Les suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques

Définition et propriétés

Définition

Suite arithmétique :

Une suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$ : $u_{n+1}=u_n+r$.

Le nombre $r$ est appelé raison de la suite $(u_n).$

• Pour passer d’un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre $r$.

Propriété

On considère une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$.

Alors, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=u_0+nr$.

Exemple :
Soit une suite arithmétique de 1^er terme $u_0=2$ et de raison $3$.
$u_n=2+n×3=2+3n$, pour tout entier naturel $n$.

Attention

On ne connaît pas toujours le premier terme.

Propriété

Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), pour tout $n\in\mathbb N$ et pour tout $p\in\mathbb N$, on a :
$u_n=u_p+(n-p)r$.

Exemple :
Soit une suite arithmétique de raison $5$ et dont on connaît $u_2=3$.
$\begin{aligned}u_n&=u_2+(n-2)×r\\&=3+(n-2)×5\\&=3+5n-10\\&=-7+5n\end{aligned}$

Sens de variation et représentation graphique

Propriété

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ :

• si $r>0$, la suite $(u_n)$ est croissante :

Représentation graphique d’une suite arithmétique croissante

• si $r<0$, la suite $(u_n)$ est décroissante :

Représentation graphique d’une suite arithmétique décroissante

• si $r=0$, la suite $(u_n)$ est constante.

Cette propriété est une conséquence immédiate de la définition d’une suite arithmétique, puisque la raison représente la différence entre deux termes consécutifs de la suite : $r=u_{n+1}-u_n$, pour tout entier naturel $n$.

Ainsi, si $r>0,$ cela signifie que $u_{n+1}-u_n>0$ et donc que $u_{n+1}>u_n$. Dans ce cas, chaque terme est plus grand que le précédent, la suite est donc croissante.

À retenir

Une suite arithmétique de raison $r$ est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur $r$ (représentation graphique d’une fonction affine). On dit alors que la croissance, ou la décroissance, des termes d’une suite arithmétique est linéaire.

Somme de termes consécutifs

Propriété

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique. La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :

$S=(\text{nombre de termes})\times\dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}{2}$

Exemple :
On cherche à calculer : $S=4+14+24+34+…+284$.
La première étape est de reconnaître les termes d’une suite arithmétique (ici de raison $10$) : $u_0=4\ ;\ u_1=14\ ;\ …\ ;\ u_{28}=284$.
D’après la formule précédente :
$\begin{aligned} S&=(\text{nombre de termes})\ \times \dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}{2} \\ &=29×\dfrac{(4+284)}2 \\ &=29×144\\ \ &=4 176 \end{aligned}$

Attention

On remarque que le rang du premier terme est $0$ et celui du dernier $28$. Le nombre de termes est donc $29$.

Propriété

Soit un entier naturel $n$ non nul.

Alors la somme des $n$ premiers entiers non nuls est :
$1+2+3+…+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

• La somme des $n$ premiers entiers peut aussi être calculée par un algorithme sur la calculatrice (Casio ou TI).

Démonstration

Posons $S_n=1+2+…+(n-1)+n$, pour tout entier naturel $n$.

Soit un entier naturel $n$. Écrivons $S_n$ de deux façons :
$\begin{aligned}S_n&=1+2+…+(n-1)+n \\ S_n&=n+(n-1)…+3+2+1\end{aligned}$

En additionnant terme à terme les deux sommes, nous obtenons :
$2S_n=(n+1)+…+(n+1)+(n+1)$,
où le terme $n+1$ est présent $n$ fois dans la somme.

Nous obtenons donc :
$\begin{aligned}2S_n&=n(n+1) \\ S_n&=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{aligned}$

Suites géométriques

Définition et propriétés

Définition

Suite géométrique :

Une suite $(u_n)$ est géométrique si et seulement si il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=u_n\times q$.

Le nombre $q$ est appelé raison de la suite $(u_n)$.

• Pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours par le nombre $q$.

Propriété

On considère une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$.

Alors, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=u_0×q^n$.

Exemple :
Soit une suite géométrique de 1^er terme $u_0=2$ et de raison $3$.
$u_n=2×3^n$, pour tout entier naturel $n$.

