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Les suites numériques
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Introduction :
Les suites peuvent sembler une nouveauté, en classe de première. Pourtant, même si elles ne sont pas nommées ainsi, elles font partie du quotidien. Par exemple, la liste des entiers naturels impairs rangés dans l’ordre croissant est une suite numérique.
Nous allons tout d’abord parler des modes de génération d’une suite numérique et nous verrons comment représenter graphiquement une telle suite.
Nous continuerons avec le sens de variation, puis nous introduirons la notion de limite d’une suite numérique.
Modes de génération d’une suite numérique et représentation graphique
Définition d’une suite numérique
Suite numérique :
Une suite numérique est une fonction définie sur , à valeurs dans :
On peut lire la définition de la manière suivante : une suite numérique est une fonction définie sur , à valeurs dans , qui à tout entier naturel associe le nombre réel « de », aussi noté « indice ».
Pour tout entier naturel , le nombre est appelé terme de rang ou terme général de la suite. On note alors cette suite , ou , ou encore .
Exemple :
La liste … correspond à la suite telle que : …
On dit que est le terme de rang ; est le terme de rang ; est le terme de rang …
La notation des suites doit être soignée : une notation approximative peut créer des confusions.
Suite définie par une formule explicite
Suite définie par une formule explicite :
Une suite est définie par une formule explicite lorsque s’exprime directement en fonction de . Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
Exemple :
Pour tout entier naturel , on a . Alors :
Suite définie par une formule explicite (suite) :
Une suite numérique définie par une formule explicite se représente par un nuage de points de coordonnées .
Suite définie par une formule explicite
La représentation graphique de la suite est formée des points …
On peut constater que tous ces points sont sur la courbe représentative de la fonction puisque .
Représenter une suite définie par une formule explicite
Le terme de la suite est l’ordonnée du point d’abscisse .
Suite définie par une relation de récurrence
Suite définie par une relation de récurrence :
Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée de :
Contrairement à une formule explicite, une relation de récurrence ne permet pas de calculer directement un terme de rang donné sans avoir calculé tous les termes qui le précèdent.
Exemple :
On considère la suite définie par
Pour calculer , on utilise la valeur de , ainsi :
Pour calculer , on utilise la valeur de , ainsi :
Représentation graphique d’une suite
Ici, il s’agit de la fonction .
Représenter une suite définie par une relation de récurrence (étapes 1 et 2)
; est l’image de par la fonction .
Représenter une suite définie par une relation de récurrence (étape 3)
Pour déterminer , il faut d’abord reporter sur l’axe des abscisses.
Pour cela, il faut utiliser la droite .
Représenter une suite définie par une relation de récurrence (étape 4)
; est l’image de par la fonction .
Pour déterminer , il faut d’abord reporter sur l’axe des abscisses.
Pour cela, il faut utiliser la droite .
Et ainsi de suite…
Représenter une suite définie par une relation de récurrence (étape 5)
Sens de variation d’une suite
Sens de variation d’une suite :
On dit qu’une suite définie sur est :
Pour certaines suites, l’inégalité n’est vraie que pour , où est un entier ; dans ce cas, on dit que n’est croissante qu’à partir du rang .
Lorsqu’une suite est toujours croissante, ou alors toujours décroissante, on dit qu’elle est monotone.
Suite croissante ou décroissante ?
Pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on étudie le signe de la différence entre deux termes consécutifs quelconques :
Exemple :
Étudions des variations de la suite définie sur par .
Calculons :
.
Ainsi , donc la suite est décroissante.
Lorsqu’une suite est définie par une formule explicite de la forme , il existe une autre méthode pour donner les variations de la suite. On utilise la propriété suivante :
Soit une suite définie pour tout entier par , où est une fonction définie sur l’intervalle .
Notion de limite d’une suite numérique
S’intéresser à la limite d’une suite , c’est étudier le comportement des termes quand on donne à des valeurs entières aussi grandes que l’on veut, ce qui se dit aussi « quand tend vers ».
Avant d’apprendre à calculer des limites en classe de terminale, on se contentera cette année d’approches intuitives et expérimentales.
Suite convergente
Suite convergente :
On dit qu’une suite numérique admet une limite réelle si tous les termes de la suite sont proches de à partir d’un certain rang.
On dit alors que la suite est convergente vers .
Exemple 1 :
Soit la suite représentée ci-dessous :
La suite converge vers 0
Les valeurs de la suite semblent se rapprocher autant que l’on veut d’une valeur « limite » : . On dit que tend vers quand tend vers , et on note : .
Exemple 2 :
Soit la suite .
Nous pouvons utiliser un tableur pour voir l’évolution des valeurs de la suite :
Les valeurs de la suite semblent se rapprocher autant que l’on veut d’une valeur « limite » : .
On dit que tend vers quand tend vers , et on note :
Suite divergente
Suite divergente :
On dit qu’une suite numérique est divergente si elle n’est pas convergente.
Exemple 1 :
Soit la suite représentée ci-dessous :
La suite diverge
Les valeurs de la suite semblent devenir aussi grandes qu’on veut, et on note : .
Exemple 2 :
Soit la suite ; on peut utiliser un tableur pour voir l’évolution des valeurs de la suite :
Les valeurs prises par la suite semblent devenir aussi grandes que l’on veut, et on note : .
Exemple 3 :
La suite est représentée ci-après :
La suite diverge
Certaines suites, comme dans l’exemple précédent, n’ont pas de limite. On voit clairement que, si augmente, alors pour pair, et pour impair.