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Les suites numériques

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Introduction :

Les suites peuvent sembler une nouveauté, en classe de première. Pourtant, même si elles ne sont pas nommées ainsi, elles font partie du quotidien. Par exemple, la liste des entiers naturels impairs rangés dans l’ordre croissant 1, 3, 5, 7, 9…1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9… est une suite numérique.

Nous allons tout d’abord parler des modes de génération d’une suite numérique et nous verrons comment représenter graphiquement une telle suite.
Nous continuerons avec le sens de variation, puis nous introduirons la notion de limite d’une suite numérique.

Modes de génération d’une suite numérique et représentation graphique

Définition d’une suite numérique

bannière definition

Définition

Suite numérique :

Une suite numérique uu est une fonction définie sur N\mathbb N, à valeurs dans R\mathbb R :

u:NRnu(n), aussi noteˊ un\begin{aligned} u:\mathbb N&\mapsto\mathbb R \ n&\mapsto u(n)\text{, aussi noté }u_n \end{aligned}

bannière astuce

Astuce

On peut lire la définition de la manière suivante : une suite numérique uu est une fonction définie sur N\mathbb N, à valeurs dans R\mathbb R, qui à tout entier naturel nn associe le nombre réel « uu de nn », aussi noté « uu indice nn ».

bannière à retenir

À retenir

Pour tout entier naturel nn, le nombre u(n)u(n) est appelé terme de rang nn ou terme général de la suite. On note alors cette suite (un)nN(un){n\in\mathbb N}, ou (un)n0(un){n\geq0}, ou encore (un)(u_n).

Exemple :
La liste 5 ;10 ;15 ;20 ;255\ ; 10\ ; 15\ ; 20\ ; 25… correspond à la suite (un)(un) telle que : u0=5 ; u1=10 ; u2=15 ; u3=20u0=5\ ;\ u1=10\ ;\ u2=15\ ;\ u_3=20
On dit que 55 est le terme de rang 00 ; 1010 est le terme de rang 11 ; 1515 est le terme de rang 22

bannière attention

Attention

La notation des suites doit être soignée : une notation approximative peut créer des confusions.

Suite définie par une formule explicite un=f(n)u_n=f(n)

bannière definition

Définition

Suite définie par une formule explicite :

Une suite est définie par une formule explicite lorsque unu_n s’exprime directement en fonction de nn. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.

Exemple :
Pour tout entier naturel nn, on a un=2n+6=f(n)un=\sqrt{2n+6}=f(n). Alors : u0=2×0+6=6u1=2×1+6=8u2=2×2+6=10u47=2×47+6=100=10\begin{aligned}u0&=\sqrt{2×0+6}=\sqrt6 \ u1&=\sqrt{2×1+6}=\sqrt8 \ u2&=\sqrt{2×2+6}=\sqrt{10} \ …\ u_{47}&=\sqrt{2×47+6}=\sqrt{100}=10\end{aligned}

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Définition

Suite définie par une formule explicite (suite) :

Une suite numérique unun définie par une formule explicite se représente par un nuage de points de coordonnées (n ;un)(n\ ; un).

première réforme mathématiques suite explicite Suite définie par une formule explicite

La représentation graphique de la suite uu est formée des points A0, A1, A2A0,\ A1,\ A_2

On peut constater que tous ces points sont sur la courbe représentative de la fonction ff puisque un=f(n)u_n=f(n).

première réforme mathématiques suite explicite Représenter une suite définie par une formule explicite

Le terme ukuk de la suite est l’ordonnée du point AkAk d’abscisse kk.

Suite définie par une relation de récurrence un+1=f(un)u{n+1}=f(un)

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Définition

Suite définie par une relation de récurrence :

Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée de :

  • son premier terme ;
  • une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

Contrairement à une formule explicite, une relation de récurrence ne permet pas de calculer directement un terme de rang donné sans avoir calculé tous les termes qui le précèdent.

