Lois à densité
Introduction :
Ce cours permettra d’approfondir les connaissances relatives aux lois à densités. On abordera le langage des probabilités avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des méthodes et des exemples d’applications.
Rappels de première sur la loi binomiale
Rappels de première sur la loi binomiale
Définition
Épreuve de Bernoulli :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues appelées « succès » et « échec ». On dit qu’une épreuve de Bernoulli est de paramètre $p$ si la probabilité de succès est $p$.
Définition
Schéma de Bernoulli :
Un schéma de Bernoulli est une expérience consistant à répéter $n$ fois la même épreuve de Bernoulli ($n$ entier naturel non nul). Un schéma de Bernoulli a deux paramètres : $n$ le nombre de répétitions et $p $ la probabilité de succès de l’épreuve répétée.
Exemple
Voici un arbre de probabilité représentant un schéma de Bernoulli pour $n = 3.$
L’issue correspondant au chemin rouge est souvent notée $(S,\overline{S},S)$.
Astuce
La probabilité d’un chemin, donc d’une issue, s’obtient en faisant le produit des probabilités de chaque branche composant ce chemin.
Définition
Loi binomiale :
Si une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p $, on associe à l’expérience la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre total de succès. La loi de probabilité de $X$ est appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p $. On la note $B(n,p)$.
Propriété
- Si une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $B(n,p)$, alors pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$, la probabilité que $X$ soit égale à $k$ est : $p(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
Exemple
On lance 5 fois un dé équilibré. Le succès est d’obtenir 6. Calculons $p(X=2)$.
- Définition des paramètres :
On lance le dé 5 fois : $n=5$.
On a une chance sur six d’obtenir un 6 (le dé a 6 faces) : $p= \dfrac{1}{6}$, et $k=2$.
- Calcul de $p(X=2) :$
$\begin{aligned}p(X=2)&=\dbinom{5}{2}\times \left( \dfrac{1}{6} \right)^2 \times \left(1- \dfrac{1}{6} \right)^3 \\&=10 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{125}{216} \\& \approx 0,161\end{aligned}$
Lois à densité et loi uniforme
Lois à densité et loi uniforme
Loi de probabilité à densité
Loi de probabilité à densité
Définition
Fonction densité :
On appelle fonction densité (ou densité de probabilité) sur l’intervalle $I$, toute fonction $f$ définie, continue et positive sur $I$ telle que l’intégrale de $f$ sur $I$ soit égale à $1$.
Définition
Variable aléatoire continue :
Une variable aléatoire continue $X$ sur un intervalle $I$ est définie par la donnée d’une fonction densité $f$. La probabilité pour que $X$ appartienne à un intervalle $\left[ a,b \right]$ de $I$ est égale à l’aire sous la courbe de $f$ sur $\left[ a,b \right]$, soit $\int_a^b f(t)dt$.
Propriété
Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à l’intervalle $I$ :
- $p(X=a)=0$ (puisque $\int_a^a f(t)dt = 0$)
- $p(X>a)=1-p(X \leq a)$ et $p(a < X < b)=p(X < b)-p(X \leq a)$
- Pour une loi continue, dans les calculs de probabilités, on peut remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes et réciproquement.
Loi uniforme
Loi uniforme
Définition
Loi uniforme :
$a$ et $b$ désignent deux nombres réels distincts avec $a < b$.
Dire qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $\left[ a,b \right]$ signifie que la densité de probabilité est une fonction constante sur $\left[ a,b \right]$.
La densité de probabilité de la loi uniforme sur $\left[ a,b \right]$ est la fonction $f$ définie sur $\left[ a,b \right]$ par :
$f(x) = \dfrac{1}{b-a}$
Propriété
$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $\left[ a,b \right]$. pour tout intervalle $\left[ c,d \right]$ inclus dans $\left[ a,b \right]$ :
$p(c \leq X \leq d)= \dfrac{d-c}{b-a}$
Définition
Espérance d’une variable aléatoire :
- L’espérance d’une variable aléatoire $X$ de densité $f$ sur $\left[ a,b \right]$ est le nombre réel :
$E(X) = \int_a^b tf(t)dt$
Dans le cas d’une loi uniforme, on a :
$E(X) = \dfrac{a+b}{2}$
Exemple
Dans un supermarché un jour de grande affluence, le temps d’attente $T$ à la caisse, en minutes, suit la loi uniforme sur l’intervalle $\left[ 2,20 \right]$.
