Exercices Limites de fonctions
Prépare-toi à progresser en Mathématiques avec ces exercices niveau Terminale : "Limites de fonctions". Conçu pour renforcer les notions clés vues en cours, cet entraînement te permet de t’exercer à ton rythme. Idéal pour réviser efficacement et gagner en confiance. À toi de jouer !
Entrainement
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$f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $]0;+\infty[$
Supposons que $\lim\limits_{x \to +\infty}{g(x)}=2$
Supposons aussi que pour tout réel $x$, $f(x)<g(x)$.
Peut-on dire à partir de ces informations que $\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)}<2$ ? - 1/4
Soit $f$ la fonction sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left\lbrace \begin{aligned} &x : &si :: x\leqslant 0 \\ &\dfrac{x}{1+x} : &si :: x > 0\end{aligned}\right .$
Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$, et indiquer si la courbe $C_f$ admet ou non des asymptotes horizontales.
Évaluation
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On pose, pour tout réel $x$ différent de $-2$ :
$f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$
Montrer que $f$ peut aussi s'écrire :
$f(x)=2 - \dfrac{5}{x+2}$
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La question 4 est indépendante des questions 1, 2 et 3.
On donne ci-dessous la représentation graphique de deux fonctions $g$ et $h$ définies sur $\mathbb R$ :
Représentation graphique des fonctions f et g
La fonction $h$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :
$$h(x)=2+2\text{e}^{-x} x-2 \text{e}^{-x}$$
Question 1
À l’aide du graphique, conjecturer les limites de la fonction $h$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
Donner l’équation de l’éventuelle asymptote de $h$ en $+\infty$.Question 2
On veut démontrer les observations de la question précédente.
- Calculer : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac x{\text{e}^x}$.
En déduire la limite de $h$ en $+\infty$. - Démontrer que, si $x\leq 0$, alors : $h(x)\leq 2x \text{e}^{-x}$.
- Déterminer : $\lim\limits_{x \to -\infty} x\text{e}^{-x} $.
En déduire la limite en $-\infty$ de la fonction $h$.
Question 3
- Montrer que la dérivée de $h$ sur $\mathbb R$ est définie par :
$$h^{\prime}(x)=2 \text{e}^{-x} (2-x)$$
Pour s’aider, on pourra écrire que $\text{e}^{-x}=\dfrac 1{\text{e}^x}$.
- En déduire les variations de $h$ sur $\mathbb R$ et dresser son tableau de variations.
- Calculer $h(0)$. Déterminer le signe de $h$ sur $\mathbb R$.
Question 4
La fonction $g$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :
$$g(x)=2x+1-2x \text{e}^{-x}$$
On admet que :
$$\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=+\infty $$
- On pose, pour tout $x$ réel : $f(x)= 2x+1-g(x)$.
Quel est le signe de $f(x)$ quand $x$ est positif ? Préciser, sur $[0\ ;\, +\infty[$, la position relative de la droite d’équation $y=2x+1$ et de $\mathscr C_g$, la courbe représentative de la fonction $g$. - Déterminer la limite en $+\infty$ de $f(x)$.
Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat ? - On a programmé en Python l’algorithme ci-dessous :
$\begin{aligned} &\text{def fonctiong(x):} \\ &\qquad \text{g = 2 $\ast$ x + 1 - 2 $\ast$ x $\ast$ exp(-x)} \\ &\qquad \text{return g} \\ \\ &\text{def asymp\textunderscore oblique(p):} \\ &\qquad\text{x = 3} \\ &\qquad \text{g = fonctiong(x)} \\ &\qquad\text{y = 2 $\ast$ x + 1} \\ &\qquad\text{while ( y - g ) > 10$\ast\ast$(-p):} \\ &\qquad\qquad \text{x = x + 1} \\ &\qquad\qquad\text{g = fonctiong(x)} \\ &\qquad\qquad\text{y = 2 $\ast$ x + 1} \\ &\qquad \text{print(x)} \end{aligned}$ Que permet de calculer $\purple{\text{ fonctiong()}}$ de paramètre $\purple{\text{x}}$ ?
Lorsque on lance la commande $\purple{\text{ asymp\textunderscore oblique(3)}}$ sur la console Python, le programme affiche la valeur $\purple{\text{10}}$. À quoi correspond cette valeur ?