Exemple :
On considère la suite (un)(un) définie par {u0=1,5un+1=4un+8\begin{cases} u0&=-1,5 \ u{n+1}&=\sqrt{4un+8} \end{cases}

Pour calculer u1u1, on utilise la valeur de u0u0, ainsi : u1=4u0+8=4×(1,5)+8=2u1\begin{aligned}&=\sqrt{4u0+8}\&=\sqrt{4\times(-1,5)+8}\&=\sqrt 2\end{aligned}

Pour calculer u2u2, on utilise la valeur de u1u1, ainsi : u2=4u1+8=4×2+8=42+8u2\begin {aligned}&=\sqrt{4{u1}+8}\&=\sqrt{4×\sqrt 2+8}\&=\sqrt{4\sqrt 2+8}\end{aligned}

Représentation graphique d’une suite

  • Pour représenter graphiquement une suite définie par une relation de récurrence, il faut commencer par tracer dans un repère la fonction ff concernée.

Ici, il s’agit de la fonction f(x)=4x+8f(x)=\sqrt{4x+8}.

  • Tracer également la droite y=xy=x qui permettra de reporter les termes de la suite sur l’axe des abscisses.

première réforme mathématiques suites Représenter une suite définie par une relation de récurrence (étapes 1 et 2)

  • Placer u0u_0 sur l’axe des abscisses.

u1=f(u0)u1 = f(u0) ; u1u1 est l’image de u0u0 par la fonction ff.

première réforme mathématiques suites Représenter une suite définie par une relation de récurrence (étape 3)

  • Placer u1u_1 sur l’axe des abscisses.

Pour déterminer u2=f(u1)u2=f(u1), il faut d’abord reporter u1u_1 sur l’axe des abscisses.
Pour cela, il faut utiliser la droite y=xy=x.

première réforme mathématiques suites Représenter une suite définie par une relation de récurrence (étape 4)

  • Placer les autres points.

u2=f(u1)u2=f(u1) ; u2u2 est l’image de u1u1 par la fonction ff.
Pour déterminer u3=f(u2)u3=f(u2), il faut d’abord reporter u2u_2 sur l’axe des abscisses.
Pour cela, il faut utiliser la droite y=xy=x.
Et ainsi de suite…

première réforme mathématiques suites Représenter une suite définie par une relation de récurrence (étape 5)

  • À l’aide d’une calculatrice (Casio ou TI), il est possible de calculer le terme général d’une suite définie par récurrence.

Sens de variation d’une suite

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Définition

Sens de variation d’une suite :

On dit qu’une suite (un)(u_n) définie sur N\mathbb N est :

  • croissante si et seulement si, pour tout entier naturel nn, on a un+1unu{n+1}\geq un ;
  • décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel nn, on a un+1unu{n+1}\leq un ;
  • constante si et seulement si, pour tout entier naturel nn, on a un+1=unu{n+1}=un.
bannière attention

Attention

Pour certaines suites, l’inégalité un+1unu{n+1}\geq un n’est vraie que pour npn\geq p, où pp est un entier ; dans ce cas, on dit que (un)(u_n) n’est croissante qu’à partir du rang pp.

bannière à retenir

À retenir

Lorsqu’une suite est toujours croissante, ou alors toujours décroissante, on dit qu’elle est monotone.

Suite croissante ou décroissante ?
Pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on étudie le signe de la différence entre deux termes consécutifs quelconques :

  • si, pour tout entier naturel nn, on a un+1un0u{n+1}-un\geq0, alors la suite (un)(u_n) est croissante ;
  • si, pour tout entier naturel nn, on a un+1un0u{n+1}-un\leq0, alors la suite (un)(u_n) est décroissante ;
  • si, pour tout entier naturel nn, on a un+1un=0u{n+1}-un=0, alors la suite (un)(u_n) est constante.

Exemple :
Étudions des variations de la suite (un)(un) définie sur N\mathbb N par un=23nun=2-3n.
Calculons un+1unu{n+1}-un :
un+1un=(23(n+1))(23n)=(23n3)(23n)=23n32+3n=3\begin{aligned} u{n+1}-un&=\big(2-3(n+1)\big)-(2-3n) \ &=(2-3n-3)-(2-3n) \ &=2-3n-3-2+3n \ & =-3 \end{aligned}.
Ainsi un+1un<0u{n+1}-un<0, donc la suite (un)(u_n) est décroissante.

