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Marianne

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Modélisation des actions

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Introduction

On appelle statique l’étude des actions mécaniques qui agissent sur un solide, ou un système, au repos. Elle permet de les identifier et de les quantifier.

Aussi apprendrons-nous, dans ce cours, à bien modéliser les situations, en délimitant le système et en identifiant les forces qui s’y exercent.

Ainsi, fort de cette connaissance, l’ingénieur pourra faire des choix constructifs probants et, par exemple, dimensionner correctement une structure.

Img-01 L’étude des forces s’exerçant sur la toiture permet de dimensionner la charpente

Notion de système étudié

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À retenir

Pour que les raisonnements et théorèmes de la statique puissent s’exprimer avec rigueur, il est nécessaire de définir, spatialement, le système.

  • Afin de délimiter dans l’espace le système, on trace en pointillé un contour fermé qui différencie le système du milieu extérieur.

Pour un même problème, il existe plusieurs manières de tracer la frontière entre le système et son milieu extérieur. Le choix se fait par expérience et par rapport à l’ensemble des forces que l’on veut déterminer.

Considérons quelques systèmes possibles pour une voiture avec une remorque qui y est attelée :

  • nous délimiterons la frontière par des pointillés ;
  • nous mettrons en orange le système choisi ;
  • nous laisserons en blanc ce qui est extérieur à ce système ;
  • enfin, pour chaque système, nous identifierons les forces extérieures.
  • Système « voiture »

Img-02 Système « voiture »

Les actions extérieures sur le système « voiture » sont :

  • sol sur la voiture ;
  • remorque sur la voiture ;
  • atmosphère sur la voiture.
  • Système « voiture + remorque »

Img-03 Système « voiture + remorque »

Les actions extérieures sur le système « voiture + remorque » sont :

  • sol sur {la voiture + la remorque} ;
  • atmosphère sur {la voiture + la remorque}.
  • Système « roue de la voiture »

Img-04 Système « roue de la voiture »

Les actions extérieures sur le système « roue de la voiture » sont :

  • voiture sur la roue ;
  • sol sur la roue ;
  • atmosphère sur la roue.

Actions de contact ponctuelles et surfaciques

Représentation des actions de contact ponctuelles

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À retenir

À chaque contact physique ponctuel, c’est-à-dire qui se limite à un point, entre le système et le milieu extérieur, il existe une action.

Imaginons l’appui d’un doigt sur une règle plastique, maintenue sur un bureau.

Img-05

Au point de contact entre le doigt et la règle apparaît une action.

  • Cette action donne naissance à deux forces que nous allons schématiser par des vecteurs et que nous allons étudier en considérant deux systèmes différents : le doigt, puis la règle.
  • Système « doigt »
  • La règle fait partie du milieu extérieur.

La force de la règle sur le doigt s’écrit ainsi : FRD\vec F_{\,{\text{R}\rightarrow\text{D}}}.

Le point d’application est le point de contact AA :

Img-06

Nous schématisons la force de la règle sur le doigt ainsi :

Img-07

  • Système « règle »
  • Le doigt fait partie du milieu extérieur.

La force du doigt sur la règle s’écrit ainsi : FDR\vec F_{\,\text{D}\rightarrow\text{R}}.

Le point d’application est le point de contact AA :

Img-08

Nous schématisons la force du doigt sur la règle ainsi :

Img-09

Voyons maintenant comment déterminer cette force.

  • On isole le système en traçant la frontière le séparant du milieu extérieur.
  • Ici, nous choisissons le système « règle ».

Img-10

  • On identifie le ou les points de contact avec chacun des éléments constituant le milieu extérieur.

Img-11

  • On trace le vecteur représentant la force.

Img-12

bannière attention

Attention

La direction et le sens de la force ne sont pas toujours déterminés. Dans ce cas, on doit la représenter de la manière la plus générale possible.

Représentation des actions de contact surfacique

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À retenir

De la même manière qu’un contact ponctuel crée une action, un contact réparti suivant une courbe ou une surface provoque une action.

Dans l’exemple précédent, nous n’avions pas étudié le bureau. Si nous en tenons compte, alors la règle et le bureau sont en contact suivant une surface – nous considérons que la pression du doigt s’est relâchée.

Img-13

  • Cette action donne naissance à deux familles de forces que nous allons schématiser par des vecteurs et que nous allons étudier en considérant deux systèmes différents : la règle, puis le bureau.
  • Système « règle »
  • Le bureau fait partie du milieu extérieur.

