Une suite (un) est arithmétique si et seulement si il existe un réelr tel que, pour tout n∈N : un+1=un+r.
Pour passer d’un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre r, appelé raison de la suite (un).
Soit (un) une suite de premier terme u0 et de raison r. Pour tout entier naturel n, on a : un=u0+nr.
Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), pour tout n∈N et pour tout p∈N, on a : un=up+(n−p)r.
Soit (un) une suite arithmétique de raison r, alors :
si r>0, (un) est croissante ;
si r<0, (un) est décroissante ;
si r=0, (un) est constante.
Une suite arithmétique de raison r est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur r (représentation graphique d’une fonction affine). On dit alors que la croissance, ou la décroissance, des termes d’une suite arithmétique est linéaire.
Soit (un) une suite arithmétique et S la somme des termes consécutifs :
S=(nombre de termes)×2(premier terme + dernier terme)
Soit un entier naturel n non nul :
la somme des n premiers entiers non nuls est : 1+2+3+…+n=2n(n+1)
Suites géométriques
Une suite (un) est géométrique si et seulement si il existe un réel q tel que, pour tout n∈N, un+1=un×q.
Pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours par le nombre q, appelé raison de la suite (un).
Soit (un) une suite de premier terme u0 et de raison q. Pour tout entier naturel n, on a : un=u0×qn.
Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), pour tout n∈N et pour tout p∈N, on a : un=up×qn−p.
Soit (un) une suite géométrique de premier terme non nul et de raison q.
Si q>1 :
si u0>0, la suite (un) est croissante ;
si u0<0, la suite (un) est décroissante.
Si q=1 : la suite (un) est constante.
Si 0<q<1 :
si u0>0, (un) est décroissante ;
si u0<0, (un) est croissante.
Si q=0 : (un) est constante et vaut 0 à partir du deuxième terme.
Si q<0 : (un) n’a pas de variations régulières ; on dit qu’elle n’est pas monotone.
Une suite géométrique croissante ou décroissante est représentée graphiquement par des points appartenant à une fonction de type exponentiel. Dans ces cas, on dit que la croissance (ou la décroissance) des termes d’une suite géométrique est exponentielle.
Soit (un) une suite géométrique de raison q=1 et S la somme des termes consécutifs :
S=(premier terme)×1−q1−qnombre de termes
Soit un entier naturel n non nul et q un réel différent de 1 :
1+q+q2+q3+…+qn=1−q1−qn+1
Soit q un réel différent de 1, alors :
si q>1, (qn) diverge vers +∞ ;
si −1<q<1, (qn) converge vers 0 ;
si q≤−1, (qn) diverge et n’admet pas de limite.
Soit (un) une suite géométrique de raison q=1 et telle que u0=0.
Si q>1 :
si u0>0, (un) a pour limite +∞ ;
si u0<0, (un) a pour limite −∞.
Si −1<q<1 : (un) converge vers 0.
Si q≤−1 : (un) diverge et n’admet pas de limite.
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