Exercices Positions relatives de droites et de plans de l’espace

Soit $ABCDEFGH$ un cube de centre $O$ et les points $R$, $S$ et $T$ tels que : $$\begin{aligned} \overrightarrow{AR} &= \frac{2}{3}\overrightarrow{AE}\\ \overrightarrow{GS} &= \frac{1}{2}\overrightarrow{GF}\\ \overrightarrow{RT} &= 2\overrightarrow{BS} \end{aligned}$$

On pourra faire si besoin au brouillon une figure du cube $ABCDEFGH$.

Donner une base du plan $(AFG)$ ?

On considère un pavé droit $ABCDEFGH$ et on note :

$I$ un point quelconque du segment $[AE]$, avec $I$ distinct des points $A$ et $E$.

Représenter par une figure la situation de l’énoncé.

On considère le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous.

• $J$ et $N$ sont les milieux respectifs de $[FG]$ et $[AB]$.
• Les points $I$ et $K$ sont tels que :

$$\overrightarrow{HI\ }=\dfrac 3{10}\cdot \overrightarrow{HG\ }\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{HK\ }=\dfrac 14\cdot \overrightarrow{HD\ }$$

• On représente aussi les droites $(IJ)$ et $(BC)$.

Question 1

Reproduire le cube avec les points $I$, $J$, $K$ et $N$, sans souci d’échelle.

• Compléter la figure au fur et à mesure des questions.

Question 2

• Quelle est la position relative de la droite $(IJ)$ et du plan $(ABD)$ ? Justifier.
• Montrer que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ ne sont pas coplanaires.
  Sont-elles sécantes comme semble l’indiquer la figure ?
• Quelle est la position relative des droites $(IJ)$ et $(EH)$ ?

Question 3

Soit $L$ le point d’intersection des droites $(IJ)$ et $(EH)$.

Montrer que les plans $(AED)$ et $(IJK)$ sont sécants et que leur intersection est la droite $(LK)$.

Question 4

On se place dans le repère de l’espace $(A\ ;\, \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{AE\ })$.
Dans ce repère, on admet que les coordonnées des points $I$, $J$, $K$ et $N$ sont :

$$I\left(\dfrac 3{10}\ ;\, 1\ ;\, 1\right)\quad J\left(1\ ;\, \dfrac 12\ ;\, 1\right) \quad K\left(0\ ;\, 1\ ;\, \dfrac 34\right)\quad N\left(\dfrac 12\ ;\, 0\ ;\, 0\right)$$

Démontrer l’égalité vectorielle :

$$\overrightarrow{IN\ }=2\cdot \overrightarrow{IJ\ }+4\cdot \overrightarrow{IK\ }$$

Que peut-on en conclure pour les points $I$, $J$, $K$ et $N$ ?

Question 5

Soit $M$ le point d’intersection de $(KL)$ et de $(AD)$.

On cherche dans cette question à tracer la section du cube par le plan $(IJK)$.

• Démontrer que les droites $(MN)$ et $(IJ)$ sont strictement parallèles.
• Tracer la section du cube par le plan $(IJK)$. On ne demande pas de justification.

On considère un solide $ADECBF$ constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré $ABCD$ de centre $I$. Toutes les arêtes sont de longueur $1$.
Calculer $AC$.