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Les suites arithmétiques et géométriques

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Suites arithmétiques

  • Une suite (un)(un) est arithmétique si et seulement si il existe un réel rr tel que, pour tout nNn\in\mathbb N : un+1=un+ru{n+1}=u_n+r.
  • Pour passer d’un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre rr, appelé raison de la suite (un)(u_n).
  • Soit (un)(un) une suite de premier terme u0u0 et de raison rr. Pour tout entier naturel nn, on a : un=u0+nrun=u0+nr.
  • Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), pour tout nNn\in\mathbb N et pour tout pNp\in\mathbb N, on a : un=up+(np)run=up+(n-p)r.
  • Soit (un)(u_n) une suite arithmétique de raison rr, alors :
  • si r>0r>0, (un)(u_n) est croissante ;
  • si r<0r<0, (un)(u_n) est décroissante ;
  • si r=0r=0, (un)(u_n) est constante.
  • Une suite arithmétique de raison rr est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur rr (représentation graphique d’une fonction affine). On dit alors que la croissance, ou la décroissance, des termes d’une suite arithmétique est linéaire.
  • Soit (un)(u_n) une suite arithmétique et SS la somme des termes consécutifs :
  • S=(nombre de termes)×(premier terme + dernier terme)2S=(\text{nombre de termes})\times\dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}{2}
  • Soit un entier naturel nn non nul :
  • la somme des nn premiers entiers non nuls est : 1+2+3++n=n(n+1)21+2+3+…+n=\dfrac{n(n+1)}{2}

Suites géométriques

  • Une suite (un)(un) est géométrique si et seulement si il existe un réel qq tel que, pour tout nNn\in\mathbb N, un+1=un×qu{n+1}=u_n\times q.
  • Pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours par le nombre qq, appelé raison de la suite (un)(u_n).
  • Soit (un)(un) une suite de premier terme u0u0 et de raison qq. Pour tout entier naturel nn, on a : un=u0×qnun=u0×q^n.
  • Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), pour tout nNn\in\mathbb N et pour tout pNp\in\mathbb N, on a : un=up×qnpun=up×q^{n-p}.
  • Soit (un)(u_n) une suite géométrique de premier terme non nul et de raison qq.
  • Si q>1q>1 :
  • si u0>0u0>0, la suite (un)(un) est croissante ;
  • si u0<0u0<0, la suite (un)(un) est décroissante.
  • Si q=1q=1 : la suite (un)(u_n) est constante.
  • Si 0<q<10 :
  • si u0>0u0>0, (un)(un) est décroissante ;
  • si u0<0u0<0, (un)(un) est croissante.
  • Si q=0q=0 : (un)(u_n) est constante et vaut 00 à partir du deuxième terme.
  • Si q<0q<0 : (un)(u_n) n’a pas de variations régulières ; on dit qu’elle n’est pas monotone.
  • Une suite géométrique croissante ou décroissante est représentée graphiquement par des points appartenant à une fonction de type exponentiel. Dans ces cas, on dit que la croissance (ou la décroissance) des termes d’une suite géométrique est exponentielle.
  • Soit (un)(u_n) une suite géométrique de raison q1q\neq1 et SS la somme des termes consécutifs :
  • S=(premier terme)×1qnombre de termes1qS=(\text{premier terme})\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}
  • Soit un entier naturel nn non nul et qq un réel différent de 11 :
  • 1+q+q2+q3++qn=1qn+11q1+q+q^2+q^3+…+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
  • Soit qq un réel différent de 11, alors :
  • si q>1q>1, (qn)(q^n) diverge vers ++\infty ;
  • si 1<q<1-1, (qn)(q^n) converge vers 00 ;
  • si q1q\leq-1, (qn)(q^n) diverge et n’admet pas de limite.
  • Soit (un)(un) une suite géométrique de raison q1q\neq1 et telle que u00u0\neq0.
  • Si q>1q>1 :
  • si u0>0u0>0, (un)(un) a pour limite ++\infty ;
  • si u0<0u0<0, (un)(un) a pour limite -\infty.
  • Si 1<q<1-1 : (un)(u_n) converge vers 00.
  • Si q1q\leq-1 : (un)(u_n) diverge et n’admet pas de limite.