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Les vecteurs : multiplication et applications
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Introduction :
Ce cours porte sur les vecteurs. Dans une première partie, nous ferons un rapide récapitulatif des notions de base avant d’aborder les manipulations plus complexes. Ensuite, nous verrons comment multiplier un vecteur par un réel et ce que cela implique graphiquement, par le calcul et avec les coordonnées. Enfin, nous verrons les diverses applications que l'on peut rencontrer dans les exercices ; placer un point ou démontrer avec les vecteurs, prouver que des points sont alignés, trouver les coordonnées d’un milieu de segment ou encore montrer que des droites sont parallèles.
Rappels
.
La multiplication entre deux vecteurs n’est pas vue en seconde. On étudiera donc seulement la multiplication d’un vecteur par un nombre réel.
Multiplication d’un vecteur par un réel
Produit d’un vecteur :
Soit un vecteur du plan et un nombre réel.
On appelle produit du vecteur par le réel le vecteur noté .
Implications graphique
Graphiquement, il y a trois cas distincts :
Pour tout vecteur on a les égalités suivantes :
Règles de calcul et colinéarité
Si on regarde les répercussions de la multiplication d’un vecteur par un réel au niveau des calculs, il y a quelques règles.
Pour tout vecteur et du plan et tout nombre et :
Si alors ou
Vecteurs colinéaires :
Soit et deux vecteurs du plan. Dire que les vecteurs et sont colinéaires signifie que :
Les droites et sont parallèles. Par contre, les vecteurs et sont colinéaires.
Deux droites ne peuvent pas être colinéaires. Seuls les vecteurs le peuvent . Et inversement, les vecteurs ne peuvent pas être parallèles, même si, sur le principe, c’est la même chose.
Coordonnées
Soit le vecteur du plan ayant pour coordonnées et un réel. Le vecteur a pour coordonnées .
Si l’on connait les coordonnées de deux vecteurs, il est alors possible de savoir s’ils sont colinéaires sans connaître la valeur du réel qui multiplie l’un pour trouver l’autre.
Deux vecteurs et du plan sont colinéaires si et seulement si :
Lesquels sont colinéaires ?
et ne sont pas colinéaires car
et sont colinéaires car
Applications
Parmi les exercices les plus fréquents sur les vecteurs, on demandera de placer ou construire un point défini par une relation vectorielle, de démontrer avec les vecteurs, de démontrer que trois points sont alignés ou encore que des droites sont parallèles.
Placer un point et démontrer avec les vecteurs
et étant deux points distincts du plan, construire le point défini par la relation .
Il faut essayer d’exprimer le vecteur en fonction du vecteur en utilisant les règles de calcul sur les vecteurs.
On arrive à exprimer en fonction de .
On sait donc que les vecteurs sont colinéaires, ont la même direction et le même sens car et que les distances et sont telles que .
Points alignés et milieu de segment
est le milieu du segment si l’une des expressions suivantes se vérifie :
Droites parallèles
Droite parallèles :
Deux droites et du plan sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires .
On considère les points et définis par : et .
Démontrer que les droites et sont parallèles.
Pour y parvenir, il faut voir s’il est possible d’exprimer le vecteur en fonction du vecteur .
D’après la relation de Chasles :
Ce qui signifie que les vecteurs et sont colinéaires. Ce qui implique que les droites et sont parallèles.
Ce qui signifie que les vecteurs et sont colinéaires. Ce qui implique que les droites et sont parallèles.