Les suites numériques

Introduction :

Les suites peuvent sembler une nouveauté, en classe de première. Pourtant, même si elles ne sont pas nommées ainsi, elles font partie du quotidien. Par exemple, la liste des entiers naturels impairs rangés dans l’ordre croissant $1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9…$ est une suite numérique.

Nous allons tout d’abord parler des modes de génération d’une suite numérique et nous verrons comment représenter graphiquement une telle suite.
Nous continuerons avec le sens de variation, puis nous introduirons la notion de limite d’une suite numérique.

Modes de génération d’une suite numérique et représentation graphique

Définition d’une suite numérique

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Définition

Suite numérique :

Une suite numérique $u$ est une fonction définie sur $\mathbb N$, à valeurs dans $\mathbb R$ :

$\begin{aligned} u:\mathbb N&\to\mathbb R \\ n&\mapsto u(n)\text{, aussi noté }u_n \end{aligned}$

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Astuce

On peut lire la définition de la manière suivante : une suite numérique $u$ est une fonction définie sur $\mathbb N$, à valeurs dans $\mathbb R$, qui à tout entier naturel $n$ associe le nombre réel « $u$ de $n$ », aussi noté « $u$ indice $n$ ».

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À retenir

Pour tout entier naturel $n$, le nombre $u(n)$ est appelé terme de rang $n$ ou terme général de la suite. On note alors cette suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$, ou $(u_n)_{n\geq0}$, ou encore $(u_n)$.

Exemple :
La liste $5\ ; 10\ ; 15\ ; 20\ ; 25$… correspond à la suite $(u_n)$ telle que : $u_0=5\ ;\ u_1=10\ ;\ u_2=15\ ;\ u_3=20$…
On dit que $5$ est le terme de rang $0$ ; $10$ est le terme de rang $1$ ; $15$ est le terme de rang $2$…

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Attention

La notation des suites doit être soignée : une notation approximative peut créer des confusions.

Suite définie par une formule explicite $u_n=f(n)$

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Définition

Suite définie par une formule explicite :

Une suite est définie par une formule explicite lorsque $u_n$ s’exprime directement en fonction de $n$. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.

Exemple :
Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\sqrt{2n+6}=f(n)$. Alors : $\begin{aligned}u_0&=\sqrt{2×0+6}=\sqrt6 \\ u_1&=\sqrt{2×1+6}=\sqrt8 \\ u_2&=\sqrt{2×2+6}=\sqrt{10} \\ …\\ u_{47}&=\sqrt{2×47+6}=\sqrt{100}=10\end{aligned}$

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Définition

Suite définie par une formule explicite (suite) :

Une suite numérique $u_n$ définie par une formule explicite se représente par un nuage de points de coordonnées $(n\ ; u_n)$.

première réforme mathématiques suite explicite Suite définie par une formule explicite

La représentation graphique de la suite $u$ est formée des points $A_0,\ A_1,\ A_2$…

On peut constater que tous ces points sont sur la courbe représentative de la fonction $f$ puisque $u_n=f(n)$.

première réforme mathématiques suite explicite Représenter une suite définie par une formule explicite

Le terme $u_k$ de la suite est l’ordonnée du point $A_k$ d’abscisse $k$.

Suite définie par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$

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Définition

Suite définie par une relation de récurrence :

Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée de :

  • son premier terme ;
  • une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

Contrairement à une formule explicite, une relation de récurrence ne permet pas de calculer directement un terme de rang donné sans avoir calculé tous les termes qui le précèdent.

Exemple :
On considère la suite $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0&=-1,5 \\ u_{n+1}&=\sqrt{4u_n+8} \end{cases}$

Pour calculer $u_1$, on utilise la valeur de $u_0$, ainsi : $$\begin{aligned}u_1&=\sqrt{4u_0+8}\\&=\sqrt{4\times(-1,5)+8}\\&=\sqrt 2\end{aligned}$$

Pour calculer $u_2$, on utilise la valeur de $u_1$, ainsi :

$$\begin {aligned}u_2&=\sqrt{4{u_1}+8}\\&=\sqrt{4×\sqrt 2+8}\\&=\sqrt{4\sqrt 2+8}\end{aligned}$$

Représentation graphique d’une suite

  • Pour représenter graphiquement une suite définie par une relation de récurrence, il faut commencer par tracer dans un repère la fonction $f$ concernée.

Ici, il s’agit de la fonction $f(x)=\sqrt{4x+8}$.

  • Tracer également la droite $y=x$ qui permettra de reporter les termes de la suite sur l’axe des abscisses.

première réforme mathématiques suites Représenter une suite définie par une relation de récurrence (étapes 1 et 2)

  • Placer $u_0$ sur l’axe des abscisses.

$u_1 = f(u_0)$ ; $u_1$ est l’image de $u_0$ par la fonction $f$.

première réforme mathématiques suites Représenter une suite définie par une relation de récurrence (étape 3)

  • Placer $u_1$ sur l’axe des abscisses.

Pour déterminer $u_2=f(u_1)$, il faut d’abord reporter $u_1$ sur l’axe des abscisses.
Pour cela, il faut utiliser la droite $y=x$.

première réforme mathématiques suites Représenter une suite définie par une relation de récurrence (étape 4)

  • Placer les autres points.

$u_2=f(u_1)$ ; $u_2$ est l’image de $u_1$ par la fonction $f$.
Pour déterminer $u_3=f(u_2)$, il faut d’abord reporter $u_2$ sur l’axe des abscisses.
Pour cela, il faut utiliser la droite $y=x$.
Et ainsi de suite…

première réforme mathématiques suites Représenter une suite définie par une relation de récurrence (étape 5)

  • À l’aide d’une calculatrice (Casio ou TI), il est possible de calculer le terme général d’une suite définie par récurrence.