- Loi de $T :$ $f(t) = \dfrac{1}{b-a} = \dfrac{1}{20-2} = \dfrac{1}{18}$
- Calcul de la probabilité pour que le temps d’attente soit inférieur à un quart d’heure :
$p(T < 15)= p(2 < T < 15)= \dfrac{15-2}{20-2}= \dfrac{13}{18}$
- Calcul du temps d’attente moyen à la caisse, c’est l’espérance mathématique :
$E(T)=\dfrac{20+2}{2}=11$
- Le temps d’attente moyen est de 11 minutes.
Loi exponentielle
Loi exponentielle
Définition
Loi exponentielle :
$\lambda$ désigne un nombre réel strictement positif.
Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $\left[ 0,+ \infty \right[$ signifie que sa densité de probabilité est définie sur $\left[ 0,+ \infty \right[$ par :
$f(x) = \lambda e^{- \lambda x }$
Propriété
$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
Pour tout intervalle $\left[ a,b \right]$ inclus dans $\left[ 0,+ \infty \right[$ :
- $p(A \leq X \leq B)=e^{- \lambda a}-e^{- \lambda b} $
- $p(X \geq c)= e^{- \lambda c}$
Démonstration
Démonstration des propriétés :
$\begin{aligned}p(A \leq X \leq B)&=\int_a^b \lambda e^{- \lambda t}dt\\&=\left[-e^{- \lambda t} \right]_a^b\\&=e^{- \lambda a}-e^{- \lambda b}\end{aligned}$
$\begin{aligned}p(X \geq c)&= 1-p(0 \leq X \leq c)\\&=1-\left(e^{-0 \lambda}-e^{- \lambda c} \right)\\&=1-\left(1-e^{- \lambda c} \right)\\&=e^{- \lambda c}\end{aligned}$
Définition
Espérance d’une variable aléatoire et loi exponentielle :
L’espérance d’une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
Lois normales
Lois normales
Loi normale centrée réduite
Loi normale centrée réduite
Définition
Loi normale centrée réduite :
Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite, notée $N(0;1)$ si, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a < b$ :
$p(a \leq X \leq b) = \int_a^b \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}dx$
$f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}$est la fonction densité de la loi $N(0;1)$.
Propriété
Pour la loi normale centrée réduite $N(0;1)$ :
- le maximum de $f$ est atteint en $0$ ;
- la courbe $C_f$ de la densité de probabilité $f$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;
- l’aire sous la courbe est égale à $1$.
On déduit de ces propriétés :
- $p(X \leq 0)=p(X\geq0) = \dfrac{1}{2}$ ;
- pour tout réel $u \geq 0$, $p(X \leq - u) = p(X \geq u) = 1 - p(X \leq u)$ et $p(-u \leq X \leq u)=1 - 2p(X\geq u)= 2p(X\leq u)-1$
Astuce
Pour calculer $p(a \leq X \leq b)$ si la loi est normale centrée réduite :
- CASIO, utiliser « NormCD(a,b) »,
- TI, utiliser « normalFRép(a,b) ».
Pour calculer $p(X < a)$ ou $p(X > a)$, utiliser le tableau suivant :
Loi normale $N( \mu, \sigma^2)$
Loi normale $N( \mu, \sigma^2)$
Définition
Loi normale :
- Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $N( \mu, \sigma^2)$ si la variable aléatoire $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $N(0;1)$.
- Son espérance est $E(X) = \mu$.
- Son écart-type $\sigma$ et donc sa variance est $\sigma^2$.
Astuce
Pour les calculs de probabilités pour une loi $N( \mu, \sigma^2)$ :
- CASIO, utiliser « NormCD($a,b,\sigma, \mu$) »,
- TI, utiliser « normalFRép($a,b,\mu,\sigma$) ».
Propriété
Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale $N( \mu, \sigma^2)$, on a les approximations suivantes:
- $p(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,68$
- $p(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95$
- $p(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.997$
