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Les vecteurs : multiplication et applications

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Multiplication d’un vecteur par un réel

Soit u\vec {u} un vecteur du plan et kk un nombre réel.

On appelle produit du vecteur u\vec u par le réel kk le vecteur noté kuk\vec u.

Graphique

Graphiquement, il y a trois cas distincts :

Si le réel kk est positif et u\vec u non nul, alors le vecteur kuk\vec u a :

  • la même direction que le vecteur u\vec u ;
  • le même sens que le vecteur u\vec u ;
  • pour norme le produit k×uk \times \parallel \vec u \parallel.

Si le réel kk est négatif et u\vec u non nul, alors le vecteur kuk\vec u a :

  • la même direction que le vecteur u\vec u ;
  • le sens opposé à celui du vecteur u\vec u ;
  • pour norme le produit k×u- k \times \parallel\vec u\parallel.

Si le réel kk est nul ou le vecteur u\vec u est un vecteur nul, alors le vecteur ku=0k\vec u=\vec 0.

Règles de calcul et colinéarité

  • Pout tout vecteur u\vec u et v\vec v du plan et tous nombres kk et kk' :

k(u+v)=ku+kv(k+k)u=ku+kuk(ku)=(kk)u\begin{aligned}\begin {aligned}k(\vec u +\vec v )&=k\vec u+k\vec v \ (k+k' )\vec u&=k\vec u+k'\vec u \ k(k' \vec u )&=(kk' ) \vec u\end {aligned}\end{aligned}

Si ku=0k\vec u=0 alors k=0k=0 ou u=0\vec u=\vec 0

  • Les vecteurs u\vec u et v\vec v ont la même direction ou bien l’un des deux vecteurs est le vecteur nul 0\vec 0.

Colinéarité des vecteurs

Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel kk tel que u=kv\vec u= k\vec v

Coordonnées

  • Soit le vecteur u\vec u du plan ayant pour coordonnées u(x ;y)\vec u (x\ ; y) et kk un réel. Le vecteur ku\vec {ku} a pour coordonnées ku(kx ;ky)k\vec u (kx\ ; ky).
  • Deux vecteurs u(x ;y)\vec u (x\ ; y) et v(x ;y)\vec v (x'\ ; y') du plan sont colinéaires si et seulement si :

xyxy=0xy'-x' y=0

Applications

Points alignés et milieu de segment

Trois points A,BA, B et CC du plan sont alignés si et seulement si les vecteurs AB\overrightarrow {AB} et AC\overrightarrow {AC} sont colinéaires.

  • On peut également vérifier que trois points sont alignés à l’aide d'une calculatrice (CASIO, TI).

Droites parallèles

Deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) du plan sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB\overrightarrow {AB} et CD\overrightarrow {CD} sont colinéaires.