Sens de variation d’une suite

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Définition

Sens de variation d’une suite :

On dit qu’une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N$ est :

  • croissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}\geq u_n$ ;
  • décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}\leq u_n$ ;
  • constante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=u_n$.
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Attention

Pour certaines suites, l’inégalité $u_{n+1}\geq u_n$ n’est vraie que pour $n\geq p$, où $p$ est un entier ; dans ce cas, on dit que $(u_n)$ n’est croissante qu’à partir du rang $p$.

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À retenir

Lorsqu’une suite est toujours croissante, ou alors toujours décroissante, on dit qu’elle est monotone.

Suite croissante ou décroissante ?
Pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on étudie le signe de la différence entre deux termes consécutifs quelconques :

  • si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n\geq0$, alors la suite $(u_n)$ est croissante ;
  • si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n\leq0$, alors la suite $(u_n)$ est décroissante ;
  • si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n=0$, alors la suite $(u_n)$ est constante.

Exemple :
Étudions des variations de la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N$ par $u_n=2-3n$.
Calculons $u_{n+1}-u_n$ :
$\begin{aligned} u_{n+1}-u_n&=\big(2-3(n+1)\big)-(2-3n) \\ &=(2-3n-3)-(2-3n) \\ &=2-3n-3-2+3n \\ & =-3 \end{aligned}$.
Ainsi $u_{n+1}-u_n<0$, donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

Lorsqu’une suite est définie par une formule explicite de la forme $u_n=f(n)$, il existe une autre méthode pour donner les variations de la suite. On utilise la propriété suivante :

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Propriété

Soit $u$ une suite définie pour tout entier $n\geq p$ par $u_n=f(n)$, où $f$ est une fonction définie sur l’intervalle $\big[p\ ; +\infty\big[$.

  • Si la fonction $f$ est croissante sur $\big[p\ ; +\infty\big[$, alors la suite $u$ est croissante à partir du rang $p$.
  • Si la fonction $f$ est décroissante sur $\big[p\ ; +\infty\big[$, alors la suite $u$ est décroissante à partir du rang $p$.
  • Il est possible de trouver le minimum d’une suite de $n$ réels à l’aide de la calculatrice (Casio ou TI).

Notion de limite d’une suite numérique

S’intéresser à la limite d’une suite $(u_n)$, c’est étudier le comportement des termes $u_n$ quand on donne à $n$ des valeurs entières aussi grandes que l’on veut, ce qui se dit aussi « quand $n$ tend vers $+\infty$ ».

Avant d’apprendre à calculer des limites en classe de terminale, on se contentera cette année d’approches intuitives et expérimentales.

Suite convergente

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Définition

Suite convergente :

On dit qu’une suite numérique $(u_n)$ admet une limite réelle $l$ si tous les termes de la suite $(u_n)$ sont proches de $l$ à partir d’un certain rang.

On dit alors que la suite est convergente vers $l$.

Exemple 1 :
Soit la suite $u_n=\dfrac{1}n$ représentée ci-dessous :

première réforme mathématiques suites La suite converge vers 0

Les valeurs de la suite semblent se rapprocher autant que l’on veut d’une valeur « limite » : $0$. On dit que $u$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, et on note : $\lim\limits_{n\ \rightarrow\ +\infty}u_n=0$.

  • La suite $u$ converge vers $0$.

Exemple 2 :
Soit la suite $v_n=\dfrac{4n-5}{2n+3}$.
Nous pouvons utiliser un tableur pour voir l’évolution des valeurs de la suite :

$n$ $v_n$
$100$ $1,9458$
$10\,000$ $1,9995$
$100\,000$ $1,9999$

Les valeurs de la suite semblent se rapprocher autant que l’on veut d’une valeur « limite » : $2$.

On dit que $v$ tend vers $2$ quand $n$ tend vers $+\infty$, et on note : $\lim\limits_{n\ \rightarrow\ +\infty }v_n=2$

  • La suite $v_n$ converge vers $2$.

Suite divergente

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Définition

Suite divergente :

On dit qu’une suite numérique $(u_n)$ est divergente si elle n’est pas convergente.

Exemple 1 :
Soit la suite $u_n=n^2$ représentée ci-dessous :

première réforme mathématiques suites La suite diverge

Les valeurs de la suite semblent devenir aussi grandes qu’on veut, et on note : $\lim\limits_{n\ \rightarrow\ +\infty}u_n=+\infty$.

Exemple 2 :
Soit la suite $v_n=3^n$ ; on peut utiliser un tableur pour voir l’évolution des valeurs de la suite :

$n$ $v_n$
$5$ $243$
$10$ $59\,049$
$50$ $7,2\times10^{23}$

Les valeurs prises par la suite semblent devenir aussi grandes que l’on veut, et on note : $\lim\limits_{n\ \rightarrow\ +\infty}v_n=+\infty$.

  • La suite $v_n$ diverge.

Exemple 3 :
La suite $w_n=(-1)^n$ est représentée ci-après :

première réforme mathématiques suites La suite diverge

  • La suite $w$ diverge (puisqu’elle ne converge pas), mais n’admet pas de limite.
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Attention

Certaines suites, comme $(w_n)$ dans l’exemple précédent, n’ont pas de limite. On voit clairement que, si $n$ augmente, alors $w_n=1$ pour $n$ pair, et $w_n=-1$ pour $n$ impair.