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Les suites numériques

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Suite numérique

Une suite numérique uu est une fonction définie sur N\mathbb N, à valeurs dans R\mathbb R :

u :NRnu(n), aussi noteˊ un\begin{aligned} u\ :\mathbb N&\rightarrow \mathbb R\ n&\rightarrow u(n)\text{, aussi noté }u_n \end{aligned}

  • Pour tout entier naturel nn, le nombre u(n)u(n) est appelé terme de rang nn ou terme général de la suite. On note alors cette suite (un)nN(un){n\in\mathbb N}, ou (un)n0(un){n\geq0}, ou encore (un)(u_n).

Définir une suite

  • Suite définie par une formule explicite un=f(n)u_n=f(n)
  • Une suite est définie par une formule explicite lorsque unu_n s’exprime directement en fonction de nn. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
  • Une suite numérique unun définie par une formule explicite se représente par un nuage de points de coordonnées (n ;un)(n\ ; un).
  • Suite définie par une relation de récurrence un+1=f(un)u{n+1}=f(un)

Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée de :

  • son premier terme ;
  • une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

Sens de variation d’une suite

  • Soit (un)(u_n) une suite définie sur N\mathbb N :
  • elle est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel nn, on a un+1unu{n+1}\geq un, et donc si et seulement si un+1un0u{n+1}-un\geq0 ;
  • elle est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel nn, on a un+1unu{n+1}\leq un, et donc si et seulement si un+1un0u{n+1}-un\leq0 ;
  • elle est constante si et seulement si, pour tout entier naturel nn, on a un+1=unu{n+1}=un, et donc si et seulement si un+1un=0u{n+1}-un=0.
  • Soit uu une suite définie pour tout entier npn\geq p par un=f(n)u_n=f(n), où ff est une fonction définie sur l’intervalle [p ; +[[p\ ;\ +\infty[. On peut donner sa variation de la façon suivante :
  • si la fonction ff est croissante sur [p ; +[[p\ ;\ +\infty[, alors la suite uu est croissante à partir du rang pp ;
  • si la fonction ff est décroissante sur [p ;+[[p\ ; +\infty[, alors la suite uu est décroissante à partir du rang pp ;
  • Lorsqu’une suite est toujours croissante, ou alors toujours décroissante, on dit qu’elle est monotone.

Limite d’une suite

  • Une suite numérique (un)(un) admet une limite réelle ll si tous les termes de la suite (un)(un) sont proches de ll à partir d’un certain rang.
  • Elle est alors dite convergente.
  • On note : limn  +un=l\lim\limits{n\ \rightarrow\ +\infty}un=l.
  • Une suite numérique (un)(u_n) est divergente si elle n’est pas convergente.