Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Les vecteurs : multiplication et applications

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

​Introduction :

Ce cours porte sur les vecteurs. Dans une première partie, nous ferons un rapide récapitulatif des notions de base avant d’aborder les manipulations plus complexes. Ensuite, nous verrons comment multiplier un vecteur par un réel et ce que cela implique graphiquement, par le calcul et avec les coordonnées. Enfin, nous verrons les diverses applications que l'on peut rencontrer dans les exercices ; placer un point ou démontrer avec les vecteurs, prouver que des points sont alignés, trouver les coordonnées d’un milieu de segment ou encore montrer que des droites sont parallèles.

Rappels

  • Un vecteur est défini par un sens, une direction et une longueur.
  • On le note $\overrightarrow{\text{AB}}$ ou $\overrightarrow{u}$. Dans $\overrightarrow{\text{AB}}$, A est le point origine et B le point extrémité.
  • Le vecteur nul noté $\overrightarrow{0}$ a son point origine et son point extrémité confondus.
  • $\overrightarrow{\text{AB}}$ est le vecteur opposé de $\overrightarrow{\text{BA}}$ ou de $-\overrightarrow{\text{AB}}$
  • Soient $\text{A}(x_A\ ;y_A)$ et $\text{B}(x_B\ ;y_B)$ deux points du plan. Le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{\text{AB}}(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$.
  • La norme du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ est la longueur $\text{AB}$ : $\parallel\overrightarrow{\text{AB}}\parallel =\text{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
  • Si les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont égaux alors :
  • ils ont la même direction, le même sens et la même norme,
  • ils ont les mêmes coordonnées,
  • ABDC est un parallélogramme.
  • Pour additionner des vecteurs, on peut procéder :
  • graphiquement, et déplacer un vecteur si besoin,
  • par calcul, en additionnant les abscisses et les ordonnées des vecteurs entre elles,
  • par calcul, avec la relation de Chasles

$\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{CB}}=\overrightarrow{\text{AB}}$.

bannière attention

Attention

La multiplication entre deux vecteurs n’est pas vue en seconde. On étudiera donc seulement la multiplication d’un vecteur par un nombre réel.

Multiplication d’un vecteur par un réel

bannière definition

Définition

Produit d’un vecteur :

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan et $k$ un nombre réel.

On appelle produit du vecteur $\overrightarrow{u}$ par le réel $k$ le vecteur noté $k\overrightarrow{u}$.

Implications graphique

​Graphiquement, il y a trois cas distincts :

  • Si le réel $k>0$ et $\overrightarrow{u}\neq0$ alors le vecteur $k\overrightarrow{u}$ a :
  • la même direction que le vecteur $\overrightarrow{u}$,
  • le même sens que le vecteur $\overrightarrow{u}$,
  • pour norme le produit $k\times\parallel\overrightarrow{u}\parallel$

  • Si le réel $k<0$ et $\overrightarrow{u}\neq0$ alors le vecteur $k\overrightarrow{u}$ a :
  • la même direction que le vecteur $\overrightarrow{u}$,
  • le sens opposé au vecteur $\overrightarrow{u}$,
  • pour norme le produit $-k\times\parallel\overrightarrow{u}\parallel$

  • Si le réel $k=0$ et/ou que $\overrightarrow{u}$ est un vecteur nul alors le vecteur $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.
bannière à retenir

À retenir

Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ on a les égalités suivantes :

$$\begin{array}{c c c} 1\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\\ \text{et}\\ (-1)\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{u}\end{array}$$

Règles de calcul et colinéarité

Si on regarde les répercussions de la multiplication d’un vecteur par un réel au niveau des calculs, il y a quelques règles.

Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ du plan et tout nombre $k$ et $k'$ :

$\begin{aligned} k(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) &=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}\\ (k+k')\overrightarrow{u}&=k\overrightarrow{u}+k'\overrightarrow{u}\\ k(k'\overrightarrow{u})&=(kk')\overrightarrow{u} \end {aligned}$

Si $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ alors $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

bannière definition

Définition

Vecteurs colinéaires :

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. Dire que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires signifie que :

  • les vecteurs ont la même direction ou bien l’un des deux vecteurs est le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ ;
  • les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$.
bannière à retenir

À retenir

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. Par contre, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

bannière attention

Attention

Deux droites ne peuvent pas être colinéaires. Seuls les vecteurs le peuvent . Et inversement, les vecteurs ne peuvent pas être parallèles, même si, sur le principe, c’est la même chose.