Propriété

Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), on a pour tout $n\in\mathbb N$ et pour tout $p\in\mathbb N$ :
$u_n=u_p×q^{n-p}$.

Exemple :
Soit une suite géométrique de raison $5$ et dont on connaît $u_2=3$. $u_n=u_2×q^{n-2}=3×5^{n-2}$, pour tout entier naturel $n$.

Sens de variation et représentation graphique

Propriété

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme non nul et de raison $q$. Il y a plusieurs cas possibles :

• Si $q>1$ :
• Si $u_0>0$, la suite $(u_n)$ est croissante :

Suite géométrique croissante

• Si $u_0<0$, la suite $(u_n)$ est décroissante :

Suite géométrique décroissante

• Si $q=1$, la suite $(u_n)$ est constante.
• Si $0<q<1$
• Si $u_0>0$, la suite $(u_n)$ est décroissante.

Suite géométrique décroissante

• Si $u_0<0$, la suite $(u_n)$ est croissante.

Suite géométrique croissante

• Si $q=0$, la suite $(u_n)$ est constante et vaut $0$ à partir du deuxième terme.
• Si $q<0$, la suite $(u_n)$ n’a pas de variations régulières ; on dit qu’elle n’est pas monotone.

À retenir

Une suite géométrique croissante ou décroissante (voir les cas des 4 graphiques précédents) est représentée graphiquement par des points appartenant à une fonction de type exponentiel. Dans ces cas, on dit que la croissance (ou la décroissance) des termes d’une suite géométrique est exponentielle.

Somme de termes consécutifs

Propriété

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq1$.

La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :

$S=(\text{premier terme})\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$

Exemple :
On considère la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=256$ et de raison $\dfrac{3}{4}$.
On cherche à calculer : $S_{10}=u_0+u_1+u_2+…+u_{10}$.

D’après la formule précédente :
$\begin{aligned} S&=(\text{premier terme})\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q} \\ &=256\times\dfrac{1-(\frac{3}{4})^{11}}{1-\frac{3}{4}} \\ &=256\times\dfrac{1-(\frac{3}{4})^{11}}{\frac{1}{4}} \\ &=256\times4\times\bigg(1-\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^{11}\bigg) \\ &=1024\times\bigg(1-\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^{11}\bigg) \\ \end{aligned}$

Attention

On remarque que le rang du premier terme est $0$ et celui du dernier $10$. Le nombre de termes est donc $11$.

De la première propriété, il est facile d’en déduire une seconde, qui permettra de calculer directement la somme des $n$ premiers termes d’une suite géométrique de raison $q\neq1$ :

Propriété

Soit un entier naturel $n$ non nul et $q$ un réel différent de $1$.

Alors :
$1+q+q^2+q^3+…+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Démonstration

Posons $S_n = 1+q+q^2+q^3+…+q^n$, pour tout entier naturel $n$.

En multipliant par $q$ cette relation, nous obtenons : $qS_n=q+q^2+q^3+q^4+…+q^{n+1}$

En soustrayant les expressions de $S_n$ et de $q S_n$, nous obtenons : $\begin{aligned} S_n-qS_n&=1+q+q^2+q^3+…+q^n-(q+q^2+q^3+q^4+…+q^{n+1}) \\ (1-q)S_n&=1-q^{n+1}\end{aligned}$
(car les autres termes se simplifient).

Nous obtenons donc :
$S_n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
car $q\neq1$.

Limite de $q^n$

Le théorème sur la limite de $q^n$ permet d’étudier la limite de n’importe quelle suite géométrique.

Théorème

Soit $q$ un réel différent de $1$ :

• Si $q>1$, la suite $(q^n)$ diverge vers $+\infty$.
• Si $-1<q<1$, la suite $(q^n)$ converge vers $0$.
• Si $q\leq-1$, la suite $(q^n)$ diverge et n’admet pas de limite.

• De ce théorème, nous pouvons déduire la limite de toute suite géométrique de raison $q\neq1$ et telle que $u_0\neq0$.

Propriété

Propriétés :

• Si $q >1$ :
• si $u_0>0$, la suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ ;
• si $u_0<0$, la suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$.
• Si $-1<q<1$, la suite $(u_n)$ converge vers $0$.
• Si $q\leq-1$, la suite $(u_n)$ diverge et n’admet pas de limite.