}

bannière attention

Attention

On remarque que le premier terme est 00 et le dernier 2828. Le nombre de termes est donc 2929.

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Propriété

Soit un entier naturel nn non nul.

Alors la somme des nn premiers entiers non nuls est :
1+2+3++n=n(n+1)21+2+3+…+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

  • La somme des nn premiers entiers peut aussi être calculée par un algorithme sur la calculatrice (Casio ou TI).
bannière demonstration

Démonstration

Posons Sn=1+2++(n1)+nS_n=1+2+…+(n-1)+n, pour tout entier naturel nn.

Soit un entier naturel nn. Écrivons SnSn de deux façons :
Sn=1+2+...+(n1)+nSn=n+(n1)...+3+2+1\begin{aligned}S
n&=1+2+…+(n-1)+n \ S_n&=n+(n-1)…+3+2+1\end{aligned}

En additionnant terme à terme les deux sommes, nous obtenons :
2Sn=(n+1)++(n+1)+(n+1)2S_n=(n+1)+…+(n+1)+(n+1),
où le terme n+1n+1 est présent nn fois dans la somme.

Nous obtenons donc :
2Sn=n(n+1)Sn=n(n+1)2\begin{aligned}2Sn&=n(n+1) \ Sn&=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{aligned}

Suites géométriques

Définition et propriétés

bannière definition

Définition

Suite géométrique :

Une suite (un)(un) est géométrique si et seulement si il existe un réel qq tel que, pour tout nNn\in\mathbb N, un+1=un×qu{n+1}=u_n\times q.

Le nombre qq est appelé raison de la suite (un)(u_n).

première réforme mathématiques suites géométriques Suite géométrique de raison q

  • Pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours par le nombre qq.
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Propriété

On considère une suite (un)(un) de premier terme u0u0 et de raison qq.

Alors, pour tout entier naturel nn, on a : un=u0×qnun=u0×q^n.

Exemple :
Soit une suite géométrique de 1er terme u0=2u0=2 et de raison 33.
un=2×3nu
n=2×3^n, pour tout entier naturel nn.

bannière propriete

Propriété

Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), on a pour tout nNn\in\mathbb N et pour tout pNp\in\mathbb N :
un=up×qnpun=up×q^{n-p}.

Exemple :
Soit une suite géométrique de raison 55 et dont on connaît u2=3u2=3. un=u2×qn2=3×5n2un=u_2×q^{n-2}=3×5^{n-2}, pour tout entier naturel nn.

Sens de variation et représentation graphique

bannière propriete

Propriété

Soit (un)(u_n) une suite géométrique de premier terme non nul et de raison qq. Il y a plusieurs cas possibles :

  • Si q>1q>1 :
  • Si u0>0u0>0, la suite (un)(un) est croissante :

première réforme mathématiques suites géométriques Suite géométrique croissante

  • Si u0<0u0<0, la suite (un)(un) est décroissante :

première réforme mathématiques suites géométriques Suite géométrique décroissante

  • Si q=1q=1, la suite (un)(u_n) est constante.
  • Si 0<q<10
  • Si u0>0u0>0, la suite (un)(un) est décroissante.

première réforme mathématiques suites géométriques Suite géométrique décroissante

  • Si u0<0u0<0, la suite (un)(un) est croissante.

première réforme mathématiques suites géométriques Suite géométrique croissante

  • Si q=0q=0, la suite (un)(u_n) est constante et vaut 00 à partir du deuxième terme.
  • Si q<0q<0, la suite (un)(u_n) n’a pas de variations régulières ; on dit qu’elle n’est pas monotone.
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À retenir

Une suite géométrique croissante ou décroissante (voir les cas des 4 graphiques précédents) est représentée graphiquement par des points appartenant à une fonction de type exponentiel. Dans ces cas, on dit que la croissance (ou la décroissance) des termes d’une suite géométrique est exponentielle.

Somme de termes consécutifs

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Propriété

Soit (un)(u_n) une suite géométrique de raison q1q\neq1.

La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :

S=(premier terme)×1qnombre de termes1qS=(\text{premier terme})\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}

Exemple :
On considère la suite géométrique (un)(un) de premier terme u0=256u0=256 et de raison 34\dfrac{3}{4}.
On cherche à calculer : S10=u0+u1+u2++u10S{10}=u0+u1+u2+…+u_{10}.

D’après la formule précédente :
S=(premier terme)×1qnombre de termes1q=256×1(34)11134=256×1(34)1114=256×4×(1(34)11)=1024×(1(34)11)\begin{aligned} S&=(\text{premier terme})\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q} \ &=256\times\dfrac{1-(\frac{3}{4})^{11}}{1-\frac{3}{4}} \ &=256\times\dfrac{1-(\frac{3}{4})^{11}}{\frac{1}{4}} \ &=256\times4\times\bigg(1-\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^{11}\bigg) \ &=1024\times\bigg(1-\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^{11}\bigg) \ \end{aligned}

bannière attention

Attention

On remarque que le premier terme est 00 et le dernier 1010. Le nombre de termes est donc 1111.

De la première propriété, il est facile d’en déduire une seconde, qui permettra de calculer directement la somme des nn premiers termes d’une suite géométrique de raison q1q\neq1 :

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Propriété

Soit un entier naturel nn non nul et qq un réel différent de 11.

Alors :
1+q+q2+q3++qn=1qn+11q1+q+q^2+q^3+…+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

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Démonstration

Posons Sn=1+q+q2+q3+...+qnS_n = 1+q+q^2+q^3+…+q^n, pour tout entier naturel nn.

En multipliant par qq cette relation, nous obtenons : qSn=q+q2+q3+q4+...+qn+1qS_n=q+q^2+q^3+q^4+…+q^{n+1}

En soustrayant les expressions de SnSn et de qSnq Sn, nous obtenons : SnqSn=1+q+q2+q3+...+qn(q+q2+q3+q4+...+qn+1)(1q)Sn=1qn+1\begin{aligned} Sn-qSn&=1+q+q^2+q^3+…+q^n-(q+q^2+q^3+q^4+…+q^{n+1}) \ (1-q)S_n&=1-q^{n+1}\end{aligned} (car les autres termes se simplifient).

Nous obtenons donc :
Sn=1qn+11qS_n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
car q1q\neq1.

Limite de qnq^n

Le théorème sur la limite de qnq^n permet d’étudier la limite de n’importe quelle suite géométrique.

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Théorème

Soit qq un réel différent de 11 :

  • Si q>1q>1, la suite (qn)(q^n) diverge vers ++\infty.
  • Si 1<q<1-1, la suite (qn)(q^n) converge vers 00.
  • Si q1q\leq-1, la suite (qn)(q^n) diverge et n’admet pas de limite.
  • De ce théorème, nous pouvons déduire la limite de toute suite géométrique de raison q1q\neq1 et telle que u00u_0\neq0.
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Propriété

Propriétés :

  • Si q>1q >1 :
  • si u0>0u0>0, la suite (un)(un) a pour limite ++\infty ;
  • si u0<0u0<0, la suite (un)(un) a pour limite -\infty.
  • Si 1<q<1-1, la suite (un)(u_n) converge vers 00.
  • Si q1q\leq-1, la suite (un)(u_n) diverge et n’admet pas de limite.