Lorsqu’une suite est définie par une formule explicite de la forme un=f(n)u_n=f(n), il existe une autre méthode pour donner les variations de la suite. On utilise la propriété suivante :

bannière propriete

Propriété

Soit uu une suite définie pour tout entier npn\geq p par un=f(n)u_n=f(n), où ff est une fonction définie sur l’intervalle [p ;+[\big[p\ ; +\infty\big[.

  • Si la fonction ff est croissante sur [p ;+[\big[p\ ; +\infty\big[, alors la suite uu est croissante à partir du rang pp.
  • Si la fonction ff est décroissante sur [p ;+[\big[p\ ; +\infty\big[, alors la suite uu est décroissante à partir du rang pp.
  • Il est possible de trouver le minimum d’une suite de nn réels à l’aide de la calculatrice (Casio ou TI).

Notion de limite d’une suite numérique

S’intéresser à la limite d’une suite (un)(un), c’est étudier le comportement des termes unun quand on donne à nn des valeurs entières aussi grandes que l’on veut, ce qui se dit aussi « quand nn tend vers ++\infty ».

Avant d’apprendre à calculer des limites en classe de terminale, on se contentera cette année d’approches intuitives et expérimentales.

Suite convergente

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Définition

Suite convergente :

On dit qu’une suite numérique (un)(un) admet une limite réelle ll si tous les termes de la suite (un)(un) sont proches de ll à partir d’un certain rang.

On dit alors que la suite est convergente vers ll.

Exemple 1 :
Soit la suite un=1nu_n=\dfrac{1}n représentée ci-dessous :

première réforme mathématiques suites La suite converge vers 0

Les valeurs de la suite semblent se rapprocher autant que l’on veut d’une valeur « limite » : 00. On dit que uu tend vers 00 quand nn tend vers ++\infty, et on note : limn  +un=0\lim\limits{n\ \rightarrow\ +\infty}un=0.

  • La suite uu converge vers 00.

Exemple 2 :
Soit la suite vn=4n52n+3v_n=\dfrac{4n-5}{2n+3}.
Nous pouvons utiliser un tableur pour voir l’évolution des valeurs de la suite :

nn vnv_nn
100100 1,94581,9458
1000010\,000 1,99951,9995
100000100\,000 1,99991,9999

Les valeurs de la suite semblent se rapprocher autant que l’on veut d’une valeur « limite » : 22.

On dit que vv tend vers 22 quand nn tend vers ++\infty, et on note : limn  +vn=2\lim\limits{n\ \rightarrow\ +\infty }vn=2

  • La suite vnv_n converge vers 22.

Suite divergente

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Définition

Suite divergente :

On dit qu’une suite numérique (un)(u_n) est divergente si elle n’est pas convergente.

Exemple 1 :
Soit la suite un=n2u_n=n^2 représentée ci-dessous :

première réforme mathématiques suites La suite diverge

Les valeurs de la suite semblent devenir aussi grandes qu’on veut, et on note : limn  +un=+\lim\limits{n\ \rightarrow\ +\infty}un=+\infty.

Exemple 2 :
Soit la suite vn=3nv_n=3^n ; on peut utiliser un tableur pour voir l’évolution des valeurs de la suite :

nn vnv_nn
55 243243
1010 5904959\,049
5050 7,2×10237,2\times10^{23}

Les valeurs prises par la suite semblent devenir aussi grandes que l’on veut, et on note : limn  +vn=+\lim\limits{n\ \rightarrow\ +\infty}vn=+\infty.

  • La suite vnv_n diverge.

Exemple 3 :
La suite wn=(1)nw_n=(-1)^n est représentée ci-après :

première réforme mathématiques suites La suite diverge

  • La suite ww diverge (puisqu’elle ne converge pas), mais n’admet pas de limite.
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Attention

Certaines suites, comme (wn)(wn) dans l’exemple précédent, n’ont pas de limite. On voit clairement que, si nn augmente, alors wn=1wn=1 pour nn pair, et wn=1w_n=-1 pour nn impair.