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Les suites arithmétiques et géométriques
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Introduction :
Nous avons déjà vu, dans un précédent cours, la définition d’une suite numérique et les différentes expressions possibles, ainsi que les méthodes pour déterminer leur sens de variation. Nous avons également introduit la notion de limite d’une suite.
Dans ce cours, nous allons poursuivre le travail sur les suites : nous parlerons tout d’abord des suites arithmétiques, puis nous aborderons les suites géométriques.
Suites arithmétiques
Définition et propriétés
Suite arithmétique :
Une suite est arithmétique si et seulement si il existe un réel tel que, pour tout : .
Le nombre est appelé raison de la suite
Suite arithmétique de raison r
On considère une suite de premier terme et de raison .
Alors, pour tout entier naturel , on a : .
Exemple :
Soit une suite arithmétique de 1er terme et de raison .
, pour tout entier naturel .
On ne connaît pas toujours le premier terme.
Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), pour tout et pour tout , on a :
.
Exemple :
Soit une suite arithmétique de raison et dont on connaît .
Sens de variation et représentation graphique
Soit une suite arithmétique de raison :
Représentation graphique d’une suite arithmétique croissante
Représentation graphique d’une suite arithmétique décroissante
Cette propriété est une conséquence immédiate de la définition d’une suite arithmétique, puisque la raison représente la différence entre deux termes consécutifs de la suite : , pour tout entier naturel .
Ainsi, si cela signifie que et donc que . Dans ce cas, chaque terme est plus grand que le précédent, la suite est donc croissante.
Une suite arithmétique de raison est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur (représentation graphique d’une fonction affine). On dit alors que la croissance, ou la décroissance, des termes d’une suite arithmétique est linéaire.
Somme de termes consécutifs
Soit une suite arithmétique. La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :
Exemple :
On cherche à calculer : .
La première étape est de reconnaître les termes d’une suite arithmétique (ici de raison ) : .
D’après la formule précédente :
On remarque que le premier terme est et le dernier . Le nombre de termes est donc .
Soit un entier naturel non nul.
Alors la somme des premiers entiers non nuls est :
.
Posons , pour tout entier naturel .
Soit un entier naturel . Écrivons de deux façons :
En additionnant terme à terme les deux sommes, nous obtenons :
,
où le terme est présent fois dans la somme.
Nous obtenons donc :
Suites géométriques
Définition et propriétés
Suite géométrique :
Une suite est géométrique si et seulement si il existe un réel tel que, pour tout , .
Le nombre est appelé raison de la suite .
Suite géométrique de raison q
On considère une suite de premier terme et de raison .
Alors, pour tout entier naturel , on a : .
Exemple :
Soit une suite géométrique de 1er terme et de raison .
, pour tout entier naturel .
Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), on a pour tout et pour tout :
.
Exemple :
Soit une suite géométrique de raison et dont on connaît .
, pour tout entier naturel .
Sens de variation et représentation graphique
Soit une suite géométrique de premier terme non nul et de raison . Il y a plusieurs cas possibles :
Suite géométrique croissante
Suite géométrique décroissante
Suite géométrique décroissante
Suite géométrique croissante
Une suite géométrique croissante ou décroissante (voir les cas des 4 graphiques précédents) est représentée graphiquement par des points appartenant à une fonction de type exponentiel. Dans ces cas, on dit que la croissance (ou la décroissance) des termes d’une suite géométrique est exponentielle.
Somme de termes consécutifs
Soit une suite géométrique de raison .
La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :
Exemple :
On considère la suite géométrique de premier terme et de raison .
On cherche à calculer : .
D’après la formule précédente :
On remarque que le premier terme est et le dernier . Le nombre de termes est donc .
De la première propriété, il est facile d’en déduire une seconde, qui permettra de calculer directement la somme des premiers termes d’une suite géométrique de raison :
Soit un entier naturel non nul et un réel différent de .
Alors :
Posons , pour tout entier naturel .
En multipliant par cette relation, nous obtenons :
En soustrayant les expressions de et de , nous obtenons :
(car les autres termes se simplifient).
Nous obtenons donc :
car .
Limite de
Le théorème sur la limite de permet d’étudier la limite de n’importe quelle suite géométrique.
Soit un réel différent de :
Propriétés :