Coordonnées

Soit le vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan ayant pour coordonnées $\overrightarrow{u}(x\ ;\ y)$ et $k$ un réel. Le vecteur $k\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $k\overrightarrow{u}(kx\ ;\ ky)$.

Si l’on connait les coordonnées de deux vecteurs, il est alors possible de savoir s’ils sont colinéaires sans connaître la valeur du réel qui multiplie l’un pour trouver l’autre.

bannière à retenir

À retenir

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}(x\ ;\ y)$ et $\overrightarrow{v}(x'\ ;\ y')$ du plan sont colinéaires si et seulement si : $$xy'-x'y=0$$

bannière exemple

Exemple

  • Soit les vecteurs $\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 1)$, $\overrightarrow{v}(-2\ ;\ 1)$ et $\overrightarrow{w}(-6\ ;\ 2)$.

Lesquels sont colinéaires ?

$\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 1)$ et $\overrightarrow{v}(-2\ ;\ 1)$ ne sont pas colinéaires car $(-3)\times1-(-2)\times1=-3+2=-1\neq0$

$\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 1)$ et $\overrightarrow{w}(-6\ ;\ 2)$ sont colinéaires car $(-3)\times2-(-6)\times1=-6+6=0$

Applications

Parmi les exercices les plus fréquents sur les vecteurs, on demandera de placer ou construire un point défini par une relation vectorielle, de démontrer avec les vecteurs, de démontrer que trois points sont alignés ou encore que des droites sont parallèles.

Placer un point et démontrer avec les vecteurs

bannière exemple

Exemple

$A$ et $B$ étant deux points distincts du plan, construire le point $M$ défini par la relation $2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$.

bannière astuce

Astuce

Il faut essayer d’exprimer le vecteur $\overrightarrow{AM}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AB}$ en utilisant les règles de calcul sur les vecteurs.

$\begin{aligned}\begin {aligned} 2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{0}\\ 2\overrightarrow{AM}&=3\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{AM}&=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} \end{aligned}\end{aligned}$

On arrive à exprimer $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.

On sait donc que les vecteurs sont colinéaires, ont la même direction et le même sens car $\dfrac{3}{2}>0$ et que les distances $AM$ et $AB$ sont telles que $\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$.

Points alignés et milieu de segment

bannière theoreme

Théorème

  • Trois points $A$, $B$ et $C$ du plan sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
  • Trois points $A$, $B$ et $C$ du plan sont alignés si on peut exprimer le vecteur $\overrightarrow{AB}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
bannière theoreme

Théorème

$B$ est le milieu du segment $[AC]$ si l’une des expressions suivantes se vérifie :

$\begin{aligned}\begin {array}{c c c c} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\\ \text{ou}\\ \overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\ \text{ou}\\ \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB} \end {array}\end{aligned}$

bannière astuce

Astuce

Il est possible de vérifier que trois points sont alignés à l’aide d'une calculatrice (CASIO, TI).

Droites parallèles

bannière definition

Définition

Droite parallèles :

Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ du plan sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires .

bannière exemple

Exemple

  • Soit un triangle $ABC$.

On considère les points $M$ et $N$ définis par : $\overrightarrow{AM}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Démontrer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

bannière astuce

Astuce

Pour y parvenir, il faut voir s’il est possible d’exprimer le vecteur $\overrightarrow{MN}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}$

D’après la relation de Chasles :

$\begin{aligned} \overrightarrow{MN}&=-\frac{5}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}\ \text {car}\ \overrightarrow{AM}=\frac{5}{4} \overrightarrow{AB}\\ \text {donc} \\ \overrightarrow{MA}&=-\overrightarrow{AM}=-\frac{5}{4} \overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{MN}&=-\frac{5}{4} \overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \ \text{car}\ \overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{MN}&=\bigg(\dfrac{1}{2}-\frac{5}{4}\bigg)\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{MN}&=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{MN}&=\frac{3}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{MN}&=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\end{aligned}$

Ce qui signifie que les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires. Ce qui implique que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Ce qui signifie que les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires. Ce qui implique que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.