La force du bureau sur la règle s’écrit ainsi : FBR\vec F_{\,\text{B}\rightarrow\text{R}}.

La surface est constituée de multiples points de contact AiA_i :

Img-14

  • Système « bureau »
  • La règle fait partie du milieu extérieur.

La force du bureau sur la règle s’écrit ainsi : FRB\vec F_{\,\text{R}\rightarrow\text{B}}.

La surface est constituée de mutliples points de contact AiA_i :

Img-15

bannière à retenir

À retenir

Dans le cas où la répartition des forces est uniforme (c’est-à-dire égale en norme, direction, sens en tout point de la surface de contact), on peut représenter la force de contact par un unique vecteur dont :

  • le point d’application est le centre de gravité de la zone,
  • la norme est la somme des normes de chaque action ponctuelle.

Img-16

Voyons maintenant comment déterminer cette force.

  • On isole le système en traçant la frontière le séparant du milieu extérieur.
  • Ici, nous choisissons le système « règle ».

Img-17

  • On identifie le centre de la surface de contact.

Img-18

  • On trace le vecteur représentant la force.

Img-19

Représentation des actions à distance

Certaines forces dites à distance ne nécessitent pas de contact pour agir sur le système. C’est le cas de l’ensemble des forces découlant de champ :

  • Poids (champs gravitationnel) ;
  • forces électromagnétiques (champs électromagnétiques)…
  • Nous nous intéresserons uniquement au poids.

Poids

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À retenir

C’est une force :

  • s’appliquant au centre de gravité du système ;
  • dont la norme vaut : P=mgP=mg, avec mm la masse (en kg\text{kg}) et gg l’accélération de pesanteur (en Nkg1\text{N}\cdot \text{kg}^{-1}).

Centre de gravité

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À retenir

La position du centre de gravité correspond à l’isobarycentre massique du système.

bannière exemple

Exemple

Regardons le cas d’une répartition discrète :

Img-20

La formule permettant de déterminer la position du point GG, centre de gravité du système, est :

OG =i=1nmiOAii=1nmi\overrightarrow{OG\ }=\dfrac{\displaystyle\sum{i=1}^n mi\overrightarrow{OAi}}{\displaystyle\sum{i=1}^n m_i}

Repérage des forces

Nous avons décrit les trois types de forces auxquelles vous serez confrontés et cette description a permis de les schématiser.

  • Nous allons voir ici comment les expliciter en précisant leurs coordonnées dans un plan, c’est-à-dire sur deux axes.
  • Étudions le cas où un personnage tire sur une corde attachée au sol.

Img-21

  • Représentons la force du personnage sur la corde :
  • système : la corde ;
  • partie du milieu extérieur : la personne ;
  • point de contact : la main ;
  • on trace le vecteur représentant l’action de la personne sur la corde, soit la force : FPC\vec F_{\,\text{P}\rightarrow\text{C}}.

Img-22

  • Positionnons un repère afin de pouvoir détailler les coordonnées du vecteur.

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  • On projette le vecteur force sur les axes du repère.

Img-24

  • On peut maintenant exprimer la force exercée par la personne sur la corde :

FPC=FPCcosθı+FPCsinθȷ=(FPCcosθFPCsinθ)(O, ı, ȷ)\begin{aligned} \vec F{\,\text{P}\rightarrow\text{C}}&=\Vert \vec F{\,\text{P}\rightarrow\text{C}} \Vert\cos\theta\cdot\vec \imath + \Vert \vec F{\,\text{P}\rightarrow\text{C}} \Vert\sin\theta\cdot\vec \jmath \ &=\begin{pmatrix} \Vert \vec F{\,\text{P}\rightarrow\text{C}} \Vert\cos\theta \ \Vert \vec F{\,\text{P}\rightarrow\text{C}} \Vert\sin\theta \end{pmatrix}{(O,\ \vec \imath,\ \vec \jmath)} \end{aligned}

Conclusion

Nous venons d’expliciter comment représenter les actions de contact et celles engendrées par un champ. Pour être manipulées, ces actions doivent être projetées sur les axes d’un même repère.

Avant de détailler les théorèmes permettant de quantifier ces actions, il nous reste à appréhender une dernière notion : celle de moment de force, que nous décrirons dans le cours suivant.